Normalverteilung
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Definition
Eine stetige Zufallsgröße $ \scriptstyle{X = NV(\mu,\sigma^2)} $ heißt normalverteilt, wenn ihre Verteilungsfunktion durch die Dichtefunktion $ \scriptstyle{f_X = f_{NV(\mu,\sigma^2)}} $ mit
$ \textstyle{f_X(x) = f_{NV(\mu,\sigma^2)}(x) := \frac {1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac {1}{2} \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}} $
beschrieben werden kann.
$ \scriptstyle{\mu} $ und $ \scriptstyle{\sigma^2} $ heißen Parameter der Verteilung. Sie müssen die in der Tabelle angegebenen Bedingungen erfüllen.
TO BE DONE
Eigenschaften einer normalverteilten Zufallsgröße
| Parameter | $ \mu \in ]-\infty,\infty[ $ $ \sigma \in ]0,\infty[ $ |
| Dichtefunktion | $ f_{NV(\mu,\sigma^2)}(x) := \frac {1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac {1}{2} \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} $ |
| Stetigkeit | $ f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[\! $ |
| Träger | $ f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]a,b[ \! $ |
| Verteilungsfunktion | $ F_{NV(\mu,\sigma^2)}(x) =\int_-\infty^x \! f_{NV(\mu,\sigma^2)}(t) \, \mathrm{d} t $ ist nicht geschlossen darstellbar |
| Modus | $ \mu $ |
| Erwartungswert | $ \mu $ |
| Median | $ \mu $ |
| Varianz | $ \sigma^2 $ |
| Standardabweichung | $ \sigma $ |
Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Beta-Verteilung
In Beta-Verteilung (standardisiert) wird eine speziellere Dichtefunktion $ f_{\Beta V(\alpha,\beta)}\! $ definiert. Wie hängen die hier definierte allgemeine Form und die dort definierte spezielle Form zusammen?
Zunächst sieht man anhand der Definitionen sofort, dass jede Dichtefunktion einer standardisierten Beta-Verteilungen auch eine Dichtefunktion einer allgemeinen Beta-Verteilungen ist:
$ f_{\Beta V(\alpha,\beta)}(x) = f_{\Beta V(\alpha,\beta,0,1)}(x) \! $
Umgekehrt können alle Dichtefunktionen allgemeinen Beta-Verteilungen durch Linear-Transformationen aus entsprechenden Dichtefunktionen der standardisierten Beta-Verteilungen erzeugt werden:
$ f_{\Beta V(\alpha,\beta,a,b)}(x) = \frac{1}{b-a}\cdot f_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) = \frac{1}{d}\cdot f_{\Beta V(\alpha,\beta)}\left(\frac{x-a}{d}\right) $
Quellen
- Kowarschick (PM): Wolfgang Kowarschick; Vorlesung „Projektmanagement“; Hochschule: Hochschule Augsburg; Adresse: Augsburg; Web-Link; 2014; Quellengüte: 3 (Vorlesung)
- Rinne (2003): Horst Rinne; Taschenbuch der Statistik; Auflage: 3; Verlag: Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch; Adresse: Frankfurt am Main; ISBN: 3817116950; 2003; Quellengüte: 5 (Buch)
- WikipediaEn: Beta distribution
- Statwiki HU Berlin: Beta-Verteilung
