Klasse (Mengenlehre)
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Ursprungliche Definition
Der Begriff Klasse wurde zu Zeiten, als John von Neumann, Paul Bernays und Kurt Gödel diesem Begriff noch nicht seine heutige Bedeutung gegeben hatten, häufig als Synonym für den Begriff Menge verwendet.[1]
Anschauliche Definition
Der Begriff Klasse wird heute in der Mathematik als Verallgemeinerung des Begriffes Menge verwendet.
Die Eigenschaften von Klassen werden dabei axiomatisch für ein „Universum“ $\mathcal{K}$ von Klassen definiert. Für die Klassen ist ein einziges Prädikat definiert: die Element-Beziehung $\in$.
Eine Klasse zeichnet sich also dadurch aus, dss sie Klassen als Elemente enthalten und Element von Klassen sein kann:
Für je zwei Klassen $x$ und $y$ gilt entweder $x$ ist Element von $y$ ($x \in y$)
oder $x$ ist kein Element von $y$ ($\neg(x \in y)$ oder kurz $x \notin y$).
Weitere Prädikate
Für das Klassenuniversum gibt es diverse weitere Prädikate. Diese werden allerdings alle mit Hilfe der Element-Beziehung definiert.
Eine Klasse $m$, die Element irgendeiner beliebigen Klasse ist, heißt Menge:
Ein Klasse $u$, die kein Element irgendeiner Klasse ist, heißt Unmenge oder echte Klasse:
Eine Klasse $x$ heißt Teilklasse einer Klasse $y$, wenn jedes Element von $x$ auch Element von $y$ ist; alternativ sagt man auch $y$ ist Oberklasse von $x$:
Zwei Klassen heißen gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten, anderenfalls heißen sie ungleich:
Eine Klasse $x$ heißt echte Teilklasse einer Klasse $y$, falls $x$ Teilklasse von $y$ aber ungleich $y$ ist; alternativ sagt man auch $y$ ist echte Oberklasse von $x$:
Diejenige Klasse, die keine anderen Klassen als Element enthält, heißt leere Menge, kurz $\emptyset$ oder $\{\}$:
Wie Klassen gebildet werden können (z.B. mit Hilfe der Klassenklammern $\{$ und $\}$) und welche dieser Klassen Mengen sind, wird axiomatisch festgelegt.
Insbesondere muss axiomatisch sichergestellt werden, dass es sich bei der leeren Menge tatsächlich um eine Menge und nicht um eine Unmenge handelt. Ansonsten hätte man Schwierigkeiten, überhaupt irgendwelche Mengen zu definieren.
Anmerkungen
Die Elementbeziehung $\in$ ist das einzige nicht-logische Symbol der Sprache der Mengenlehre. Alle anderen Symbole entstammen der Prädikatenlogik erstere Stufe: $\vee, \wedge, \neg, \rightarrow, \leftrightarrow, \forall, \exists$ sowie Variablen. Atomare Formeln sind von der Bauart $x \in y$ ($x$ ist Element von $y$).
Es gibt nur eine leere Menge. Gäbe es eine zweite, so würde sie dieselben Elemente beinhalten wie die erste (nämlich keine) und wäre damit zur ersten gleich.
Die Unterscheidung zwischen Mengen und Unmengen stellt eine Möglichkeit dar, das Problem der Russellschen Antinomie zu vermeiden.
In der klassenbasierten Mengenlehre wird heutzutage ebenso wie in der „reinen“ Mengenlehre auf die Definition von „Urelementen“ verzichtet. Die leere Menge reicht als Urelement aus. Wenn man irgendwelche realen oder abstrakten Objekte in Klassen zusammenfassen will, so muss man zunächst die diese Objekte mit bestimmten Klassen identifizieren. Man muss also für jedes Objekt eine Klasse definieren, die diese Objekt repräsentiert.
Beispiel[2]:
(wobei $x \in a \cup b \; :\leftrightarrow \; x \in a \vee x \in b$)
Abschließend kann man auch beliebige natürliche Zahlen in Klassen zusammenfassen. Genaugenommen werden allerdings keine natürlichen Zahlen, sondern deren Stellvertreter zu Klassen zusammengefasst:
Man beachte, dass die Repräsentanten der natürlichen Zahlen so definiert wurden, dass sie genau alle ihre Vorgänger als Elemente enthalten. Dies hat sich als besonders nützlich erwiesen. Aber es gibt selbstverständlich noch zahlreiche andere Möglichkeiten, natürliche Zahlen durch Klassen zu repräsentieren.
Beispiel für eine Alternativ-Definition der natürlichen Zahlen:
Axiomatische Definition
Bevor formale Definitionen der Begriffe Klasse und Menge angegeben werden können, müssen erst ein paar andere Begriffe definiert werden.
TO BE DONE
Formale Definition des Begriffs Klasse
Eine Klasse ist eine durch eine Formel der Sprache der Mengenlehre definierbare Gesamtheit von Elementen:
Ist $A(x)$ eine (offene) Formel, in der die Variable $ x $ und eventuell weitere Variablen (so genannte Parameter) vorkommen können, so heißt $\{x|A(x)\}$ Klasse aller Elemente $x$ mit der Eigenschaft $A(x)$.
Ein Element $b$ ist genau dann ein Element der Klasse $\{x|A(x)\}\,$, wenn $A(b)$ gilt:
weitere Definitionen
Zwei Klassen $ \mathcal A $, $ \mathcal B $ heißen gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten:
Das heißt, zwei Klassen $ x $ und $ y $ sind gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten. Dabei kommt es nicht auf die Reihenfolge der Elemente oder die Häufigkeit des Vorkommens einzelner Elemente an.
Eine Klasse $\mathcal A$ und eine Menge $m$ heißen gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten:
Anmerkung: Wegen dieser Definition kann jede Menge als Klasse geschrieben werden und ist somit auch eine Klasse:
Man kann daher die Klasse $\mathcal A$ mit der Menge $m$ identifizieren. Eine Menge ist laut Definition immer Element irgendeiner Klasse. Ein beliebige Klasse kann dagegen Element einer anderen Klasse sein (wenn sie eine Menge ist), muss es aber nicht (wenn sie keine Menge ist).
Eine Klasse $\mathcal A$ ist Element einer Menge $m$ bzw. einer Klasse $\mathcal B$, wenn sie gleich einem Element der Menge bzw. Klasse ist:
1. Axiom (Extensionalitätsaxiom)
Die Verträglichkeit zwischen der $ \in $-Relation und der Gleichkeit wird mit dem ersten Axiom der Mengenlehre sichergestellt:
Spezielle Klassen
$\mathcal{V} := \{x|x=x\}$ ist die Allklasse, d.h. diejenige Klasse, die alle Mengen enthält.
$\mathcal{R} := \{x|x\notin x\}$ ist die Russell-Klasse, d.h. diejenige Klasse, die alle Mengen enthält, die sich nicht selbst enthalten. Die Russellsche Antinomie war der Auslöser für die Entwicklung einer Axiomatischen Mengenlehre.
Formale Definition des Begriffs Menge
Ein Klasse $m$ ist eine Menge, wenn sie Element der Allklasse ist:
Formale Definition des Begriffs Unmenge oder echte Klasse
Eine Klasse $u$ ist eine Unmenge oder echte Klasse, wenn sie kein Element der Allklasse ist:
Beispiel für eine echte Klasse
Die Russell-Klasse ist eine echte Klasse, denn sonst wäre $ R \in R \Leftrightarrow R\notin R $.
Auch die Allklasse ist eine echte Klasse. Dies kann aber erst mit Hilfe weiterer Axiome gezeigt werden.
Bemerkungen
Die Begriffe Klasse und Menge werden eigentlich gar nicht definiert, sondern es wird nur gesagt, auf welche Art und Weise Formeln gebildet werden müssen, um mit diesen Begriffen arbeiten zu können. Das ist axiomatische Mathematik in Reinform. :-)
Quelle
- ↑ siehe beispielsweise Russell (1903): Bertrand Russell; The Principles of Mathematics; Auflage: 2; Verlag: W. W. Norton & Company; Adresse: Berlin; Web-Link; 1903; Quellengüte: 5 (Buch)
- ↑ Quelle fehlt
- Schmidt (1966): Jürgen Schmidt; Mengenlehre – Grundbegriffe; Reihe: B.I.Hochschultaschenbücher; Band: 1; Nummer: 56; Verlag: Bibliographisches Institut AG; Adresse: Mannheim; ISBN: B0000BUJC6; 1966; Quellengüte: 5 (Buch)
- Felscher (1978): W. Felscher; Naive Mengen und abstrakte Zahlen; Band: 1; Verlag: BI-Wissenschaftsverlag; Adresse: Mannheim; ISBN: 3-411-01538-1; 1978; Quellengüte: 5 (Buch)
- Ebbinghaus (2003): Heinz-Dieter Ebbinghaus; Einführung in die Mengenlehre; Reihe: Hochschultaschenbuch; Auflage: 4; Verlag: Spektrum Akademischer Verlag; Adresse: Heidelberg, Berlin; ISBN: 3-8274-1411-3; 2003; Quellengüte: 5 (Buch)
