Komprehension

Vorlage:InBearbeitung In der Mathemtik und der Informatik ist es von fundamentaler Bedeutung bestimmte Objekte zu größeren Einheiten zusammenzufassen. In diesem Wiki werden Objekte, die andere Objekte enthalten können, als Container bezeichnet und Objekte, die in Containern enthalten sein können, als Elemente.

Geordnete Paare sind per Definitionem Container, da sie genau zwei Objekte als Elemente enthalten, die so genannten Paarelemente. Auch die Verallgemeinerung der geordneten Paare, die Tupel sind Container. Ein $n$-Tupel enthält genau $n$ Elemente – die so genannten Tupelelemente – in einer bestimmten Reihenfolge.

In der Mengenlehre gibt es diverse weitere Arten von Objekten, die entweder als Container und/oder als Elemente auftreten können:

• Klassen sind Container: Sie können Elemente enthalten (und zwar Urelemente und Mengen).
• Urelemente können in Klassen als Elemente enthalten sein, können selbst aber keine Elemente enthalten.
• Mengen sind spezielle Klassen (können also Elemente enthalten); sie können auch in Klassen als Elemente enthalten sein.
• Unmengen sind spezielle Klassen (können also Elemente enthalten); sie sind aber so umfangreich, dass sie nicht in irgendwelchen Klassen als Elemente enthalten sein können.

TO BE DONE

Gulbrecht, Oberschelp, Todt: Individuen, reale und virtuelle Objekte

Typische Urelemente sind Zahlen, Zeichenketten, Boolesche Werte etc. Üblicherweise verzichtet man in der Mathematik heutzutage auf die Definition von speziellen Urelementen. Es reicht aus, wenn man die leere Menge, d. h. die einzige Klasse, die keine Elemente enthält, als Urelement zur Verfügung hat. Alle andere Urelemente können dann durch spezielle Klassen (d. h. Container) repräsentiert werden (die Zahl „Null“ beispielsweise durch die leere Menge $\{\}$, die Zahl „Eins“ durch die einelementige Menge $\{\{\}\}$ etc.). Es gibt aber auch Ausnahmen, wie z. B. die Sprache LISP, in der – vor allem aus Performanz-Gründen – nicht auf Urelemente verzichtet wird. In LISP werden die Urelemente „Atome“ genannt.

Auch bei Paaren und deren Verallgemeinerung, den Tupeln handelt es sich um Container, die Elemente enthalten, die so genannten Paar- oder Tupelelemente. Zwischen Klassen und Klassenpaaren gibt es also einen wichtigen Unterschied: Unmengen können keine Elemente von irgendwelchen Klassen sein, wohl aber (Paar-)Elemente von Klassenpaaren. Das heißt, mit Hilfe Klassenpaaren (und Klassentupeln) kann man auch Unmengen zu größeren Einheiten zusammenfassen. Mit Mengenpaaren geht dies nicht.

Allerdings gibt es nicht nur Mengen- und Klassenpaare. Ein geordnetes Paar kann – in speziellen formalen Systemen – an Stelle von Klassen und Urelementen auch andere Arten von Elementen enthalten. Gottlob Frege erlaubt beispielsweise „Gegenstände“, „Funktionen“ und „Werthverläufe“ als Elemente. John von Neumann erlaubt „Argumente“ (und damit insbesondere auch spezielle Funktionen, die sogenannten „Argument-Funktionen“) und in LISP sind nur Atome (Urelemente) und Paare als Elemente erlaubt.