Normalisierung eines Intervalls (Hilfssatz)

Korrektheit: 5
(vollständig überprüft)

Umfang: 5
(wesentliche Fakten vorhanden)

Quellenangaben: 5
(vollständig vorhanden)

Quellenarten: 5
(ausgezeichnet)

Konformität: 5
(ausgezeichnet)

Satz

Es seien $a,b \in \mathbb R$ zwei relle Zahlen mit $a < b$ (d.h. $a$ und $b$ definieren ein endliches Intervall) sowie $c, x \in \mathbb{R}$.

Dann gilt:

$ \displaystyle{a \le x \le b \ \leftrightarrow\ 0 \le \frac{x-a}{b-a} \le 1} $
- $\displaystyle{x \in\, [a,b] \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [0,1]}$
- $\displaystyle{x \in\,\, ]a,b] \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]0,1]}$
- $\displaystyle{x \in\, [a,b[ \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [0,1[}$
- $\displaystyle{x \in\,\, ]a,b[ \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]0,1[}$
$ \displaystyle{x < a \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} < 0} $
- $\displaystyle{x \in\,\, ]-\infty,a[ \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]-\infty,0[}$
- $\displaystyle{x \in\, ]-\infty,a] \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, ]-\infty,0]}$
$ \displaystyle{b < x \ \leftrightarrow\ 1 < \frac{x-a}{b-a}} $
- $\displaystyle{x \in\,\, ]b, \infty[ \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]1, \infty[}$
- $\displaystyle{x \in\, [b, \infty[ \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [1, \infty[}$
$\displaystyle{x < c \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} < \frac{c-a}{b-a}}$
$\displaystyle{c < x \ \leftrightarrow\ \frac{c-a}{b-a} < \frac{x-a}{b-a}}$

	$\displaystyle{a \le x \le b}$	$\displaystyle{\quad\quad\|\quad -a}$
$\displaystyle{\leftrightarrow}$	$\displaystyle{0 \le x-a \le b-a}$	$\displaystyle{\quad\quad\|\quad /(b-a)}$
$\displaystyle{\leftrightarrow}$	$\displaystyle{0 \le \frac{x-a}{b-a} \le 1}$	$\quad\quad$ (da $\displaystyle{b-a > 0}$ )

Die restlichen Aussagen beweist man analog.