Standard-Dreiecksverteilung: Unterschied zwischen den Versionen

aus GlossarWiki, der Glossar-Datenbank der Fachhochschule Augsburg
Wechseln zu:Navigation, Suche
Zeile 1: Zeile 1:
 
'''Achtung''': Die folgenden Formeln können noch Fehler enthalten.
 
'''Achtung''': Die folgenden Formeln können noch Fehler enthalten.
 +
 +
Eine Zufallsgröße <math>X</math> mit der nachfolgend definierten Dichte-Funktion
 +
<math>f_X</math> heißt '''normiert dreiecksverteilt'''. Sie hat folgende Eigenschaften:
  
 
{{Wahrscheinlichkeitsverteilung |
 
{{Wahrscheinlichkeitsverteilung |
Zeile 8: Zeile 11:
 
   parameters =<math>c \in ]0,1[</math>|
 
   parameters =<math>c \in ]0,1[</math>|
 
   pdf        =<math>
 
   pdf        =<math>
                 f(x) =
+
                 f_X(x) =
 
                   \begin{cases}  
 
                   \begin{cases}  
 
                     2\frac{x}{c},      & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\  
 
                     2\frac{x}{c},      & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\  
Zeile 15: Zeile 18:
 
                   \end{cases}                 
 
                   \end{cases}                 
 
               </math>|
 
               </math>|
   continuity = <math>\mbox{f(x) ist stetig auf }]\infty,\infty[\!</math>|
+
   continuity = <math>f_X(x)\mbox{ ist stetig auf }]\infty,\infty[\!</math>|
   support    =<math>f(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]0,1[ \!</math>|
+
   support    =<math>f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]0,1[ \!</math>|
 
   cdf        =<math>
 
   cdf        =<math>
               F(x) =  
+
               F_X(x) =  
 
                   \begin{cases}  
 
                   \begin{cases}  
 
                     0,                    & \mbox{wenn } x < 1\\
 
                     0,                    & \mbox{wenn } x < 1\\
Zeile 26: Zeile 29:
 
                   \end{cases}                 
 
                   \end{cases}                 
 
               </math>|
 
               </math>|
   mode      =<math>c,\,f(c)=2\!</math>|
+
   mode      =<math>c,\,f_X(c)=2\!</math>|
   mean      =<math>\mu = \frac{1+c}{3}</math>|
+
   mean      =<math>\mu(X) = \frac{1+c}{3}</math>|
 
   quartile  = <math>
 
   quartile  = <math>
                 F^{-1}(p) =
+
                 F_X^{-1}(p) =
 
                   \begin{cases}  
 
                   \begin{cases}  
 
                     0+\sqrt{cp},        & \mbox{wenn } 0 \le p \le c \\  
 
                     0+\sqrt{cp},        & \mbox{wenn } 0 \le p \le c \\  
Zeile 36: Zeile 39:
 
               </math>|
 
               </math>|
 
   median    =<math>
 
   median    =<math>
                 F^{-1}(0,5) =
+
                 F_X^{-1}(0,5) =
 
                   \begin{cases}  
 
                   \begin{cases}  
 
                     0+\frac{\sqrt{2c}}{2}    & \mbox{wenn } 0{,}5 \le c\\  
 
                     0+\frac{\sqrt{2c}}{2}    & \mbox{wenn } 0{,}5 \le c\\  
Zeile 42: Zeile 45:
 
                   \end{cases}                 
 
                   \end{cases}                 
 
               </math>|
 
               </math>|
   variance  =<math>\operatorname{var}(x) = \frac{c^2 - c + 1}{18}</math>|
+
   variance  =<math>\operatorname{var}(X) = \frac{c^2 - c + 1}{18}</math>|
   sigma      =<math>\sigma = \frac{1}{6} \sqrt{2(c^2 - c + 1)}</math>|
+
   sigma      =<math>\sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(c^2 - c + 1)}</math>|
 
   skewness  =<math>
 
   skewness  =<math>
 
               \frac{\sqrt 2(1-2c)(-1-c)(-1+c)}{5(c^2-c+1)^\frac{3}{2}}
 
               \frac{\sqrt 2(1-2c)(-1-c)(-1+c)}{5(c^2-c+1)^\frac{3}{2}}
               </math>|
+
               </math> (nicht überprüft)|
   kurtosis  =<math>\frac{12}{5}</math>|
+
   kurtosis  =<math>\frac{\mu_4(X)}{\sigma^4(X)} = \frac{12}{5} \mbox{ oder } \frac{\mu_4}{\sigma^4} -3 = \frac{12}{5}</math> (nicht überprüft)|
   entropy    =<math>\frac{1}{2}+\ln\left(\frac{1}{2}\right)</math>|
+
   entropy    =<math>h[f_X] = \frac{1}{2}+\ln\left(\frac{1}{2}\right)</math> (nicht überprüft)|
   mgf        =<math>2\frac{(1-c)-e^{ct}+ce^{t}}{c(1-c)t^2}</math>|
+
   mgf        =<math>M_X(t)=E\left(e^{tX}\right) = 2\frac{(1-c)-e^{ct}+ce^{t}}{c(1-c)t^2}</math> (nicht überprüft)|
   char      =<math>-2\frac{(1-c)-e^{ict}+ce^{it}}{c(1-c)t^2}</math>|
+
   char      =<math>\varphi_X(t) = \operatorname{E}\left(e^{itX}\right) = -2\frac{(1-c)-e^{ict}+ce^{it}}{c(1-c)t^2}</math> (nicht überprüft)|
 
}}
 
}}
  

Version vom 29. Mai 2006, 17:56 Uhr

Achtung: Die folgenden Formeln können noch Fehler enthalten.

Eine Zufallsgröße [math]X[/math] mit der nachfolgend definierten Dichte-Funktion [math]f_X[/math] heißt normiert dreiecksverteilt. Sie hat folgende Eigenschaften:


Parameter
[math]c \in ]0,1[[/math]
Dichtefunktion
[math] f_X(x) = \begin{cases} 2\frac{x}{c}, & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\ 2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c \lt x \le 1 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases} [/math]
Stetigkeit
[math]f_X(x)\mbox{ ist stetig auf }]\infty,\infty[\![/math]
Träger
[math]f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]0,1[ \![/math]
Verteilungsfunktion
[math] F_X(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{wenn } x \lt 1\\ 0+\frac{x^2}{c} & \mbox{wenn } 1 \le x \le c \\ 1-\frac{(1-x)^2}{1-c} & \mbox{wenn } c \lt x \le 1 \\ 1, & \mbox{wenn } 1 \lt x \end{cases} [/math]
Modus
[math]c,\,f_X(c)=2\![/math]
Erwartungswert
[math]\mu(X) = \frac{1+c}{3}[/math]
Median
[math] F_X^{-1}(0,5) = \begin{cases} 0+\frac{\sqrt{2c}}{2} & \mbox{wenn } 0{,}5 \le c\\ 1-\frac{\sqrt{2(1-c)}}{2} & \mbox{wenn } c \lt 0{,}5 \end{cases} [/math]
Varianz
[math]\operatorname{var}(X) = \frac{c^2 - c + 1}{18}[/math]
Standardabweichung
[math]\sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(c^2 - c + 1)}[/math]
Schiefe
[math] \frac{\sqrt 2(1-2c)(-1-c)(-1+c)}{5(c^2-c+1)^\frac{3}{2}} [/math] (nicht überprüft)
Wölbung
[math]\frac{\mu_4(X)}{\sigma^4(X)} = \frac{12}{5} \mbox{ oder } \frac{\mu_4}{\sigma^4} -3 = \frac{12}{5}[/math] (nicht überprüft)
Entropie
[math]h[f_X] = \frac{1}{2}+\ln\left(\frac{1}{2}\right)[/math] (nicht überprüft)
Momenterzeugende Funktion
[math]M_X(t)=E\left(e^{tX}\right) = 2\frac{(1-c)-e^{ct}+ce^{t}}{c(1-c)t^2}[/math] (nicht überprüft)
Charakteristische Funktion
[math]\varphi_X(t) = \operatorname{E}\left(e^{itX}\right) = -2\frac{(1-c)-e^{ict}+ce^{it}}{c(1-c)t^2}[/math] (nicht überprüft)