Standard-Dreiecksverteilung: Unterschied zwischen den Versionen
aus GlossarWiki, der Glossar-Datenbank der Fachhochschule Augsburg
Kowa (Diskussion | Beiträge) K (hat Dreiecksverteilung (standardisiert) nach Dreiecksverteilung (normiert) verschoben) |
Kowa (Diskussion | Beiträge) Keine Bearbeitungszusammenfassung |
||
| (26 dazwischenliegende Versionen desselben Benutzers werden nicht angezeigt) | |||
| Zeile 1: | Zeile 1: | ||
{{Qualität | |||
|correctness = 5 | |||
|extent = 3 | |||
|numberOfReferences = 4 | |||
|qualityOfReferences = 5 | |||
|conformance = 5 | |||
}} | |||
==Definition== | |||
Eine [[Stetige Zufallsgröße|stetige Zufallsgröße]] <math>X = D(c) := D(0,1,c)\,</math>, wobei <math>D(a,b,c)\,</math> die [[Dreiecksverteilung]] ist, heißt '''standardisiert dreiecksverteilt''', wenn ihre [[Verteilungsfunktion]] durch die [[Dichtefunktion]] | |||
<div class="formula"><math>f_X(x) = f_{D(c)} = f_{D(0,1,c)} = | |||
\begin{cases} | |||
2\frac{x}{c} & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\ | |||
2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c < x \le 1 \\ | |||
0 & \mbox{sonst } | |||
\end{cases} | |||
</math></div> | |||
beschrieben werden kann. | |||
<math>c \in ]0,1[</math> heißt Parameter der Verteilung <math>D(c)\,</math>. | |||
<math>D(c)\,</math> wird auch [[Standard-Dreiecksverteilung]] genannt. | |||
== Eigenschaften der Standard-Dreiecksverteilung== | |||
{{Wahrscheinlichkeitsverteilung | | {{Wahrscheinlichkeitsverteilung | | ||
name =normalisierte Dreiecksverteilung| | name =normalisierte Dreiecksverteilung| | ||
| Zeile 5: | Zeile 31: | ||
cdf_image =| | cdf_image =| | ||
parameters =<math>c \in ]0,1[</math><br><math>a=0, b=1, d=b-a=1, m=\frac{c-a}{d} = c</math>| | parameters =<math>c \,\in\, ]0,1[</math><br><math>a=0, b=1, d=b-a=1, m=\frac{c-a}{d} = c</math>| | ||
annotations_parameters = (vgl. Parameter der <br>allgemeinen<br>[[Dreiecksverteilung]])| | annotations_parameters = (vgl. Parameter der <br>[[Dreiecksverteilung|allgemeinen]]<br>[[Dreiecksverteilung]])| | ||
pdf =<math> | pdf =<math> | ||
| Zeile 19: | Zeile 45: | ||
continuity = <math>f_X(x)\mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[\!</math>| | continuity = <math>f_X(x)\mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[\!</math>| | ||
support =<math>f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]0,1[ \!</math>| | support =<math>f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \,\in\, ]0,1[ \!</math>| | ||
cdf =<math> | cdf =<math> | ||
| Zeile 31: | Zeile 57: | ||
</math>| | </math>| | ||
mode =<math>\operatorname{md}_X =\{ | mode =<math>\operatorname{md}_X =\{c\},\,f_X(c)=2\!</math>| | ||
mean =<math>\mu(X) = \frac{1+ | mean =<math>\mu(X) = \frac{1+c}{3}</math>| | ||
quantile = <math> | quantile = <math> | ||
F_X^{-1}(p) = | F_X^{-1}(p) = | ||
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
0+\sqrt{ | 0+\sqrt{cp} & \mbox{wenn } 0 \le p \le c \\ | ||
1-\sqrt{(1- | 1-\sqrt{(1-c)(1-p)} & \mbox{wenn } c < p \le 1 | ||
\end{cases} | \end{cases} | ||
</math>| | </math>| | ||
| Zeile 46: | Zeile 72: | ||
F_X^{-1}(0,5) = | F_X^{-1}(0,5) = | ||
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
0+\frac{\sqrt{ | 0+\frac{ {\sqrt{2c} } }{2} & \mbox{wenn } 0{,}5 \le c\\ | ||
1-\frac{\sqrt{2(1- | 1-\frac{ {\sqrt{2(1-c)} } }{2} & \mbox{wenn } c < 0{,}5 | ||
\end{cases} | \end{cases} | ||
</math>| | </math>| | ||
variance =<math>\operatorname{Var}(X) = \frac{ | variance =<math>\operatorname{Var}(X) = \frac{c^2 - c + 1}{18}</math>| | ||
sigma =<math>\sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2( | sigma =<math>\sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(c^2 - c + 1)}</math> | ||
}} | }} | ||
=Quellen= | ==Zusammenhang zwischen allgemeiner und Standard-Dreiecksverteilung== | ||
Die [[Dreiecksverteilung]] hat eine allgemeinere Dichtefunktion <math>f_{D(a,b,c)}\!</math>. | |||
Wie hängen die hier definierte sepzielle Form und die dort definierte allgemeine Form zusammen? | |||
Zunächst sieht man anhand der Definitionen sofort, dass jede Dichtefunktion einer [[Standard-Dreiecksverteilung]] | |||
auch eine Dichtefunktion einer [[Dreiecksverteilung|allgemeinen Dreiecksverteilungen]] ist: | |||
<div class="formula"><math>f_{D(c)}(x) = f_{D(0,1,c)}(x)</math></div> | |||
Umgekehrt können alle | |||
Dichtefunktionen von [[Dreiecksverteilung|allgemeinen Dreiecksverteilungen]] durch Linear-Transformationen aus entsprechenden | |||
Dichtefunktionen der [[Standard-Dreiecksverteilung]]en erzeugt werden: | |||
<div class="formula"><math>f_{D(a,b,c)}(x) | |||
= \frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) | |||
</math></div> | |||
([[Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Dreiecksverteilung (Satz)|Beweis der zweiten Aussage]]) | |||
==Quellen== | |||
#{{Quelle|Kowarschick, W.: Projektmanagement}} | |||
#{{Quelle|Rinne, H. (2003): Taschenbuch der Statistik}} | |||
[[Kategorie:Mathematische Definition]] | [[Kategorie:Mathematische Definition]] | ||
| Zeile 65: | Zeile 111: | ||
[[Kategorie:Projektmanagement]] | [[Kategorie:Projektmanagement]] | ||
[[en:Triangular distribution (standardized)]] | [[en:Triangular distribution (standardized)]] | ||
Aktuelle Version vom 23. April 2018, 15:31 Uhr
Dieser Artikel erfüllt die GlossarWiki-Qualitätsanforderungen nur teilweise:
| Korrektheit: 5 (vollständig überprüft) |
Umfang: 3 (einige wichtige Fakten fehlen) |
Quellenangaben: 4 (fast vollständig vorhanden) |
Quellenarten: 5 (ausgezeichnet) |
Konformität: 5 (ausgezeichnet) |
Definition
Eine stetige Zufallsgröße $ X = D(c) := D(0,1,c)\, $, wobei $ D(a,b,c)\, $ die Dreiecksverteilung ist, heißt standardisiert dreiecksverteilt, wenn ihre Verteilungsfunktion durch die Dichtefunktion
$ f_X(x) = f_{D(c)} = f_{D(0,1,c)} = \begin{cases} 2\frac{x}{c} & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\ 2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c < x \le 1 \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} $
beschrieben werden kann.
$ c \in ]0,1[ $ heißt Parameter der Verteilung $ D(c)\, $.
$ D(c)\, $ wird auch Standard-Dreiecksverteilung genannt.
Eigenschaften der Standard-Dreiecksverteilung
| Parameter (vgl. Parameter der allgemeinen Dreiecksverteilung) | $ c \,\in\, ]0,1[ $ $ a=0, b=1, d=b-a=1, m=\frac{c-a}{d} = c $ |
| Dichtefunktion | $ f_X(x) := \begin{cases} 2\frac{x}{c} & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\ 2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c < x \le 1 \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} $ |
| Stetigkeit | $ f_X(x)\mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[\! $ |
| Träger | $ f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \,\in\, ]0,1[ \! $ |
| Verteilungsfunktion | $ F_X(x) = \begin{cases} 0 & \mbox{wenn } x < 1\\ 0+\frac{x^2}{c} & \mbox{wenn } 1 \le x \le c \\ 1-\frac{(1-x)^2}{1-c} & \mbox{wenn } c < x \le 1 \\ 1 & \mbox{wenn } 1 < x \end{cases} $ |
| Modus | $ \operatorname{md}_X =\{c\},\,f_X(c)=2\! $ |
| Erwartungswert | $ \mu(X) = \frac{1+c}{3} $ |
| p-Quantil | $ F_X^{-1}(p) = \begin{cases} 0+\sqrt{cp} & \mbox{wenn } 0 \le p \le c \\ 1-\sqrt{(1-c)(1-p)} & \mbox{wenn } c < p \le 1 \end{cases} $ |
| Median | $ F_X^{-1}(0,5) = \begin{cases} 0+\frac{ {\sqrt{2c} } }{2} & \mbox{wenn } 0{,}5 \le c\\ 1-\frac{ {\sqrt{2(1-c)} } }{2} & \mbox{wenn } c < 0{,}5 \end{cases} $ |
| Varianz | $ \operatorname{Var}(X) = \frac{c^2 - c + 1}{18} $ |
| Standardabweichung | $ \sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(c^2 - c + 1)} $ |
Zusammenhang zwischen allgemeiner und Standard-Dreiecksverteilung
Die Dreiecksverteilung hat eine allgemeinere Dichtefunktion $ f_{D(a,b,c)}\! $. Wie hängen die hier definierte sepzielle Form und die dort definierte allgemeine Form zusammen?
Zunächst sieht man anhand der Definitionen sofort, dass jede Dichtefunktion einer Standard-Dreiecksverteilung auch eine Dichtefunktion einer allgemeinen Dreiecksverteilungen ist:
$ f_{D(c)}(x) = f_{D(0,1,c)}(x) $
Umgekehrt können alle Dichtefunktionen von allgemeinen Dreiecksverteilungen durch Linear-Transformationen aus entsprechenden Dichtefunktionen der Standard-Dreiecksverteilungen erzeugt werden:
$ f_{D(a,b,c)}(x) = \frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) $
Quellen
- Kowarschick (PM): Wolfgang Kowarschick; Vorlesung „Projektmanagement“; Hochschule: Hochschule Augsburg; Adresse: Augsburg; Web-Link; 2014; Quellengüte: 3 (Vorlesung)
- Rinne (2003): Horst Rinne; Taschenbuch der Statistik; Auflage: 3; Verlag: Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch; Adresse: Frankfurt am Main; ISBN: 3817116950; 2003; Quellengüte: 5 (Buch)
