Satz:Aus der Existenz zweier Projektionsoperatoren für geordnete Paare folgt das Paaraxiom: Unterschied zwischen den Versionen
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Dieser Satz ist die Umkehrung des Satzes „[[Satz:Existenz_und_Eindeutigkeit_der_Projektionsoperatoren_von_geordneten_Paaren|Existenz und Eindeutigkeit der Projektionsoperatoren]]“. Außerdem folgt aus dem Eindeutigkeitssatz sofort, dass zwei Projektionsfunktionen identisch sind, sofern sie überhaupt existieren. | |||
===Beweis=== | ===Beweis=== | ||
Wenn $[a,b] = [c,d]$, dann ist auch $a = \pi_1([a,b]) = \pi_1([c,d]) = c$ und $b = \pi_2([a,b]) = \pi_2([c,d]) = d$. | Wenn $[a,b] = [c,d]$, dann ist auch $a = \pi_1([a,b]) = \pi_1([c,d]) = c$ und $b = \pi_2([a,b]) = \pi_2([c,d]) = d$. | ||
Die Rückrichtung Paaraxioms gilt trivialerweise wegen des „[[ | Die Rückrichtung Paaraxioms gilt trivialerweise wegen des „[[Identitätsprinzip|Prinzips von der Identität des Ununterscheidbaren]]“. | ||
Aktuelle Version vom 14. Mai 2020, 12:36 Uhr
Satz: Existenz des Paaraxioms
Wenn zwei Projektionsoperatoren $\pi_1$ und $\pi_2$ existieren, die für alle Elemente $a$ und $b$ die Bedingungen
$\pi_1([a,b]) = a$
$\pi_2([a,b]) = b$
erfüllen, dann ist auch das Paaraxiom
$\bigwedge a,b: [a,b] = [c,d] \leftrightarrow a=c \wedge b=d $
erfüllt.
Anmerkung
Dieser Satz ist die Umkehrung des Satzes „Existenz und Eindeutigkeit der Projektionsoperatoren“. Außerdem folgt aus dem Eindeutigkeitssatz sofort, dass zwei Projektionsfunktionen identisch sind, sofern sie überhaupt existieren.
Beweis
Wenn $[a,b] = [c,d]$, dann ist auch $a = \pi_1([a,b]) = \pi_1([c,d]) = c$ und $b = \pi_2([a,b]) = \pi_2([c,d]) = d$.
Die Rückrichtung Paaraxioms gilt trivialerweise wegen des „Prinzips von der Identität des Ununterscheidbaren“.
