Mengenlehre: Unterschied zwischen den Versionen

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==Anmerkungen==
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Man unterscheidet zwischen der „'''naiven Mengenlehre'''“ und der „'''axiomatischen Mengenlehre'''“.<ref name="Brockhaus"/>
Man unterscheidet heutzutage zwischen der „'''naiven Mengenlehre'''“ und der „'''axiomatischen Mengenlehre'''“.<ref name="Brockhaus"/>
 
Allerdings sollte man eher zwischen '''unbeschränkter''' („naiver“) und '''beschränkter''' Mengenbildung ([[Komprehension]]) unterscheiden.
===Naive Mengenlehre===


[[Felix Hausdorff]] nennt einen Mengenbegriff „naiv“, wenn er zu Paradoxien,  
[[Felix Hausdorff]] nennt einen Mengenbegriff „naiv“, wenn er zu Paradoxien,  
wie z.B. der sogenannten [[Russellsche Antinomie|Russellschen Antinomie]]
wie z.B. der sogenannten [[Russellsche Antinomie|Russellschen Antinomie]]
führt.<ref>{{Quelle|Hausdorf (1914)}}, S. 1 und S.2</ref>
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Der naive Mengenbegriff erlaubt eine uneingeschränkte Komprehension von Mengen, d.h. eine beliebige Zusammenfassung von Mengen zu weiteren Mengen.
Der naive Mengenbegriff erlaubt eine uneingeschränkte Komprehension, d.h. eine beliebige Zusammenfassung von  
 
Elementen des zugrundeliegenden Universums zu Mengen. Beispielsweise erlauben sowohl die informelle Definition von [[Georg Cantor]]<ref>{{Quelle|Cantor (1893)}}</ref>
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als auch die streng axiomatische Definition von [[Gottlob Frege]]<ref>{{Quelle|Frege (1893)}}</ref> die unbeschränkte Mengenbildung.
 
===Axiomatische Mengenlehre===


Bei der axiomatischen Mengenlehre, wird versucht, diese Antinomien durch Beschränkung der Komprehension zu vermeiden.
In moderneren Axiomensystemen, beginnend mit den Systemen von [[ Bertrand Russell]] (1903) und [[Ernst Zermelo]] (1907)
wird versucht, diese Antinomien durch Beschränkung der Komprehension zu vermeiden.
Ob dies allerdings tatsächlich gelungen ist – wovon man heute ausgeht –, kann nicht bewiesen werden. Dies ist eine der Schlussfolgerungen, die man aus
Ob dies allerdings tatsächlich gelungen ist – wovon man heute ausgeht –, kann nicht bewiesen werden. Dies ist eine der Schlussfolgerungen, die man aus
dem zweiten [[Unvollständigkeitssatz]] von [[Kurt Gödel]]<ref name="Gödel">{{Quelle|Gödel, K. (1931): Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I}}</ref> ziehen kann.
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====Gängige Axiomensystem====
'''Gängige Axiomensysteme der Mengenlehre mit beschränkter Komprehension'''


* [[Russell-Whitehead-Mengenlehre]]
* [[Russell-Whitehead-Mengenlehre]]

Version vom 2. Mai 2015, 10:17 Uhr

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Definition (Brockhaus[1])

Mengenlehre, diejenige mathemat. Theorie, die sich mit den Eigenschaften von und den Beziehungen zw. Mengen beschäftigt.

Definition (Kowarschick)

Mengenlehre ist die mathematische Theorie von der Komprehension, d.h. die mathematische Theorie von der Zusammenfassung von Objekten zu einer Gesamtheit.

Typische Gesamtheiten

  • Mengen: ungeordnet, jedes Objekt kann höchstens einmal enthalten sein
  • Klassen: ungeordnet, jedes Objekt kann höchstens einmal enthalten sein
  • Multimengen: ungeordnet, jedes Objekt kann mehrfach enthalten sein
  • geordnete Paare: geordnet, genau zwei (evtl. identische) Objekte sind enthalten
  • Tupel: geordnet, jedes Objekt kann mehrfach enthalten sein

Anmerkungen

Man unterscheidet heutzutage zwischen der „naiven Mengenlehre“ und der „axiomatischen Mengenlehre“.[1] Allerdings sollte man eher zwischen unbeschränkter („naiver“) und beschränkter Mengenbildung (Komprehension) unterscheiden.

Felix Hausdorff nennt einen Mengenbegriff „naiv“, wenn er zu Paradoxien, wie z.B. der sogenannten Russellschen Antinomie führt.[2] Der naive Mengenbegriff erlaubt eine uneingeschränkte Komprehension, d.h. eine beliebige Zusammenfassung von Elementen des zugrundeliegenden Universums zu Mengen. Beispielsweise erlauben sowohl die informelle Definition von Georg Cantor[3] als auch die streng axiomatische Definition von Gottlob Frege[4] die unbeschränkte Mengenbildung.

In moderneren Axiomensystemen, beginnend mit den Systemen von Bertrand Russell (1903) und Ernst Zermelo (1907) wird versucht, diese Antinomien durch Beschränkung der Komprehension zu vermeiden. Ob dies allerdings tatsächlich gelungen ist – wovon man heute ausgeht –, kann nicht bewiesen werden. Dies ist eine der Schlussfolgerungen, die man aus dem zweiten Unvollständigkeitssatz von Kurt Gödel[5] ziehen kann.

Gängige Axiomensysteme der Mengenlehre mit beschränkter Komprehension

Geschichte

TO BE DONE

Quellen

  1. ↑ 1,0 1,1 Brockhaus (1991, MAG-MOD): Brockhaus-Enzyklopädie: Band 14, MAG-MOD; Auflage: 19; Verlag: F.A. Brockhaus GmbH; Adresse: Mannheim; ISBN: 3-7653-1114-6; 1991; Quellengüte: 5 (Buch)
  2. ↑ , S. 1 und S.2
  3. ↑
  4. ↑ Frege (1893): Gottlob Frege; Grundgesetze der Arithmetik; Band: I; Verlag: Verlag Hermann Pohle; Adresse: Jena; Web-Link 0, Web-Link 1, Web-Link 2, Web-Link 3; 1893; Quellengüte: 5 (Buch)
  5. ↑ Gödel (1931): Kurt Gödel; Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I; in: Monatshefte für Mathematik und Physik; Band: 38; Nummer: 1; Seite(n): 173-198; Verlag: Springer-Verlag GmbH; Adresse: Wien; Web-Link; 1931; Quellengüte: 5 (Artikel)

Siehe auch

  1. Russellsche Antinomie
  2. Typentheorie
  3. Schmidt (1966): Jürgen Schmidt; Mengenlehre – Grundbegriffe; Reihe: B.I.Hochschultaschenbücher; Band: 1; Nummer: 56; Verlag: Bibliographisches Institut AG; Adresse: Mannheim; ISBN: B0000BUJC6; 1966; Quellengüte: 5 (Buch)
  4. Felscher (1978): W. Felscher; Naive Mengen und abstrakte Zahlen; Band: 1; Verlag: BI-Wissenschaftsverlag; Adresse: Mannheim; ISBN: 3-411-01538-1; 1978; Quellengüte: 5 (Buch)
  5. Ebbinghaus (2003): Heinz-Dieter Ebbinghaus; Einführung in die Mengenlehre; Reihe: Hochschultaschenbuch; Auflage: 4; Verlag: Spektrum Akademischer Verlag; Adresse: Heidelberg, Berlin; ISBN: 3-8274-1411-3; 2003; Quellengüte: 5 (Buch)
  6. Wußing (2009): Hans Wußing; 6000 Jahre Mathematik – Eine kulturgeschichtliche Zeitreise – Von Euler bis zur Gegenwart; Hrsg.: H.W. Alten, A. Djafari Naini und H. Wesenmüller-Kock; Band: Band 2; Auflage: 1; Verlag: Springer-Verlag GmbH; Adresse: Berlin; ISBN: 3642023630; 2009; Quellengüte: 5 (Buch)
  7. Bedürftig, Murawski (2010): Thomas Bedürftig und Roman Murawski; Philosophie der Mathematik; Verlag: Walter de Gruyter GmbH; Adresse: Berlin; ISBN: 978-3110190939; Web-Link; 2010; Quellengüte: 5 (Buch)
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