Satz:Aus der Existenz zweier Projektionsoperatoren für geordnete Paare folgt das Paaraxiom: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 9. November 2014, 17:32 Uhr
Satz: Existenz des Paaraxioms
Wenn zwei Projektionsoperatoren $\pi_1$ und $\pi_2$ existieren, die die Bedingungen
$\pi_1([a,b]) = a$
$\pi_2([a,b]) = b$
erfüllen, dann ist auch das Paaraxiom
$\forall a,b: [a,b] = [c,d] \Leftrightarrow a=c \,\&\,b=d $
erfüllt.
Anmerkung
Dieser Satz ist die Umkehrung des Satzes „Existenz und Eindeutigkeit der Projektionsoperatoren“. Außerdem folgt aus dem Eindeutigkeitssatz sofort, dass die beiden Projektionsfunktionen eindeutig sind, sofern sie überhaupt existieren.
Beweis
Wenn $[a,b] = [c,d]$, dann ist auch $a = \pi_1([a,b]) = \pi_1([c,d]) = c$ und $b = \pi_2([a,b]) = \pi_2([c,d]) = d$.
Die Rückrichtung Paaraxioms gilt trivialerweise wegen des „Prinzips von der Identität des Ununterscheidbaren“.