Standard-Dreiecksverteilung

Eine stetige Zufallsgröße [math]X = D(c) = D(0,1,c)\,[/math] (D(a,b,c) ist dabei die Dreiecksverteilung) heißt standardisiert dreiecksverteilt, wenn ihre Verteilungsfunktion durch die Dichtefunktion

[math]f_X(x) := \begin{cases} 2\frac{x}{c} & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\ 2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c \lt x \le 1 \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} [/math]

beschrieben werden kann.

[math]c \in ]0,1[[/math] heißt Parameter der Verteilung [math]D(c)\,[/math].

[math]D(c)\,[/math] wird auch Standard-Dreiecksverteilung genannt.

1 Eigenschaften der Standard-Dreiecksvertteilung

Parameter (vgl. Parameter der allgemeinen Dreiecksverteilung)	[math]c \in ]0,1[[/math] [math]a=0, b=1, d=b-a=1, m=\frac{c-a}{d} = c[/math]
Dichtefunktion	[math] f_X(x) := \begin{cases} 2\frac{x}{c} & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\ 2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c \lt x \le 1 \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} [/math]
Stetigkeit	[math]f_X(x)\mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[\![/math]
Träger	[math]f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]0,1[ \![/math]
Verteilungsfunktion	[math] F_X(x) = \begin{cases} 0 & \mbox{wenn } x \lt 1\\ 0+\frac{x^2}{c} & \mbox{wenn } 1 \le x \le c \\ 1-\frac{(1-x)^2}{1-c} & \mbox{wenn } c \lt x \le 1 \\ 1 & \mbox{wenn } 1 \lt x \end{cases} [/math]
Modus	[math]\operatorname{md}_X =\{m\},\,f_X(m)=2\![/math]
Erwartungswert	[math]\mu(X) = \frac{1+m}{3}[/math]
p-Quantil	[math] F_X^{-1}(p) = \begin{cases} 0+\sqrt{mp} & \mbox{wenn } 0 \le p \le m \\ 1-\sqrt{(1-m)(1-p)} & \mbox{wenn } m \lt p \le 1 \end{cases} [/math]
Median	[math] F_X^{-1}(0,5) = \begin{cases} 0+\frac{\sqrt{2m}}{2} & \mbox{wenn } 0{,}5 \le m\\ 1-\frac{\sqrt{2(1-m)}}{2} & \mbox{wenn } m \lt 0{,}5 \end{cases} [/math]
Varianz	[math]\operatorname{Var}(X) = \frac{m^2 - m + 1}{18}[/math]
Standardabweichung	[math]\sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(m^2 - m + 1)}[/math]

2 Quellen

• Kowarschick, W.: Projektmanagement
• Rinne, H. (2003): Taschenbuch der Statistik

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