Klasse (Mengenlehre)
Anschauliche Definition
Eine Klasse ist eine Zusammenfassung von wohldefinierten und unterscheidbaren Elementen.
Als Elemente einer Klasse kommen reale und abstrakte Objekte, aber auch Klassen selbst in Frage.
Eine Klasse, die Element einer anderen Klasse ist heißt Menge. Ein Klasse, die kein Element irgendeiner Klasse ist, heißt Unmenge oder echte Klasse.
Axiomatische Definition
Bevor formale Definitionen der Begriffe Klasse und Menge angegeben werden können, müssen erst ein paar andere Begriffe definiert werden.
Sprache der Mengenlehre
Die Elementbeziehung $ \in $ ist das einzige nicht-logische Element der Sprache der Mengenlehre. Alle anderen Elemente der Sprache der Mengenlehre sind Elemente der Logik: $ \vee, \wedge, \neg, \Rightarrow, \Leftrightarrow, \forall, \exists $ sowie Variablen.
Atomare Formeln sind von der Bauart $ x \in y $ ($ x\, $ ist Element von $ y\, $).
Außerdem wird definiert: $ x \notin y :\Leftrightarrow \neg x \in y $ ($ x\, $ ist kein Element von $ y\, $).
Gleichheit
Die Gleichheit $ =\, $ ist folgendermaßen definiert: $ x = y := \forall z: z \in x \Leftrightarrow z \in y $
1. Axiom (Extensionalitätsaxiom)
Die Verträglichkeit zwischen der $ \in $-Relation und der Gleichkeit wird mit dem ersten Axiom der Mengenlehre sichergestellt:
$ \forall x,y: (\forall z: z \in x \Leftrightarrow z \in y) \Rightarrow x=y $
Formale Definition der Begriffe Klasse und Menge
Eine Klasse ist eine durch eine Formel der Sprache der Mengenlehre definierbare Gesamtheit von Mengen:
Ist $ A(x) $ eine (offene) Formel, in der die Variable $ x $ und eventuell weitere Mengenvariablen (so genannte Parameter) vorkommen können, so heißt $ \{x|A(x)\} $ Klasse aller Mengen $ x $ mit der Eigenschaft $ A(x) $.
weitere Definitionen
Eine Menge $ b\, $ ist genau dann ein Element der Klasse $ \{x|A(x)\}\, $, wenn $ A(b)\, $ gilt:
$ b \in \{x|A(x)\} := A(b) $
Zwei Klassen $ \mathcal A $, $ \mathcal B $ heißen gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten:
$ \mathcal A = \mathcal B := \forall x: x \in \mathcal A \Leftrightarrow x \in \mathcal B $
Eine Klasse $ \mathcal A $ und eine Menge $ b\, $ heißen gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten:
$ \mathcal A = b := \forall x: x \in \mathcal A \Leftrightarrow x \in b $
Anmerkung: Wegen dieser Definition kann jede Menge als Klasse geschrieben werden und ist somit auch eine Klasse:
$ b = \{x|x\in b\} $
Man kann daher die Klasse $ \mathcal A $ mit der Menge $ b\, $ identifizieren. Das heißt insbesondere, eine Menge ist laut Definition immer Element irgendeiner Klasse. Ein beliebige Klasse kann dagegen Element einer anderen Klasse sein (wenn sie eine Menge ist), muss es aber nicht (wenn sie keine Menge ist).
Eine Klasse $ \mathcal A $ ist Element einer Menge $ b\, $ bzw. eine Klasse $ \mathcal B $, wenn sie gleich einem Element der Menge bzw. Klasse ist:
$ \mathcal A \in b := \exists x: x \in b \wedge x = \mathcal A $
$ \mathcal A \in \mathcal B := \exists x: x \in \mathcal B \wedge x = \mathcal A $
Beispiele
$ V := \{x|x=x\}\, $ ist die Allklasse, d.h. diejenige Klasse, die alle Mengen enthält.
$ R := \{x|x\notin x\} $ ist die Russel-Klasse, d.h. diejenige Klasse, die alle Mengen enthält, die sich nicht selbst enthalten. Das Russel-Paradoxon war der Auslöser für die Entwicklung einer Axiomatischen Mengenlehre.
noch ein paar Eigenschaften und Definitionen
Ein Klasse $ a\, $ ist eine Menge, wenn sie Element der Allklasse ist: $ a \in V\, $
Ein Klasse $ \mathcal A\, $ heißt eine Unmenge oder echte Klasse, wenn sie kein Element der Allklasse ist: $ a \notin V \, $
Die Russelklasse ist eine echte Klasse, denn sonst wäre $ R \in R \Leftrightarrow R\notin R $.
Bemerkungen
Die Begriffe Klasse und Menge werden eigentlich gar nicht definiert, sondern es wird nur gesagt, auf welche Art und Weise Formeln gebildet werden müssen, um mit diesen Begriffen arbeiten zu können. Das ist axiomatische Mathematik in Reinform. :-)
Quelle
Schwichtenberg, H. (2000): Mathematische Logik
