Standard-Dreiecksverteilung: Unterschied zwischen den Versionen

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   parameters =<math>c \in ]0,1[</math>|
 
   parameters =<math>c \in ]0,1[</math>|
 
   pdf        =<math>
 
   pdf        =<math>
                 f_X(x) =
+
                 f_X(x) :=
 
                   \begin{cases}  
 
                   \begin{cases}  
                     2\frac{x}{c},     & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\  
+
                     2\frac{x}{c},   & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\  
 
                     2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c < x \le 1 \\
 
                     2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c < x \le 1 \\
                     0,                 & \mbox{sonst }
+
                     0,               & \mbox{sonst }
 
                   \end{cases}                 
 
                   \end{cases}                 
 
               </math>|
 
               </math>|

Version vom 29. Mai 2006, 17:57 Uhr

Achtung: Die folgenden Formeln können noch Fehler enthalten.

Eine Zufallsgröße [math]X[/math] mit der nachfolgend definierten Dichte-Funktion [math]f_X[/math] heißt normiert dreiecksverteilt. Sie hat folgende Eigenschaften:


Parameter
[math]c \in ]0,1[[/math]
Dichtefunktion
[math] f_X(x) := \begin{cases} 2\frac{x}{c}, & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\ 2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c \lt x \le 1 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases} [/math]
Stetigkeit
[math]f_X(x)\mbox{ ist stetig auf }]\infty,\infty[\![/math]
Träger
[math]f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]0,1[ \![/math]
Verteilungsfunktion
[math] F_X(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{wenn } x \lt 1\\ 0+\frac{x^2}{c} & \mbox{wenn } 1 \le x \le c \\ 1-\frac{(1-x)^2}{1-c} & \mbox{wenn } c \lt x \le 1 \\ 1, & \mbox{wenn } 1 \lt x \end{cases} [/math]
Modus
[math]c,\,f_X(c)=2\![/math]
Erwartungswert
[math]\mu(X) = \frac{1+c}{3}[/math]
Median
[math] F_X^{-1}(0,5) = \begin{cases} 0+\frac{\sqrt{2c}}{2} & \mbox{wenn } 0{,}5 \le c\\ 1-\frac{\sqrt{2(1-c)}}{2} & \mbox{wenn } c \lt 0{,}5 \end{cases} [/math]
Varianz
[math]\operatorname{var}(X) = \frac{c^2 - c + 1}{18}[/math]
Standardabweichung
[math]\sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(c^2 - c + 1)}[/math]
Schiefe
[math] \frac{\sqrt 2(1-2c)(-1-c)(-1+c)}{5(c^2-c+1)^\frac{3}{2}} [/math] (nicht überprüft)
Wölbung
[math]\frac{\mu_4(X)}{\sigma^4(X)} = \frac{12}{5} \mbox{ oder } \frac{\mu_4}{\sigma^4} -3 = \frac{12}{5}[/math] (nicht überprüft)
Entropie
[math]h[f_X] = \frac{1}{2}+\ln\left(\frac{1}{2}\right)[/math] (nicht überprüft)
Momenterzeugende Funktion
[math]M_X(t)=E\left(e^{tX}\right) = 2\frac{(1-c)-e^{ct}+ce^{t}}{c(1-c)t^2}[/math] (nicht überprüft)
Charakteristische Funktion
[math]\varphi_X(t) = \operatorname{E}\left(e^{itX}\right) = -2\frac{(1-c)-e^{ict}+ce^{it}}{c(1-c)t^2}[/math] (nicht überprüft)