Standard-Dreiecksverteilung: Unterschied zwischen den Versionen

aus GlossarWiki, der Glossar-Datenbank der Fachhochschule Augsburg
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   proof_support =|
   proof_support =|


   cdf       =<math>
   cdf       =<math>
               F_X(x) =  
               F_X(x) =  
                   \begin{cases}  
                   \begin{cases}  
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                   \end{cases}                 
                   \end{cases}                 
               </math>|
               </math>|
   proof_cdf =|
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   mode      =<math>c,\,f_X(c)=2\!</math>|
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   proof_median =|
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   variance   =<math>\operatorname{Var}(X) = \frac{c^2 - c + 1}{18}</math>|
   variance       =<math>\operatorname{Var}(X) = \frac{c^2 - c + 1}{18}</math>|
   proof_variance =|
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   sigma     =<math>\sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(c^2 - c + 1)}</math>|
   sigma       =<math>\sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(c^2 - c + 1)}</math>|
   proof_sigma =|
   proof_sigma =|


   skewness   =<math>
   skewness       =|
              \frac{\sqrt 2(1-2c)(-1-c)(-1+c)}{5(c^2-c+1)^\frac{3}{2}}
              </math> (nicht überprüft)|
   proof_skewness =|
   proof_skewness =|


   kurtosis   =<math>\frac{\mu_4(X)}{\sigma^4(X)} = \frac{12}{5} \mbox{ oder } \frac{\mu_4}{\sigma^4} -3 = \frac{12}{5}</math> (nicht überprüft)|
   kurtosis       =|
   proof_kurtosis =|
   proof_kurtosis =|


   entropy   =<math>h[f_X] = \frac{1}{2}+\ln\left(\frac{1}{2}\right)</math> (nicht überprüft)|
   entropy       =|
   proof_entropy =|
   proof_entropy =|


   moment     = |
   moment       =|
   proof_moment =|
   proof_moment =|


   centralmoment =|
   centralmoment       =|
   proof_centralmoment =|
   proof_centralmoment =|


   mgf       =<math>M_X(t)=E\left(e^{tX}\right) = 2\frac{(1-c)-e^{ct}+ce^{t}}{c(1-c)t^2}</math> (nicht überprüft)|
   mgf       =|
   proof_mgf =|
   proof_mgf =|


   char      =<math>\varphi_X(t) = \operatorname{E}\left(e^{itX}\right) = -2\frac{(1-c)-e^{ict}+ce^{it}}{c(1-c)t^2}</math> (nicht überprüft)|
   char      =|
   proof_char =|
   proof_char =|
}}
}}

Version vom 30. Mai 2006, 10:06 Uhr

Achtung: Die folgenden Formeln können noch Fehler enthalten.

Eine Zufallsgröße $ X $ mit der nachfolgend definierten Dichte-Funktion $ f_X $ heißt normiert dreiecksverteilt. Sie hat folgende Eigenschaften:


Parameter
$ c \in ]0,1[ $
Dichtefunktion
$ f_X(x) := \begin{cases} 2\frac{x}{c}, & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\ 2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c < x \le 1 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases} $
Stetigkeit
$ f_X(x)\mbox{ ist stetig auf }]\infty,\infty[\! $
Träger
$ f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]0,1[ \! $
Verteilungsfunktion
$ F_X(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{wenn } x < 1\\ 0+\frac{x^2}{c} & \mbox{wenn } 1 \le x \le c \\ 1-\frac{(1-x)^2}{1-c} & \mbox{wenn } c < x \le 1 \\ 1, & \mbox{wenn } 1 < x \end{cases} $
Modus
$ c,\,f_X(c)=2\! $
Erwartungswert
$ \mu(X) = \frac{1+c}{3} $
Median
$ F_X^{-1}(0,5) = \begin{cases} 0+\frac{\sqrt{2c}}{2} & \mbox{wenn } 0{,}5 \le c\\ 1-\frac{\sqrt{2(1-c)}}{2} & \mbox{wenn } c < 0{,}5 \end{cases} $
Varianz
$ \operatorname{Var}(X) = \frac{c^2 - c + 1}{18} $
Standardabweichung
$ \sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(c^2 - c + 1)} $
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