Normalverteilung: Unterschied zwischen den Versionen

aus GlossarWiki, der Glossar-Datenbank der Fachhochschule Augsburg
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==Definition==
=Definition=


Eine [[Stetige Zufallsgröße|stetige Zufallsgröße]] <math>X = NV(\mu,\sigma^2)</math> heißt '''normalverteilt''', wenn ihre [[Verteilungsfunktion]] durch
Eine [[Stetige Zufallsgröße|stetige Zufallsgröße]] <math>X = NV(\mu,\sigma^2)</math> heißt '''normalverteilt''', wenn ihre [[Verteilungsfunktion]] durch
die [[Dichtefunktion]] <math>f_X = f_{NV(\mu,\sigma^2)}</math> mit
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: <math>f_X(x) = f_{NV(\mu,\sigma^2)}(x) := \frac {1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac {1}{2} \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}</math>
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beschrieben werden kann.  
beschrieben werden kann.  
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<math>\mu</math> und  <math>\sigma^2</math> heißen Parameter der Verteilung. Sie müssen die in der Tabelle angegebenen Bedingungen erfüllen.
<math>\mu</math> und  <math>\sigma^2</math> heißen Parameter der Verteilung. Sie müssen die in der Tabelle angegebenen Bedingungen erfüllen.


 
==Eigenschaften einer normalverteilten Zufallsgröße==
=Eigenschaften einer normalverteilten Zufallsgröße=


{{Wahrscheinlichkeitsverteilung
{{Wahrscheinlichkeitsverteilung
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| continuity =<math>f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[\!</math>
| continuity =<math>f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[\!</math>
| support    =<math>f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]a,b[ \!</math>
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| quartile  =
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=Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Normalverteilung=
==Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Normalverteilung==
In [[Normalverteilung (standardisiert)]] wird eine speziellere Dichtefunktion <math>\phi := f_{NV(0,1)}</math> definiert.
In [[Normalverteilung (standardisiert)]] wird eine speziellere Dichtefunktion <math>\phi := f_{NV(0,1)}</math> definiert.
Wie hängen die hier definierte allgemeine Form und die dort definierte spezielle Form zusammen?
Wie hängen die hier definierte allgemeine Form und die dort definierte spezielle Form zusammen?
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Dichtefunktionen der [[Normalverteilung (standardisiert)|standardisierten Normalverteilungen]] erzeugt werden:
Dichtefunktionen der [[Normalverteilung (standardisiert)|standardisierten Normalverteilungen]] erzeugt werden:


: <math>
<div class="formula"><math>
     f_{NV(\mu,\sigma^2)} = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}2\pi\sigma^2}\, e^{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
     f_{NV(\mu,\sigma^2)} = \frac {1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac {1}{2} \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}
                         = \frac{1}{\sigma}\, \phi\!\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right).
                         = \frac{1}{\sigma}\, \phi\!\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right).
</math>
</math></div>


([[Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Normalverteilung (Satz)|Beweis der zweiten Aussage]])
([[Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Normalverteilung (Satz)|Beweis der zweiten Aussage]])
==Tabellen==
[[File:Normal_Distribution_Sigma.svg|left|1000px|Normalverteilung mit Erwartungswert μ und verschiedenen Streuungsintervallen]]
{| class="studienplan"
|+ Erwartete Anteile der Werte einer normalverteilten Zufallsvariablen innerhalb bzw. außerhalb der Streuintervalle <math>\left[\mu-nσ, \mu+nσ\right]</math>
|- class="bgdgrey white" style = "text-align: center"
! style = "text-align: center" |  nσ
! style = "text-align: center" | Prozent innerhalb
! style = "text-align: center" | &nbsp;Prozent außerhalb&nbsp;
! style = "text-align: center" | Anzahl Sechser
! style = "text-align: center" | Münzwurf: n mal Kopf
! style = "text-align: center" | &nbsp;Signifikanz&nbsp;
|- class="bggrey white"
| 0,674 490 σ
| 50 %
| 50 %
|
| rowspan=1 style="vertical-align: middle" | 1 Münze: 50 %
|
|- class="bggrey white"
| 0,994 458 σ
| 68 %
| 32 %
|
|
|
|- class="bgorange white"
| 1σ
| 68,27 %
| 31,73 %
|
| style="vertical-align: middle" | 2 Münzen: 25 %
|
|- class="bggrey white"
| 1,281 552 σ
| 80 %
| 20 %
| style="vertical-align: middle" | 1 Sechser: 16,67 %
| style="vertical-align: middle" | 3 Münzen: 12,5 %
|
|- class="bggrey white"
| 1,644 854 σ
| 90 %
| 10 %
|
| style="vertical-align: middle" | 4 Münzen: 6,25 %
|
|- class="bggrey white"
| 1,959 964 σ
| 95 %
| 5 %
|
| style="vertical-align: middle" | 5 Münzen: 3,25 %
| Medizin: signifikant
|- class="bgorange white"
| 2σ
| 95,45 %
| 4,55 %
| style="vertical-align: middle" | 2 Sechser: 2,77 %
|
|
|- class="bggrey white"
| 2,354 820 σ
| 98,17 %
| 1,85 %
|
| style="vertical-align: middle" | 6 Münzen: 1,56 %
|
|- class="bggrey white"
| 2,575 829 σ
| 99 %
| 1 %
| style="vertical-align: middle" | 3 Sechser: 0,46 %
| style="vertical-align: middle" | 7 Münzen: 0,78 %
| Medizin: sehr signifikant
|- class="bgorange white"
| 3σ
| 99,73%
| 0,27 %
|
| style="vertical-align: middle" | 9 Münzen: 0,20 %
|
|- class="bggrey white"
| 3,290 527 σ
| 99,9 %
| 0,1 %
| style="vertical-align: middle" | 4 Sechser: 0,077 %
| style="vertical-align: middle" | 10 Münzen: 0,10 %
| Medizin: hoch signifikant
|- class="bggrey white"
| 3,890 592 σ
| 99,99 %
| 0,01 %
| style="vertical-align: middle" | 5 Sechser: 0,013 %
| style="vertical-align: middle" | 13 Münzen: 0,01 %
|
|- class="bgorange white"
| 4σ
| 99,993 %
| 0,006 %
|
| style="vertical-align: middle" | 14 Münzen: 0,006 %
|
|- class="bggrey white"
| 4,417 173 σ
| 99,999 %
| 0,001 %
| style="vertical-align: middle" | 6 Sechser: 0,001 2 %
| style="vertical-align: middle" | 17 Münzen: 0,000 76 %
|
|- class="bggrey white"
| 4,891 638 σ
| 99,999 9 %
| 0,000 1 %
| style="vertical-align: middle" | 7 Sechser: 0,000 36 %
| style="vertical-align: middle" | 20 Münzen: 0,000 095 %
|
|- class="bgorange white"
| 5σ
| 99,999 94 %
| 0,000 06 %
| style="vertical-align: middle" | 8 Sechser: 0,000 060 %
| style="vertical-align: middle" | 21 Münzen: 0,000 047 %
|
|- class="bggrey white"
| 5,326 724 σ
| 99,999 99 %
| 0,000 01 %
| style="vertical-align: middle" | 9 Sechser: 0,000 010 %
| style="vertical-align: middle" | 23 Münzen: 0,000 012 %
| Lotto: 6 Richtige
|- class="bggrey white"
| 5,730 729 σ
| 99,999 999 %
| 0,000 001 %
| style="vertical-align: middle" | 10 Sechser: 0,000 001 6 %
| style="vertical-align: middle" | 26 Münzen: 0,000 001 5 %
| Lotto: 6 Richtige + Zusatzzahl
|- class="bgorange white"
| 6σ
| 99,999 999 8 %
| 0,000 000 2 %
| style="vertical-align: middle" | 11 Sechser: 0,000 000 28 %
| style="vertical-align: middle" | 29 Münzen: 0,000 000 19 %
| Physik: Higgs-Boson (5,9σ)<ref>CMS collaboration: Observation of a new boson at a mass of 125 GeV with the CMS experiment at the LHC. In: Physics Letters B. 716, Nr. 1, 2012, S. 30–61. arxiv:1207.7235. doi:10.1016/j.physletb.2012.08.021</ref>
|- class="bggrey white"
| 6,109 410 σ
| 99,999 999 9 %
| 0,000 000 1 %
| style="vertical-align: middle" | 12 Sechser: 0,000 000 046 %
| style="vertical-align: middle" | 30 Münzen: 0,000 000 093 %
|
|- class="bggrey white"
| 6,466 951 σ
| 99,999 999 99 %
| 0,000 000 01 %
| style="vertical-align: middle" | 13 Sechser: 0,000 000 007 7 %
| style="vertical-align: middle" | 33 Münzen: 0,000 000 012 %
|
|- class="bggrey white"
| 6,806 502 σ
| 99,999 999 999 %
| 0,000 000 001 %
| style="vertical-align: middle" | 14 Sechser: 0,000 000 001 3 %
| style="vertical-align: middle" | 37 Münzen: 0,000 000 000 73 %
|
|- class="bgorange white"
| 7σ
| 99,999 999 999 7 %
| 0,000 000 000 3 %
| style="vertical-align: middle" | 15 Sechser: 0,000 000 000 21 %
| style="vertical-align: middle" | 39 Münzen: 0,000 000 000 18 %
|
|}
{| class="studienplan"
|+ Erwartete Anteile der Werte einer normalverteilten Zufallsvariablen außerhalb der Streuintervalle <math>\left[\mu-nσ, \mu+nσ\right]</math> in Prozent, Parts per Billion (ppb, zu Deutsch „Teile pro Milliarde“<ref>[[Wikipedia:Normalverteilung]]</ref>) und als Bruchteil
|- class="bgdgrey white"
! style = "text-align: center" | nσ
! style = "text-align: center" | Prozent innerhalb
! style = "text-align: center" | Prozent außerhalb
! style = "text-align: center" | &nbsp;ppb außerhalb&nbsp;
! style = "text-align: center" | &nbsp;Bruchteil außerhalb&nbsp;
|- class="bggrey white"
| 0,674 490 σ
| 50 %
| 50 %
| 500.000.000
| 1&nbsp;/&nbsp;2
|- class="bggrey white"
| 0,994 458 σ
| 68 %
| 32 %
| 320.000.000
| 1&nbsp;/&nbsp;3,125
|- class="bgorange white"
| 1σ
| 68,268 949 2 %
| 31,731 050 8 %
| 317.310.508
| 1&nbsp;/&nbsp;3,151 4872
|- class="bggrey white"
| 1,281 552 σ
| 80 %
| 20 %
| 200.000.000
| 1&nbsp;/&nbsp;5
|- class="bggrey white"
| 1,644 854 σ
| 90 %
| 10 %
| 100.000.000
| 1&nbsp;/&nbsp;10
|- class="bggrey white"
| 1,959 964 σ
| 95 %
| 5 %
| 50.000.000
| 1&nbsp;/&nbsp;20
|- class="bggrey white"
| 2σ
| 95,449 973 6 %
| 4,550 026 4 %
| 45.500.264
| 1&nbsp;/&nbsp;21,977 895
|- class="bgorange white"
|2,354 820 σ
|98,146 832 2 %
|1,853 167 8 %
|18.531.678
|1 / 54
|- class="bggrey white"
| 2,575 829 σ
| 99 %
| 1 %
| 10.000.000
| 1&nbsp;/&nbsp;100
|- class="bgorange white"
| 3σ
| 99,730 020 4 %
| 0,269 979 6 %
| 2.699.796
| 1&nbsp;/&nbsp;370,398
|- class="bggrey white"
| 3,290 527 σ
| 99,9 %
| 0,1 %
| 1.000.000
| 1&nbsp;/&nbsp;1.000
|- class="bggrey white"
| 3,890 592 σ
| 99,99 %
| 0,01 %
| 100.000
| 1&nbsp;/&nbsp;10.000
|- class="bgorange white"
| 4σ
| 99,993 666 %
| 0,006 334 %
| 63.340
| 1&nbsp;/&nbsp;15.787
|- class="bggrey white"
| 4,417 173 σ
| 99,999 %
| 0,001 %
| 10.000
| 1&nbsp;/&nbsp;100.000
|- class="bggrey white"
| 4,891 638 σ
| 99,9999 %
| 0,0001 %
| 1.000
| 1&nbsp;/&nbsp;1.000.000
|- class="bgorange white"
| 5σ
| 99,999 942 669 7 %
| 0,000 057 330 3 %
| 573,330 3
| 1&nbsp;/&nbsp;1.744.278
|- class="bggrey white"
| 5,326 724 σ
| 99,999 99 %
| 0,000 01 %
| 100
| 1&nbsp;/&nbsp;10.000.000
|- class="bggrey white"
| 5,730 729 σ
| 99,999 999 %
| 0,000 001 %
| 10
| 1&nbsp;/&nbsp;100.000.000
|- class="bgorange white"
| 6σ
| 99,999 999 802 7 %
| 0,000 000 197 3 %
| 1,973
| 1&nbsp;/&nbsp;506.797.346
|- class="bggrey white"
| 6,109 410 σ
| 99,999 999 9 %
| 0,000 000 1 %
| 1
| 1&nbsp;/&nbsp;1.000.000.000
|- class="bggrey white"
| 6,466 951 σ
| 99,999 999 99 %
| 0,000 000 01 %
| 0,1
| 1&nbsp;/&nbsp;10.000.000.000
|- class="bggrey white"
| 6,806 502 σ
| 99,999 999 999 %
| 0,000 000 001 %
| 0,01
| 1&nbsp;/&nbsp;100.000.000.000
|- class="bgorange white"
| 7σ
| 99,999 999 999 744 %
| 0,000 000 000 256 %
| 0,002 56
| 1&nbsp;/&nbsp;390.682.215.445
|}


=Quellen=
==Quellen==
#{{Quelle|Kowarschick, W.: Projektmanagement}}
<references/>
#<li value="3">{{Quelle|Kowarschick, W.: Projektmanagement}}</li>
#{{Quelle|Rinne, H. (2003): Taschenbuch der Statistik}}
#{{Quelle|Rinne, H. (2003): Taschenbuch der Statistik}}
#[[WikipediaEn: Normal distribution]]
#[[WikipediaEn: Normal distribution]]
#[http://statwiki.wiwi.hu-berlin.de/index.php/Normalverteilung Statwiki HU Berlin: Normalverteilung]
#[http://statwiki.wiwi.hu-berlin.de/index.php/Normalverteilung Statwiki HU Berlin: Normalverteilung]


=Siehe auch=
==Siehe auch==
* [http://www.brighton-webs.co.uk/distributions/normal.htm Brighton Webs Ltd.: Normal Distribution]
# [http://www.brighton-webs.co.uk/distributions/normal.htm Brighton Webs Ltd.: Normal Distribution]
* {{Vgl|Dreiecksverteilung}}
# {{Vgl|Dreiecksverteilung}}
* {{Vgl|Beta-Verteilung}}
# {{Vgl|Beta-Verteilung}}


[[Kategorie:Mathematische Definition]]
[[Kategorie:Mathematische Definition]]

Version vom 18. März 2019, 18:17 Uhr

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Korrektheit: 3
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(fast vollständig vorhanden) 		Quellenarten: 5
(ausgezeichnet) 		Konformität: 4
(sehr gut)

Definition

Eine stetige Zufallsgröße $ X = NV(\mu,\sigma^2) $ heißt normalverteilt, wenn ihre Verteilungsfunktion durch die Dichtefunktion $ f_X = f_{NV(\mu,\sigma^2)} $ mit

$ f_X(x) = f_{NV(\mu,\sigma^2)}(x) := \frac {1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac {1}{2} \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} $

beschrieben werden kann.

$ \mu $ und $ \sigma^2 $ heißen Parameter der Verteilung. Sie müssen die in der Tabelle angegebenen Bedingungen erfüllen.

Eigenschaften einer normalverteilten Zufallsgröße

Parameter
$ \mu \in ]-\infty,\infty[ $
$ \sigma \in ]0,\infty[ $
Dichtefunktion
$ f_X(x) =\frac {1}{{\sigma} \sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac {1}{2} \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} $
Stetigkeit
$ f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[\! $
Träger
$ f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]a,b[ \! $
Verteilungsfunktion
$ F_X(x) =\int_{-\infty}^x \! f_X(t) \, \mathrm{d} t $ ist nicht elementar darstellbar
Modus
$ \operatorname{md}_X = \{\mu\} $
Erwartungswert
$ \mu(X) = \mu $
Median
$ F_X^{-1}(0,5) = \mu $
Varianz
$ \operatorname{Var}(X) = \sigma^2 $
Standardabweichung
$ \sigma(X) = \sigma $

Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Normalverteilung

In Normalverteilung (standardisiert) wird eine speziellere Dichtefunktion $ \phi := f_{NV(0,1)} $ definiert. Wie hängen die hier definierte allgemeine Form und die dort definierte spezielle Form zusammen?

Zunächst sieht man anhand der Definitionen sofort, dass die Dichtefunktion der standardisierten Normalverteilungen auch eine spezielle Dichtefunktion einer allgemeinen Normalverteilungen ist.

Umgekehrt können alle Dichtefunktionen allgemeinen Normalverteilungen durch Linear-Transformationen aus der Dichtefunktionen der standardisierten Normalverteilungen erzeugt werden:

$ f_{NV(\mu,\sigma^2)} = \frac {1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac {1}{2} \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} = \frac{1}{\sigma}\, \phi\!\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right). $

(Beweis der zweiten Aussage)

Tabellen

Normalverteilung mit Erwartungswert μ und verschiedenen Streuungsintervallen
Erwartete Anteile der Werte einer normalverteilten Zufallsvariablen innerhalb bzw. außerhalb der Streuintervalle $ \left[\mu-nσ, \mu+nσ\right] $
nσ Prozent innerhalb  Prozent außerhalb  Anzahl Sechser Münzwurf: n mal Kopf  Signifikanz 
0,674 490 σ 50 % 50 % 1 Münze: 50 %
0,994 458 σ 68 % 32 %
1σ 68,27 % 31,73 % 2 Münzen: 25 %
1,281 552 σ 80 % 20 % 1 Sechser: 16,67 % 3 Münzen: 12,5 %
1,644 854 σ 90 % 10 % 4 Münzen: 6,25 %
1,959 964 σ 95 % 5 % 5 Münzen: 3,25 % Medizin: signifikant
2σ 95,45 % 4,55 % 2 Sechser: 2,77 %
2,354 820 σ 98,17 % 1,85 % 6 Münzen: 1,56 %
2,575 829 σ 99 % 1 % 3 Sechser: 0,46 % 7 Münzen: 0,78 % Medizin: sehr signifikant
3σ 99,73% 0,27 % 9 Münzen: 0,20 %
3,290 527 σ 99,9 % 0,1 % 4 Sechser: 0,077 % 10 Münzen: 0,10 % Medizin: hoch signifikant
3,890 592 σ 99,99 % 0,01 % 5 Sechser: 0,013 % 13 Münzen: 0,01 %
4σ 99,993 % 0,006 % 14 Münzen: 0,006 %
4,417 173 σ 99,999 % 0,001 % 6 Sechser: 0,001 2 % 17 Münzen: 0,000 76 %
4,891 638 σ 99,999 9 % 0,000 1 % 7 Sechser: 0,000 36 % 20 Münzen: 0,000 095 %
5σ 99,999 94 % 0,000 06 % 8 Sechser: 0,000 060 % 21 Münzen: 0,000 047 %
5,326 724 σ 99,999 99 % 0,000 01 % 9 Sechser: 0,000 010 % 23 Münzen: 0,000 012 % Lotto: 6 Richtige
5,730 729 σ 99,999 999 % 0,000 001 % 10 Sechser: 0,000 001 6 % 26 Münzen: 0,000 001 5 % Lotto: 6 Richtige + Zusatzzahl
6σ 99,999 999 8 % 0,000 000 2 % 11 Sechser: 0,000 000 28 % 29 Münzen: 0,000 000 19 % Physik: Higgs-Boson (5,9σ)[1]
6,109 410 σ 99,999 999 9 % 0,000 000 1 % 12 Sechser: 0,000 000 046 % 30 Münzen: 0,000 000 093 %
6,466 951 σ 99,999 999 99 % 0,000 000 01 % 13 Sechser: 0,000 000 007 7 % 33 Münzen: 0,000 000 012 %
6,806 502 σ 99,999 999 999 % 0,000 000 001 % 14 Sechser: 0,000 000 001 3 % 37 Münzen: 0,000 000 000 73 %
7σ 99,999 999 999 7 % 0,000 000 000 3 % 15 Sechser: 0,000 000 000 21 % 39 Münzen: 0,000 000 000 18 %
Erwartete Anteile der Werte einer normalverteilten Zufallsvariablen außerhalb der Streuintervalle $ \left[\mu-nσ, \mu+nσ\right] $ in Prozent, Parts per Billion (ppb, zu Deutsch „Teile pro Milliarde“[2]) und als Bruchteil
nσ Prozent innerhalb Prozent außerhalb  ppb außerhalb   Bruchteil außerhalb 
0,674 490 σ 50 % 50 % 500.000.000 1 / 2
0,994 458 σ 68 % 32 % 320.000.000 1 / 3,125
1σ 68,268 949 2 % 31,731 050 8 % 317.310.508 1 / 3,151 4872
1,281 552 σ 80 % 20 % 200.000.000 1 / 5
1,644 854 σ 90 % 10 % 100.000.000 1 / 10
1,959 964 σ 95 % 5 % 50.000.000 1 / 20
2σ 95,449 973 6 % 4,550 026 4 % 45.500.264 1 / 21,977 895
2,354 820 σ 98,146 832 2 % 1,853 167 8 % 18.531.678 1 / 54
2,575 829 σ 99 % 1 % 10.000.000 1 / 100
3σ 99,730 020 4 % 0,269 979 6 % 2.699.796 1 / 370,398
3,290 527 σ 99,9 % 0,1 % 1.000.000 1 / 1.000
3,890 592 σ 99,99 % 0,01 % 100.000 1 / 10.000
4σ 99,993 666 % 0,006 334 % 63.340 1 / 15.787
4,417 173 σ 99,999 % 0,001 % 10.000 1 / 100.000
4,891 638 σ 99,9999 % 0,0001 % 1.000 1 / 1.000.000
5σ 99,999 942 669 7 % 0,000 057 330 3 % 573,330 3 1 / 1.744.278
5,326 724 σ 99,999 99 % 0,000 01 % 100 1 / 10.000.000
5,730 729 σ 99,999 999 % 0,000 001 % 10 1 / 100.000.000
6σ 99,999 999 802 7 % 0,000 000 197 3 % 1,973 1 / 506.797.346
6,109 410 σ 99,999 999 9 % 0,000 000 1 % 1 1 / 1.000.000.000
6,466 951 σ 99,999 999 99 % 0,000 000 01 % 0,1 1 / 10.000.000.000
6,806 502 σ 99,999 999 999 % 0,000 000 001 % 0,01 1 / 100.000.000.000
7σ 99,999 999 999 744 % 0,000 000 000 256 % 0,002 56 1 / 390.682.215.445

Quellen

  1. ↑ CMS collaboration: Observation of a new boson at a mass of 125 GeV with the CMS experiment at the LHC. In: Physics Letters B. 716, Nr. 1, 2012, S. 30–61. arxiv:1207.7235. doi:10.1016/j.physletb.2012.08.021
  2. ↑ Wikipedia:Normalverteilung
  2. Kowarschick (PM): Wolfgang Kowarschick; Vorlesung „Projektmanagement“; Hochschule: Hochschule Augsburg; Adresse: Augsburg; Web-Link; 2014; Quellengüte: 3 (Vorlesung)
  3. Rinne (2003): Horst Rinne; Taschenbuch der Statistik; Auflage: 3; Verlag: Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch; Adresse: Frankfurt am Main; ISBN: 3817116950; 2003; Quellengüte: 5 (Buch)
  4. WikipediaEn: Normal distribution
  5. Statwiki HU Berlin: Normalverteilung

Siehe auch

  1. Brighton Webs Ltd.: Normal Distribution
  2. Dreiecksverteilung
  3. Beta-Verteilung
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