Quelltext der Seite Satz:Existenz und Eindeutigkeit der Projektionsoperatoren von geordneten Paaren

{{Theorem
|id          = projektion_existenz_eindeutigkeit
|title       = Existenz und Eindeutigkeit der Projektionsoperatoren von [[geordnetes Paar|geordneten Paaren]]
|proposition = Zwei Operatoren $o_1$ und $o_2$ heißen gleich, wenn Sie denselben [[Definitionsbereich]] $D$ haben und allen Elementen aus $D$ jeweils dasselbe Element zuordnen:
<div class="formula">$\bigwedge x \in D: o_1(x) = o_2(x)$</div>

Wenn das [[Paaraxiom]] 

<div class="formula">$\bigwedge a,b: [a,b] = [c,d] \leftrightarrow a=c \wedge b=d $</div>

erfüllt ist und alle Paare $p$ aus einem „Paaruniversum“ $P$ (kurz $p \in P$) in der Form $[a,b]$ dargestellt werden können 
(dies ist eine triviale Forderung, wenn man $P$ als [[Menge]], [[Klasse (Mengenlehre)|Klasse]] oder „[[Universum]]“ von Elementen der Form $[a,b]$ definiert), 
gibt es – bezüglich der zuvor definierten Operatorengleichheit – genau einen [[Operator]] $\pi_1$ und genau einen Operator $\pi_2$ mit folgenden Eigenschaften:
* $\pi_1$ und $\pi_2$ sind nur für Paare $p \in P$ definiert
* $\pi_1([a,b]) = a$
* $\pi_2([a,b]) = b$
Insbesondere gilt damit für jedes Paar $p \in P$ die Beziehung $p = [\pi_1(p),\pi_2(p)]$.
}}
==Beweis (mit Hilfe der [[Metasprache|Metametasprache]] „Deutsch“)==

Das Problem mit diesem Satz ist, dass er den [[Funktion]]s- oder Abbildungsbegriff benötigt,
der häufig erst in einem zweiten Schritt eingeführt wird, nachdem der Begriff des [[geordnets Paar|geordneten Paares]] bereits definiert wurde.
Daher kann diese Aussage zunächst nur anschaulich mit Hilfe der Metasprache „Deutsch“ bewiesen werden.

===Existenz===

Bei $\pi_1$ und $\pi_2$ handelt es sich um Abbildungen, die jedem Element vom Typ „Paar“ – und nur diesen – einen speziellen Wert zuweisen. 

So eine Abbildung kann es nur geben, wenn sich diejenigen Paare, denen unterschiedliche Werte zugeweisen werden sollen, selbst unterscheiden.
Wenn man beispielsweise $[a,b] := \{a,b\}$ festlegen würde, würden sich die „Paare“ $[2,5]$ und $[5,2]$ nicht unterscheiden,
da die Mengen $\{2,5\}$ und $\{5,2\}$ einander gleich sind. In diesem Fall könnte es keine Abbildung $\pi_1$ geben, die dem „Paar“ $[2,5]$ den Wert $2$ und dem 
„Paar“ $[5,2]$ den Wert $5$ zuweist.

Wenn allerdings die Paardefinition das [[Paaraxiom]] von Hamilton erfüllt ist, unterscheiden sich alle Paare, die nicht aus denselben Elementen gebildet werden
(z.B. unterscheiden sich in diesem Fall die beiden Paare $[2,5]$ und $[5,2]$).
Das Paaraxiom fordert, dass aus $[a,b] = [c,d]$ stets $a=c$ ''und'' $b=d$ folgt. Im Umkehrschluss
([[logische Kontraposition]]) heißt dies, dass aus $a\not=c$ ''oder'' $b\not=d$ stets $[a,b] \not= [c,d]$ folgt.
Das bedeutet aber, dass man beliebige Abbildungen definieren kann, die jedem Paar einen individuellen Wert zuweisen. 

Insbesondere kann man also $\pi_1$ und $\pi_2$ definieren:  Es sei $p \in P$ ein Paar. 
Laut Voraussetzung gibt es zwei Elemente $a$ und $b$, so dass $p = [a,b]$. Die Elemente $a$ und $b$ sind eindeutig festgelegt.
Gäbe es zwei weitere Elemente $a'$ und $b'$ mit $p = [a',b']$, so würde  $[a',b'] = p = [a,b]$ gelten. Aus dem Paaraxiom folgte dann aber sofort $a' = a$ und $b' =b$.
Wir definieren daher für jedes Paar $p$ aus $P$ die Abbildungswerte der beiden Paaroperatoren wie folgt: $\pi_1(p) := a$ und $\pi_2(p) := b$.
Für jedes Nicht-Paar seinen $\pi_1$ und $\pi_2$ hingegen undefiniert.

===Eindeutigkeit===

Angenommen, es gäbe zwei unterschiedliche Projektionsoperatoren $\pi_1$ und $\pi'_1$, die beide für Paare das erste Paarelement extrahieren 
und für Nicht-Paare undefiniert sind. 

Da für jedes Paar $p \in P$ gemäß Voraussetzung zwei Elemente $a, b$ mit $p = [a,b]$ existieren,
folgt aus den Eigenschaften $\pi_1([a,b]) = a$ und $\pi'_1([a,b]) = a$ sofort, 
dass die beiden Operatoren für '''jedes''' Paar dasselbe Ergebnis liefern.:
<div class="formula">$\bigwedge a,b: \pi_1([a,b]) = a = \pi'_1([a,b])$.</div>
Damit sind beide Operatoren (hinsichtlich des Abbildungsverhaltens von Paaren) identisch. Auch hinsichtlich des 
Abbildungsverhaltens von Nicht-Paaren verhalten sich beide Operatoren identisch, da sie laut Voraussetzung für Nicht-Paare undefiniert sind.
Beides zusammengenommen ist ein Widerspruch zur Annahme ist, dass es zwei unterschiedliche Operatoren gäbe.

Für $\pi_2$ zeigt man die Eindeutigkeit analog.

===Anmerkungen===

Die zuvor bewiesene Eindeutigkeit beudetet nicht, dass sich zwei Projektionsoperatoren $\pi_1$ und $\pi'_1$  
(bzw.  $\pi_2$ und $\pi'_2$) nicht hinsichtlich anderer Aspekte unterscheiden können. 
Zum Beispiel können sie mit Hilfe unterschiedlicher Verfahren ([[Algorithmus|Algorithmen]]) zum selben Ergebnis kommen.

Sehr häufig werden Projektionsoperatoren so definiert, dass sie auch für Nicht-Paare irgendwelche Ergebnisse liefern.
Über das Abbildungsverhalten von derartigen Projektionsoperatoren sagt dieser Satz allerdings nichts aus. 
Dieser Fall wird laut Voraussetzung ausgeschlossen. Das heißt, wenn man beispielsweise einen Projektionsoperator ${\overline \pi}_1$
hat, der auch für Nicht-Paare definiert ist, muss man zunächst einen neuen Operator

<div class="formula">$\pi_1(p) :=\left\{\begin{array}{ll} {\overline \pi}_1(p) & \mbox{falls }\bigvee a,b: p = [a,b]\\ \mbox{undefiniert} & \mbox{sonst} \end{array}\right.$</div>

defnieren, damit man den Eindeutigkeitssatz auf diesen anwenden kann.
 
Die Eindeutigkeit gilt daher nur, wenn das „[[Identitätsprinzip|Prinzip von der Identität des Ununterscheidbaren]]“ zum Einsatz kommt und man die 
Projektionsoperatoren stets nur auf Paare anwendet.