Satz:Aus der Existenz zweier Projektionsoperatoren für geordnete Paare folgt das Paaraxiom

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1 Satz: Aus der Existenz zweier Projektionsoperatoren für geordnete Paare folgt das Paaraxiom

Wenn zwei Projektionsfunktionen $\pi_1$ und $\pi_2$ existieren, die die Bedingungen

$\pi_1([a,b]) = a
$\pi_2([a,b]) = b

erfüllen, dann ist auch das Paaraxiom

$\bigwedge a,b: [a,b] = [c,d] \Leftrightarrow a=c \,\&\,b=d $

erfüllt.

1.1 Beweis

Wenn $[a,b] = [c,d]$, dann ist auch $a = \pi_1([a,b]) = \pi_1([c,d]) = c$ und $b = \pi_2([a,b]) = \pi_2([c,d]) = d$.

Die Rückrichtung Paaraxioms gilt trivialerweise wegen des „Prinzips von der Identität des Ununterscheidbaren“.