Satz:Existenz und Eindeutigkeit der Projektionsoperatoren von geordneten Paaren

Satz: Existenz und Eindeutigkeit der Projektionsoperatoren von geordneten Paaren

Wenn das Paaraxiom

$\forall a,b: [a,b] = [c,d] \Leftrightarrow a=c \,\&\,b=d $

erfüllt ist, gibt es genau einen Operator $\pi_1$ und genau einen Operator $\pi_2$ mit folgenden Eigenschaften:

$\pi_1([a,b]) = a$

$\pi_2([a,b]) = b$

Beweis (mit Hilfe der Metametasprache „Deutsch“)

Existenz

Bei $\pi_1$ und $\pi_2$ handelt es sich um Abbildungen, die jedem Element vom Typ „Paar“ einen speziellen Wert zuweisen.

So eine Abbildung kann es nur geben, wenn sich diejenigen Paare, denen unterschiedliche Werte zugeweisen werden sollen, selbst unterscheiden. Wenn man beispielsweise $[a,b] := \{a,b\}$ festlegen würde, würden sich die „Paare“ $[2,5]$ und $[5,2]$ nicht unterscheiden, da die Mengen $\{2,5\}$ und $\{5,2\}$ einander gleich sind. In diesem Fall könnte es keine Abbildung $\pi_1$ geben, die dem „Paar“ $[2,5]$ den Wert $2$ und dem „Paar“ $[5,2]$ den Wert $5$ zuweist.

Wenn allerdings die Paardefinition das Paaraxiom von Peano erfüllt ist, unterscheiden sich alle Paare, die nicht aus denselben Elementen gebildet werden (z.B. unterscheiden sich in diesem Fall die beiden Paare $[2,5]$ und $[5,2]$). Das Paaraxiom fordert, dass aus $[a,b] = [c,d]$ stets $a=c$ und $b=d$ folgt. Im Umkkertschluss (logische Kontraposition) heißt dies, dass aus $a\not=c$ oder $b\not=d$ stets $[a,b] \not= [c,d]$ folgt. Das bedeutet aber, dass man kann beliebige Abbildungen definieren kann, die jedem Paar einen individuellen Wert zuweisen. Insbesondere kann man also $\pi_1$ und $\pi_2$ definieren.

Eindeutigkeit

Angenommen, es gäbe zwei unterschiedliche Projektionsoperatoren $\pi_1$ und $\pi'_1$, die beide das erste Paarelement extrahieren. Dann folgt aus den Eigenschaften $\pi_1([a,b]) = a$ und $\pi'_1([a,b]) = a$ sofort, dass die beiden Operatoren für jedes Paar dasselbe Ergebnis liefern.:

$\forall a,b: \pi_1([a,b]) = a = \pi'_1([a,b])$.

Damit sind beide Operatoren (hinsichtlich des Abbildungsverhaltens von Paaren) identisch, was ein Widerspruch zur Annahme ist, dass es zwei unterschiedliche Operatoren gäbe.

Für $\pi_2$ zeigt man die Eindeutigkeit analog.

Anmerkung

Die zuvor bewiesene Eindeutigkeit beudetet nicht, dass sich $\pi_1$ und $\pi'_1$ nicht hinsichtlich anderer Aspekte unterscheiden können. Zum Beispiel kann das Abbildungsverhalten hinsichtlich Nicht-Paaren unterschiedlich ausfallen, sofern dies Verhalten für eine oder gar beide Operatoren definiert ist. Oder die Operationen können mit Hilfe unterschiedlicher Verfahren (Algorithmen) zum selben Ergebnis kommen.

Die Eindeutigkeit gilt daher nur, wenn das „Prinzip von der Identität des Ununterscheidbaren“ zum Einsatz kommt und man die Projektionsoperatoren stets nur auf Paare anwendet.