Relation

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Definition (Kowarschick (2019))

Eine Relation ist eine Teilmenge einer Menge von strukturell gleichartigen Tupeln.

Tupelmengen, Relationenschemata und Relationen

Es seien $ a_1, \ldots, a_n $ ($ n \ge 0 $) unterschiedliche Attributnamen ($ a_i \ne a_j $ für $ i \ne j $) und $ D_1, \ldots, D_n $ zugehörige Domänen (nichtleere Mengen).

Positionstupel

Die geordnete Liste $ R = [D_1, \ldots, D_n] $ heißt Relationsschema (für Positionstupel).

Die kartesische Produkt der Domänen

$ T(R) := T(D_1, \ldots, D_n) := {\Large ⨉}_{i=1}^nD_i = D_1 \times \ldots \times D_n $

enthält alle Positionstupel der Art $ (v_1, \ldots, v_n) $, wobei $ v_i \in D_i $.

Mittels $ t[i] $ greift man auf das $ i $-te Element $ v_i $ eines zugehörigen Tupels $ t = (v_1, \ldots, v_n) $ zu.

Eine Teilmenge $ r(D_1,\dots ,D_n) := r(R) $ von $ T(R) $ heißt Relation, die dem Relationsschema $ R $ genügt. $ r(R) $ enthält ausschließlich Positionstupel $ t $ mit genau $ n $ Attributen $ t[i] $, für die $ t[i] \in D_i $ gilt.

Spezialfälle:

• Die leere Menge $ \{\} $, die überhaupt keine Tupel enthält, ist eine Relation, die jedem Reltionenschema genügt.
• Die Menge $ \{()\} $, die nur das leere Positionsupel enthält, ist eine Relation, die dem leeren Reltionenschema $ [] $ genügt. Bis auf die leere Menge gibt es keine weitere Relation, die diesem Relationsschema genügt.

Attributtupel

Ein Paar $ (a_i, D_i) $ oder – alternativ – $ a_i : D_i $ heißt Attributdefinition. $ a_i $ ist der der Name des Attributs (Attributname), $ D_i $ die Domäne. Die Domäne enthält alle Werte, die das Attribut annehmen kann.

Die Menge $ R = \{(a_1, D_1), \ldots, (a_n, D_n)\} = \{a_1 : D_1, \ldots, a_n : D_n\} $ heißt Relationsschema (für Attributtupel).

Die Menge

$ T(R) = T(a_1: D_1, \ldots, a_n: D_n) $

enthält alle Attributtupel der Art $ \{(a_1, v_1), \ldots, (a_n, v_n)\} = \{a_1 : v_1, \ldots, a_n : v_n\} $, wobei $ v_i \in D_i $. Man beachte, dass es bei einem derartigen Tupel nicht auf die Reihenfolge der Attribute ankommt, da ein Attributtupel eine Menge von Paaren ist.

Mittels $ t[a_i] = t.a_i = \bigcap\{v | (a_i, v) \in t \} $ greift man auf den Wert $ v_i $ des Attributs $ a_i $ eines zugehörigen Tupels $ t = \{a_1 : v_1, \ldots, a_n : v_n\} $ zu.

Eine Teilmenge $ r(a_1: D_1, \ldots, a_n: D_n) := r(R) $ von $ T(R) $ heißt Relation, die dem Relationsschema $ R $ genügt. $ r(R) $ enthält ausschließlich Attributtupel $ t $ mit genau $ n $ Attributen $ t.a_i $, für die $ t.a_i \in D_i $ gilt.

Spezialfälle:

• Die leere Menge $ \{\} $, die überhaupt keine Tupel enthält, ist eine Relation, die jedem Reltionenschema genügt.
• Die Menge $ \{\{\}\} $, die nur das leere Attributtupel enthält, ist eine Relation, die dem leeren Reltionenschema $ \{\} $ genügt. Bis auf die leere Menge gibt es keine weitere Relation, die diesem Relationsschema genügt.

Die Tupelmenge $ T(D_1, \ldots, D_n) $ kann mit der Tupelmenge $ T(1: D_1, \ldots, n: D_n) $ identifiziert werden (d. h., die zugehörigen Tupel können bijektiv aufeinander abgebieldet werden). Ebenso kann ein Relation $ r(D_1, \ldots, D_n) $ mit einer Relation $ r(1: D_1, \ldots, n:D_n) $ identifiziert werden.

Attributierte Positionstupel

Die Menge

$ T(a_1/1: D_1, \ldots, a_n/n: D_n) $

enthalte alle attributierten Tupel deren Attribute zusätzlich mit einer Position versehen sind. Das heißt, sie enthält alle Tupel der Art $ (a_1/1:v_1, \ldots, a_n/n:v_n) $, wobei $ v_i \in D_i $.

Mittels $ t[a_i] $ oder auch $ t.a_i $ greift man auf den Wert $ v_i $ des Attributs $ a_i $ eines zugehörigen Tupels $ t $ zu. Und mittels $ t[i] $ greift man auf das $ i $-te Element von $ t $ zu.

In einer Relationalen Algebra ist eine Relation $ r $ i. Allg. eine Teilmenge einer Tupelmenge $ T(a_1/1: D_1, \ldots, a_n/n: D_n) $. Das heißt, jedes Tupel $ t \in r $ besteht aus einer geordneten Menge von Attributen, deren Werte vorgegebenen Domänen entstammen.

$ (a_1/1: D_1, \ldots, a_n/n: D_n) $ heißt das Schema der Relation $ r $.

$ \mathcal R $ sei die Menge aller Relationen. Die Potenzmenge einer der zuvor definierten Tupelmengen ist stets eine Teilmenge von $ \mathcal R $:

$ \mathscr{P}(T(a_1/1: D_1, \ldots, a_n/n: D_n)) \subset \mathcal R $

Jede Relation mit Schema $ T(a_1/1: D_1, \ldots, a_n/n: D_n) $ kann auch als Relation mit Schema $ T(a_1: D_1, \ldots, a_n: D_n) $ bzw. mit Schema $ T(D_1, \ldots, D_n) $ aufgefasst werden.

Definition (Aristoteles)

TBD: Methaphysik II VI 5. Quantität, Qualität, Relation, S. 304 – 308

Definition (Brockhaus (1992))

Logik und Mathematik: jede Aussageform, die eine Beziehung zw. bestimmten Dingen, Sachverhalten, Größe, Zahlen, u. a., den Relata, widerspiegelt. Je nach Anzahl der in Beziehung zueinander stehenden Relata bzw. Variablen liegt eine zwei-, drei- oder mehrstellige Relation vor.

Definition (De Morgan (1858))

De Morgan (1858), S. 203

When two objects, qualities, classes, or attributes, viewed together by the mind, are seen under some connexion, that connexion is called a relation.

Übersetzung (von W. Kowarschick):

Sobald zwei Objekte, Eigenschaften, Klassen oder Attribute, verstandesgemäß zusammengehörend, in einer Beziehung gesehen werden, wird diese Beziehung Relation genannt.

Definition (Peirce (1870))

Peirce (1870), S. 359

Der Mathematiker und Philosoph Charles Sanders Peirce setzt die Begriffe „Paar“, „Triplett“ und „Quartett“ als bekannt voraus. Er definiert darauf aufbauend den Begriff “elementary relative” („Beziehungsbeteiligter“):

By an elymentary relative I mean one which signifies a relation which exists only between mutually exclusive pairs or in the case of a conjunctive term, triplets, or quartettes, etc.) of individuals, or else between pairs of classes in such a way that every individual of one class of pairs is in that relation to every individual of the other. (Peirce (1870), S. 359)

Übersetzung (von W. Kowarschick):

Als elementaren Beziehungsbeteiligten sehe ich einen an, der eine Beziehung kennzeichnet, die [entweder] nur zwischen sich gegenseitig ausschließenden Paaren (oder – im Falle eines zusammengesetzten Terms – Tripletts, Quartetts etc.) von Individuen besteht oder zwischen Paaren von Klassen in einer derartigen Weise, dass jedes Individuum einer Klasse des Paares in dieser Beziehung zu jedem Individuum des anderen steht.

Aufbauend auf dem Begriff “elementary relative” (elementarer Beziehungsbeteiligter) beschreibt Peirce als einer der ersten, wenn nicht als erster eine Relation als Klasse von Paaren:

That every relative may be conceived as a logical sum of elementary relatives is plain from the fact that if a relation is sufficiently determined it can exist only between two individuals. ... The conception of a relative as resolvable into elementary relatives has the same sort of utility as the conception of a relative as resolvable into infinitesimals or of any term as resolvable into individuals.(S. 359)

Übersetzung (von W. Kowarschick):

Dass jede Relation [hier erlaube ich mir, “relative” als „Relation“ zu übersetzen; WK] als logische Summe von elementaren Beziehungsbeteiligten angesehen werden kann, folgt aus der Tatsache, dass, wenn eine Beziehung [“relation” übersetze ich dagegen mit „Beziehung“; WK] hinreichend betimmt ist, sie nur zwischen zwei Individuen existieren kann. ... Die Auffassung, dass eine Relation in elementare Beziehungsbeteiligungen aufgelöst werden kann, ist genauso nützlich, wie die Auffassung, dass eine Relation in Infinitesimale aufgelöst werden kann oder jeder Term in Individuen.

Anmerkungen zur Definition von Peirce

Interessanterweise erwähnt Peirce im Anschluss an seine Definition, dass eine Relation in Infinitesimale aufgelöst werden kann. Dies ist auch heute noch die übliche Vorstellung bei der Infinitesimalrechnung, bei der allerdings i. Allg. nur Funktionen betrachtet werden. Das heißt, er wusste vermutlich bereits, dass Funktionen (spezielle) Relationen sind.

An Perices Defintionen fällt auf, dass “elementary relative” für ihn zunächst einmal folgende Bedeutung hat: „Individum, das eine bestimmte Beziehung zu anderen Individuen hat“. Er definiert aber gleichzeitig auch, dass eine Beziehung (relation) das kartesische Produkt von zwei (oder mehr) Klassen bestimmt.

Dies sind die beiden wesentlichen Elemente zur Definition von Relationen.

Der Begriff “relative” bedeutet eigentlich „Verwandter“, kann aber auch „ein Ding, das eine Beziehung zu oder eine Verbindung mit oder eine zwangsläufige Abhängigkeit von einem anderen Ding hat“ bedeuten (Merriam-Webster: „a thing having a relation to or connection with or necessary dependence on another thing“). Peirce verwendet den Begriff im zweiten Sinn.

The second class embraces terms whose logical form involves the conception of relation, and which require the addition of another term to complete the denotation. ... They regard an object as over against another, that is as relative ; as father of, lover of, or servant of. These are simple relative terms. (Peirce (1870), S. 332)

Übersetzung (von Wolfgang Kowarschick, wobei “relative” mit „Beziehungsbeteiligter“ übersetzt wird):

Die zweite Klasse umfasst Terme, deren logische Form das Konzept von Beziehung zur Folge hat und die das Hinzufügen eines anderen Terms erfordern, um die Bedeutung zu vervollständigen. ... Sie fassen ein Objekt als Gegenpart eines anderen auf, dies ist ein Beziehungsbeteiligter ; als Vater von, Liebhaber von oder Diener von. Dies sind einfache Beziehungsterme.

Frege (1903)

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