Satz:Aus der Existenz zweier Projektionsoperatoren für geordnete Paare folgt das Paaraxiom

Satz: Aus der Existenz zweier Projektionsoperatoren für geordnete Paare folgt das Paaraxiom

Wenn zwei Projektionsfunktionen $\pi_1$ und $\pi_2$ existieren, die die Bedingungen

$\pi_1([a,b]) = a$

$\pi_2([a,b]) = b$

erfüllen, dann ist auch das Paaraxiom

$\bigwedge a,b: [a,b] = [c,d] \Leftrightarrow a=c \,\&\,b=d $

erfüllt.

Anmerkung

Dieser Satz ist die Umkehrung des Satzes „Existenz und Eindeutigkeit der Projektionsoperatoren“. Außerdem folgt aus dem Eindeutigkeitssatz sofort, dass die beiden Projektionsfunktionen eindeutig sind, sofern sie überhaupt existieren.

Beweis

Wenn $[a,b] = [c,d]$, dann ist auch $a = \pi_1([a,b]) = \pi_1([c,d]) = c$ und $b = \pi_2([a,b]) = \pi_2([c,d]) = d$.

Die Rückrichtung Paaraxioms gilt trivialerweise wegen des „Prinzips von der Identität des Ununterscheidbaren“.