Relation

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Definition (Kowarschick (2019))

Eine Relation ist eine Teilmenge einer Menge von strukturell gleichartigen Tupeln.

Relationsschemata und Tupelmengen

Es seien $ a_1, \ldots, a_n $ ($ n \ge 0 $) unterschiedliche Attributnamen ($ a_i \ne a_j $ für $ i \ne j $) und $ D_1, \ldots, D_n $ zugehörige Domänen (nichtleere Mengen).

Positionstupel

Relationsschema für Positionstupel
Ein Tupel von Domänen $ R = (D_1, \ldots, D_n) $ heißt Relationsschema für Positionstupel.

Die Menge aller Positionstupel zum Relationsschema $ R $
Die kartesische Produkt der Domänen

$ T(R) := T(D_1, \ldots, D_n) := {\Large ⨉}_{i=1}^nD_i = D_1 \times \ldots \times D_n $

enthält alle Positionstupel der Art $ (v_1, \ldots, v_n) $, wobei $ v_i \in D_i $.

Attributzugriff
Mittels $ t(i) = t_i $ greift man auf das $ i $-te Element (Attribut) $ v_i $ eines zugehörigen Tupels $ t = (v_1, \ldots, v_n) $ zu.

Attributtupel

Attributdefinition: Attributname und Domäne
Ein Paar $ (a_i, D_i) $ oder – alternativ – $ a_i : D_i $ heißt Attributdefinition. $ a_i $ ist der der Name des Attributs (Attributname), $ D_i $ die Domäne. Die Domäne enthält alle Werte, die das Attribut annehmen kann.

Relationsschema für Attributtupel
Die Menge $ R = \{(a_1, D_1), \ldots, (a_n, D_n)\} = \{a_1 : D_1, \ldots, a_n : D_n\} $ von Attributdefinitionen heißt Relationsschema für Attributtupel.

Die Menge aller Attributtupel zum Relationsschema $ R $
Die Menge

$ T(R) = T(a_1: D_1, \ldots, a_n: D_n) $

enthält alle Attributtupel der Art $ \{(a_1, v_1), \ldots, (a_n, v_n)\} = \{a_1 : v_1, \ldots, a_n : v_n\} $, wobei $ v_i \in D_i $. Man beachte, dass es bei einem derartigen Tupel nicht auf die Reihenfolge der Attribute ankommt, da ein Attributtupel eine Menge von Paaren ist.

Attributzugriff
Mittels $ t(a_i) = t.a_i = \bigcap\{v | (a_i, v) \in t \} $ greift man auf den Wert $ v_i $ des Attributs $ a_i $ eines zugehörigen Tupels $ t = \{a_1 : v_1, \ldots, a_n : v_n\} $ zu.

Positionsattributtupel

Man kann die Begriffe Attributtupel und Positionstupel zusammenführen: In einem Positionsattributtupel hat jedes Attribut sowohl eine Position als auch einen Namen. Voraussetzung: $ a_i \not\in \mathbb N $.

Relationsschema für Positionsattributtupel
Die Menge $ R = \{(a_1, 1, D_1), \ldots, (a_n, n, D_n)\} = \{a_1/1 : D_1, \ldots, a_n/n : D_n\} $ von Attributdefinitionen mit zusätzlichen Positionsangaben heißt Relationsschema für Positionsattributtupel.

Die Menge aller Positionsattributtupel zum Relationsschema $ R $
Die Menge

$ T(R) = T(a_1/1: D_1, \ldots, a_n/n: D_n) $

enthält alle Attributtupel der Art $ \{(a_1, 1, v_1), \ldots, (a_n, 2, v_n)\} = \{a_1/1 : v_1, \ldots, a_n/n : v_n\} $, wobei $ v_i \in D_i $. Man beachte, dass es bei einem derartigen Tupel nicht auf die Reihenfolge der Attribute ankommt, da ein Attributtupel eine Menge von Paaren ist. Allerdings hat jedes Attribut eine Position, so dass es durchaus Sinn macht vom $ i $-ten Attribut zu sprechen.

Attributzugriff
Mittels $ t(a_i) = t.a_i = \bigcap\{v | \bigwedge j : (a_i, j, v) \in t \} $ greift man auf den Wert $ v_i $ des Attributs $ a_i $ eines zugehörigen Tupels $ t $ zu. Und mittels $ t(i) = t_i = \bigcap\{v | \bigwedge a : (a, i, v) \in t \} $ greift man auf das $ i $-te Element von $ t = \{a_1/1 : v_1, \ldots, a_n/n : v_n\} $ zu.

Relationen

Relationen zu einem Relationsschema für Positionstupel

Eine Teilmenge $ r(D_1,\dots ,D_n) := r(R) $ von $ T(R) $ heißt Relation zum Relationsschema $ R $'. $ r(R) $ enthält ausschließlich Positionstupel $ t $ mit genau $ n $ Attributen $ t_i $, für die $ t_i \in D_i $ gilt.

Spezialfälle
Die leere Menge $ \{\} $, die überhaupt keine Tupel enthält, ist eine Relation zum Relationsschema $ R $. Die Menge $ \{()\} $, die nur das leere Positionsupel enthält, ist eine Relationzum leeren Relationsschema $ () $. Bis auf die leere Menge gibt es keine weitere Relation zu diesem Relationsschema genügt.

Relationen zu einem Relationsschema für Attributtupel

Eine Teilmenge $ r(a_1: D_1, \ldots, a_n: D_n) := r(R) $ von $ T(R) $ heißt Relation, die dem Relationsschema $ R $ genügt. $ r(R) $ enthält ausschließlich Attributtupel $ t $ mit genau $ n $ Attributen $ t.a_i $, für die $ t.a_i \in D_i $ gilt.

Spezialfälle:

• Die leere Menge $ \{\} $, die überhaupt keine Tupel enthält, ist eine Relation, die jedem Relationsschema genügt.
• Die Menge $ \{\{\}\} $, die nur das leere Attributtupel enthält, ist eine Relation, die dem leeren Relationsschema $ \{\} $ genügt. Bis auf die leere Menge gibt es keine weitere Relation, die diesem Relationsschema genügt.

Die Tupelmenge $ T(D_1, \ldots, D_n) $ kann mit der Tupelmenge $ T(1: D_1, \ldots, n: D_n) $ identifiziert werden (d. h., die zugehörigen Tupel können bijektiv aufeinander abgebieldet werden). Ebenso kann ein Relation $ r(D_1, \ldots, D_n) $ mit einer Relation $ r(1: D_1, \ldots, n:D_n) $ identifiziert werden.

Relationen zu einem Relationsschema für Positionsattributstupel

Eine Teilmenge $ r(a_1/1: D_1, \ldots, a_n/n: D_n) := r(R) $ von $ T(R) $ heißt Relation, die dem Relationsschema $ R $ genügt. $ r(R) $ enthält ausschließlich Attributtupel $ t $ mit genau $ n $ Attributen $ t.a_i $ bzw. $ t_i $, für die $ t.a_i \in D_i $ bzw. $ t_i \in D_i $ gilt.

Spezialfälle:

• Die leere Menge $ \{\} $, die überhaupt keine Tupel enthält, ist eine Relation, die jedem Relationsschema genügt.
• Die Menge $ \{\{\}\} $, die nur das leere Positionsattributtupel enthält, ist eine Relation, die dem leeren Relationsschema $ \{\} $ genügt. Bis auf die leere Menge gibt es keine weitere Relation, die diesem Relationsschema genügt.

Jede Relation mit Schema $ T(a_1/1: D_1, \ldots, a_n/n: D_n) $ kann auch als Relation mit Schema $ T(a_1: D_1, \ldots, a_n: D_n) $ bzw. mit Schema $ T(D_1, \ldots, D_n) $ aufgefasst werden.

Klasse aller Relationen

$ \mathcal R $ sei die Klasse aller Relationen, die einem Relationsschema für Positionsattributtupel genügen. Die Potenzmenge einer der zuvor definierten Attributpositionstupelmengen ist stets eine Teilmenge von $ \mathcal R $:

$ \mathscr{P}(T(a_1/1: D_1, \ldots, a_n/n: D_n)) \subset \mathcal R $

Beispiele

Positionstupel

Relationsschema
$ R = (\mathbb N, \tt{String}) $

Positionstupel zum Relationsschema $ R $
$ T(R) =\small\begin{array}[t]{r,l,l,l,l} \{ & (0,\tt{''}), & (1,\tt{''}), & (2,\tt{''}), & \ldots,\\ & (0,\tt{'a'}), & (1,\tt{'a'}), & (2,\tt{'a'}), & \ldots,\\ & (0,\tt{'b'}), & (1,\tt{'a'}), & (2,\tt{'a'}), & \ldots,\\ & \ldots & & &\\ & (0,\tt{'aa'}), & (1,\tt{'aa'}), & (2,\tt{'aa'}), & \ldots,\\ & \ldots & & &\\ & (0,\tt{'Baum'}), & (1,\tt{'Baum'}), & (2,\tt{'Baum'}), & \ldots,\\ & \ldots & & &\\ \} \end{array} $

Relation zum Relationsschema $ R $
$ r(R) = \{ (0,\tt{'Anton'}), (1,\tt{'Berta'}),(2,\tt{'Cäsar'})\} $ Anmerkungen

$ T(R) $ enthält abzählbar unendlich viele Positionstupel zum Schema $ R $. $ r(R) $ ist eine endliche Teilmenge $ r(R) $.

Es gibt natürlich auch unendlich große Realtionen, wie z. B. $ \le $ zum Schema $ (\mathbb N, \mathbb N) $ (abzählbar) oder zum Schema $ (\mathbb R, \mathbb R) $ (überzählbar), aber in der „Datenbankwelt“ kommen vor allem endliche Relationen vor.

Definition (Aristoteles)

TBD: Methaphysik II VI 5. Quantität, Qualität, Relation, S. 304 – 308

Definition (Brockhaus (1992))

Logik und Mathematik: jede Aussageform, die eine Beziehung zw. bestimmten Dingen, Sachverhalten, Größe, Zahlen, u. a., den Relata, widerspiegelt. Je nach Anzahl der in Beziehung zueinander stehenden Relata bzw. Variablen liegt eine zwei-, drei- oder mehrstellige Relation vor.

Definition (De Morgan (1858))

De Morgan (1858), S. 203

When two objects, qualities, classes, or attributes, viewed together by the mind, are seen under some connexion, that connexion is called a relation.

Übersetzung (von W. Kowarschick):

Sobald zwei Objekte, Eigenschaften, Klassen oder Attribute, verstandesgemäß zusammengehörend, in einer Beziehung gesehen werden, wird diese Beziehung Relation genannt.

Definition (Peirce (1870))

Peirce (1870), S. 359

Der Mathematiker und Philosoph Charles Sanders Peirce setzt die Begriffe „Paar“, „Triplett“ und „Quartett“ als bekannt voraus. Er definiert darauf aufbauend den Begriff “elementary relative” („Beziehungsbeteiligter“):

By an elymentary relative I mean one which signifies a relation which exists only between mutually exclusive pairs or in the case of a conjunctive term, triplets, or quartettes, etc.) of individuals, or else between pairs of classes in such a way that every individual of one class of pairs is in that relation to every individual of the other. (Peirce (1870), S. 359)

Übersetzung (von W. Kowarschick):

Als elementaren Beziehungsbeteiligten sehe ich einen an, der eine Beziehung kennzeichnet, die [entweder] nur zwischen sich gegenseitig ausschließenden Paaren (oder – im Falle eines zusammengesetzten Terms – Tripletts, Quartetts etc.) von Individuen besteht oder zwischen Paaren von Klassen in einer derartigen Weise, dass jedes Individuum einer Klasse des Paares in dieser Beziehung zu jedem Individuum des anderen steht.

Aufbauend auf dem Begriff “elementary relative” (elementarer Beziehungsbeteiligter) beschreibt Peirce als einer der ersten, wenn nicht als erster eine Relation als Klasse von Paaren:

That every relative may be conceived as a logical sum of elementary relatives is plain from the fact that if a relation is sufficiently determined it can exist only between two individuals. ... The conception of a relative as resolvable into elementary relatives has the same sort of utility as the conception of a relative as resolvable into infinitesimals or of any term as resolvable into individuals.(S. 359)

Übersetzung (von W. Kowarschick):

Dass jede Relation [hier erlaube ich mir, “relative” als „Relation“ zu übersetzen; WK] als logische Summe von elementaren Beziehungsbeteiligten angesehen werden kann, folgt aus der Tatsache, dass, wenn eine Beziehung [“relation” übersetze ich dagegen mit „Beziehung“; WK] hinreichend betimmt ist, sie nur zwischen zwei Individuen existieren kann. ... Die Auffassung, dass eine Relation in elementare Beziehungsbeteiligungen aufgelöst werden kann, ist genauso nützlich, wie die Auffassung, dass eine Relation in Infinitesimale aufgelöst werden kann oder jeder Term in Individuen.

Anmerkungen zur Definition von Peirce

Interessanterweise erwähnt Peirce im Anschluss an seine Definition, dass eine Relation in Infinitesimale aufgelöst werden kann. Dies ist auch heute noch die übliche Vorstellung bei der Infinitesimalrechnung, bei der allerdings i. Allg. nur Funktionen betrachtet werden. Das heißt, er wusste vermutlich bereits, dass Funktionen (spezielle) Relationen sind.

An Perices Defintionen fällt auf, dass “elementary relative” für ihn zunächst einmal folgende Bedeutung hat: „Individum, das eine bestimmte Beziehung zu anderen Individuen hat“. Er definiert aber gleichzeitig auch, dass eine Beziehung (relation) das kartesische Produkt von zwei (oder mehr) Klassen bestimmt.

Dies sind die beiden wesentlichen Elemente zur Definition von Relationen.

Der Begriff “relative” bedeutet eigentlich „Verwandter“, kann aber auch „ein Ding, das eine Beziehung zu oder eine Verbindung mit oder eine zwangsläufige Abhängigkeit von einem anderen Ding hat“ bedeuten (Merriam-Webster: „a thing having a relation to or connection with or necessary dependence on another thing“). Peirce verwendet den Begriff im zweiten Sinn.

The second class embraces terms whose logical form involves the conception of relation, and which require the addition of another term to complete the denotation. ... They regard an object as over against another, that is as relative ; as father of, lover of, or servant of. These are simple relative terms. (Peirce (1870), S. 332)

Übersetzung (von Wolfgang Kowarschick, wobei “relative” mit „Beziehungsbeteiligter“ übersetzt wird):

Die zweite Klasse umfasst Terme, deren logische Form das Konzept von Beziehung zur Folge hat und die das Hinzufügen eines anderen Terms erfordern, um die Bedeutung zu vervollständigen. ... Sie fassen ein Objekt als Gegenpart eines anderen auf, dies ist ein Beziehungsbeteiligter ; als Vater von, Liebhaber von oder Diener von. Dies sind einfache Beziehungsterme.

Frege (1903)

TO BE DONE