Normalverteilung

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Definition

Eine stetige Zufallsgröße $ X = NV(\mu,\sigma^2) $ heißt normalverteilt, wenn ihre Verteilungsfunktion durch die Dichtefunktion $ f_X = f_{NV(\mu,\sigma^2)} $ mit

$f_X(x) = f_{NV(\mu,\sigma^2)}(x) := \frac {1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac {1}{2} \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$

beschrieben werden kann.

$ \mu $ und $ \sigma^2 $ heißen Parameter der Verteilung. Sie müssen die in der Tabelle angegebenen Bedingungen erfüllen.

Eigenschaften einer normalverteilten Zufallsgröße

Parameter	$ \mu \in ]-\infty,\infty[ $ $ \sigma \in ]0,\infty[ $
Dichtefunktion	$ f_X(x) =\frac {1}{{\sigma} \sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac {1}{2} \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} $
Stetigkeit	$ f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[\! $
Träger	$ f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]a,b[ \! $
Verteilungsfunktion	$ F_X(x) =\int_{-\infty}^x \! f_X(t) \, \mathrm{d} t $ ist nicht elementar darstellbar
Modus	$ \operatorname{md}_X = \{\mu\} $
Erwartungswert	$ \mu(X) = \mu $
Median	$ F_X^{-1}(0,5) = \mu $
Varianz	$ \operatorname{Var}(X) = \sigma^2 $
Standardabweichung	$ \sigma(X) = \sigma $

Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Normalverteilung

In Normalverteilung (standardisiert) wird eine speziellere Dichtefunktion $ \phi := f_{NV(0,1)} $ definiert. Wie hängen die hier definierte allgemeine Form und die dort definierte spezielle Form zusammen?

Zunächst sieht man anhand der Definitionen sofort, dass die Dichtefunktion der standardisierten Normalverteilungen auch eine spezielle Dichtefunktion einer allgemeinen Normalverteilungen ist.

Umgekehrt können alle Dichtefunktionen allgemeinen Normalverteilungen durch Linear-Transformationen aus der Dichtefunktionen der standardisierten Normalverteilungen erzeugt werden:

$

   f_{NV(\mu,\sigma^2)} = \frac {1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac {1}{2} \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}
                        = \frac{1}{\sigma}\, \phi\!\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right).

$

(Beweis der zweiten Aussage)

Quellen

1. Kowarschick (PM): Wolfgang Kowarschick; Vorlesung „Projektmanagement“; Hochschule: Hochschule Augsburg; Adresse: Augsburg; Web-Link; 2014; Quellengüte: 3 (Vorlesung)
2. Rinne (2003): Horst Rinne; Taschenbuch der Statistik; Auflage: 3; Verlag: Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch; Adresse: Frankfurt am Main; ISBN: 3817116950; 2003; Quellengüte: 5 (Buch)
3. WikipediaEn: Normal distribution
4. Statwiki HU Berlin: Normalverteilung

Siehe auch

1. Brighton Webs Ltd.: Normal Distribution
2. Dreiecksverteilung
3. Beta-Verteilung