Standard-Dreiecksverteilung: Unterschied zwischen den Versionen
aus GlossarWiki, der Glossar-Datenbank der Fachhochschule Augsburg
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f_X(x) := | f_X(x) := | ||
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− | 2\frac{x}{c} | + | 2\frac{x}{c} & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\ |
2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c < x \le 1 \\ | 2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c < x \le 1 \\ | ||
0 & \mbox{sonst } | 0 & \mbox{sonst } | ||
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F_X(x) = | F_X(x) = | ||
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
− | 0 | + | 0 & \mbox{wenn } x < 1\\ |
0+\frac{x^2}{c} & \mbox{wenn } 1 \le x \le c \\ | 0+\frac{x^2}{c} & \mbox{wenn } 1 \le x \le c \\ | ||
1-\frac{(1-x)^2}{1-c} & \mbox{wenn } c < x \le 1 \\ | 1-\frac{(1-x)^2}{1-c} & \mbox{wenn } c < x \le 1 \\ | ||
− | 1 | + | 1 & \mbox{wenn } 1 < x |
\end{cases} | \end{cases} | ||
</math>| | </math>| |
Version vom 30. Mai 2006, 11:37 Uhr
Achtung: Die folgenden Formeln können noch Fehler enthalten.
Eine Zufallsgröße [math]X[/math] mit der nachfolgend definierten Dichte-Funktion [math]f_X[/math] heißt normiert dreiecksverteilt. Sie hat folgende Eigenschaften:
Parameter | [math]c \in ]0,1[,\quad m := c\![/math] |
Dichtefunktion | [math] f_X(x) := \begin{cases} 2\frac{x}{c} & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\ 2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c \lt x \le 1 \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} [/math] |
Stetigkeit | [math]f_X(x)\mbox{ ist stetig auf }]\infty,\infty[\![/math] |
Träger | [math]f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]0,1[ \![/math] |
Verteilungsfunktion | [math] F_X(x) = \begin{cases} 0 & \mbox{wenn } x \lt 1\\ 0+\frac{x^2}{c} & \mbox{wenn } 1 \le x \le c \\ 1-\frac{(1-x)^2}{1-c} & \mbox{wenn } c \lt x \le 1 \\ 1 & \mbox{wenn } 1 \lt x \end{cases} [/math] |
Modus | [math]\operatorname{md}_X =\{m\},\,f_X(m)=2\![/math] |
Erwartungswert | [math]\mu(X) = \frac{1+m}{3}[/math] |
Median | [math] F_X^{-1}(0,5) = \begin{cases} 0+\frac{\sqrt{2m}}{2} & \mbox{wenn } 0{,}5 \le m\\ 1-\frac{\sqrt{2(1-m)}}{2} & \mbox{wenn } m \lt 0{,}5 \end{cases} [/math] |
Varianz | [math]\operatorname{Var}(X) = \frac{m^2 - m + 1}{18}[/math] |
Standardabweichung | [math]\sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(m^2 - m + 1)}[/math] |