Standard-Dreiecksverteilung: Unterschied zwischen den Versionen

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   proof_support =|
 
   proof_support =|
  
   cdf       =<math>
+
   cdf       =<math>
 
               F_X(x) =  
 
               F_X(x) =  
 
                   \begin{cases}  
 
                   \begin{cases}  
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                   \end{cases}                 
 
                   \end{cases}                 
 
               </math>|
 
               </math>|
   proof_cdf =|
+
   proof_cdf =|
  
 
   mode      =<math>c,\,f_X(c)=2\!</math>|
 
   mode      =<math>c,\,f_X(c)=2\!</math>|
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   proof_median =|
 
   proof_median =|
  
   variance   =<math>\operatorname{Var}(X) = \frac{c^2 - c + 1}{18}</math>|
+
   variance       =<math>\operatorname{Var}(X) = \frac{c^2 - c + 1}{18}</math>|
 
   proof_variance =|
 
   proof_variance =|
  
   sigma     =<math>\sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(c^2 - c + 1)}</math>|
+
   sigma       =<math>\sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(c^2 - c + 1)}</math>|
 
   proof_sigma =|
 
   proof_sigma =|
  
   skewness   =<math>
+
   skewness       =|
              \frac{\sqrt 2(1-2c)(-1-c)(-1+c)}{5(c^2-c+1)^\frac{3}{2}}
 
              </math> (nicht überprüft)|
 
 
   proof_skewness =|
 
   proof_skewness =|
  
   kurtosis   =<math>\frac{\mu_4(X)}{\sigma^4(X)} = \frac{12}{5} \mbox{ oder } \frac{\mu_4}{\sigma^4} -3 = \frac{12}{5}</math> (nicht überprüft)|
+
   kurtosis       =|
 
   proof_kurtosis =|
 
   proof_kurtosis =|
  
   entropy   =<math>h[f_X] = \frac{1}{2}+\ln\left(\frac{1}{2}\right)</math> (nicht überprüft)|
+
   entropy       =|
 
   proof_entropy =|
 
   proof_entropy =|
  
   moment     = |
+
   moment       =|
 
   proof_moment =|
 
   proof_moment =|
  
   centralmoment =|
+
   centralmoment       =|
 
   proof_centralmoment =|
 
   proof_centralmoment =|
  
   mgf       =<math>M_X(t)=E\left(e^{tX}\right) = 2\frac{(1-c)-e^{ct}+ce^{t}}{c(1-c)t^2}</math> (nicht überprüft)|
+
   mgf       =|
 
   proof_mgf =|
 
   proof_mgf =|
  
   char      =<math>\varphi_X(t) = \operatorname{E}\left(e^{itX}\right) = -2\frac{(1-c)-e^{ict}+ce^{it}}{c(1-c)t^2}</math> (nicht überprüft)|
+
   char      =|
 
   proof_char =|
 
   proof_char =|
 
}}
 
}}

Version vom 30. Mai 2006, 10:06 Uhr

Achtung: Die folgenden Formeln können noch Fehler enthalten.

Eine Zufallsgröße [math]X[/math] mit der nachfolgend definierten Dichte-Funktion [math]f_X[/math] heißt normiert dreiecksverteilt. Sie hat folgende Eigenschaften:


Parameter
[math]c \in ]0,1[[/math]
Dichtefunktion
[math] f_X(x) := \begin{cases} 2\frac{x}{c}, & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\ 2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c \lt x \le 1 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases} [/math]
Stetigkeit
[math]f_X(x)\mbox{ ist stetig auf }]\infty,\infty[\![/math]
Träger
[math]f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]0,1[ \![/math]
Verteilungsfunktion
[math] F_X(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{wenn } x \lt 1\\ 0+\frac{x^2}{c} & \mbox{wenn } 1 \le x \le c \\ 1-\frac{(1-x)^2}{1-c} & \mbox{wenn } c \lt x \le 1 \\ 1, & \mbox{wenn } 1 \lt x \end{cases} [/math]
Modus
[math]c,\,f_X(c)=2\![/math]
Erwartungswert
[math]\mu(X) = \frac{1+c}{3}[/math]
Median
[math] F_X^{-1}(0,5) = \begin{cases} 0+\frac{\sqrt{2c}}{2} & \mbox{wenn } 0{,}5 \le c\\ 1-\frac{\sqrt{2(1-c)}}{2} & \mbox{wenn } c \lt 0{,}5 \end{cases} [/math]
Varianz
[math]\operatorname{Var}(X) = \frac{c^2 - c + 1}{18}[/math]
Standardabweichung
[math]\sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(c^2 - c + 1)}[/math]