Standard-Dreiecksverteilung: Unterschied zwischen den Versionen
aus GlossarWiki, der Glossar-Datenbank der Fachhochschule Augsburg
Kowa (Diskussion | Beiträge) K (hat Dreiecksverteilung (standardisiert) nach Standard-Dreiecksverteilung verschoben) |
Kowa (Diskussion | Beiträge) |
||
| (17 dazwischenliegende Versionen desselben Benutzers werden nicht angezeigt) | |||
| Zeile 1: | Zeile 1: | ||
| − | Eine [[Stetige Zufallsgröße|stetige Zufallsgröße]] <math>X = D(c) = D(0,1,c)\,</math> | + | {{Qualität |
| + | |correctness = 5 | ||
| + | |extent = 3 | ||
| + | |numberOfReferences = 4 | ||
| + | |qualityOfReferences = 5 | ||
| + | |conformance = 5 | ||
| + | }} | ||
| + | ==Definition== | ||
| + | Eine [[Stetige Zufallsgröße|stetige Zufallsgröße]] <math>X = D(c) := D(0,1,c)\,</math>, wobei <math>D(a,b,c)\,</math> die [[Dreiecksverteilung]] ist, heißt '''standardisiert dreiecksverteilt''', wenn ihre [[Verteilungsfunktion]] durch die [[Dichtefunktion]] | ||
| − | <math>f_X(x) | + | <div class="formula"><math>f_X(x) = f_{D(c)} = f_{D(0,1,c)} = |
| − | + | \begin{cases} | |
| − | + | 2\frac{x}{c} & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\ | |
| − | + | 2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c < x \le 1 \\ | |
| − | + | 0 & \mbox{sonst } | |
| − | + | \end{cases} | |
| − | </math> | + | </math></div> |
beschrieben werden kann. | beschrieben werden kann. | ||
| Zeile 15: | Zeile 23: | ||
<math>D(c)\,</math> wird auch [[Standard-Dreiecksverteilung]] genannt. | <math>D(c)\,</math> wird auch [[Standard-Dreiecksverteilung]] genannt. | ||
| − | = Eigenschaften der Standard- | + | == Eigenschaften der Standard-Dreiecksverteilung== |
{{Wahrscheinlichkeitsverteilung | | {{Wahrscheinlichkeitsverteilung | | ||
| Zeile 23: | Zeile 31: | ||
cdf_image =| | cdf_image =| | ||
| − | parameters =<math>c \in ]0,1[</math><br><math>a=0, b=1, d=b-a=1, m=\frac{c-a}{d} = c</math>| | + | parameters =<math>c \,\in\, ]0,1[</math><br><math>a=0, b=1, d=b-a=1, m=\frac{c-a}{d} = c</math>| |
| − | annotations_parameters = (vgl. Parameter der <br>allgemeinen<br>[[Dreiecksverteilung]])| | + | annotations_parameters = (vgl. Parameter der <br>[[Dreiecksverteilung|allgemeinen]]<br>[[Dreiecksverteilung]])| |
pdf =<math> | pdf =<math> | ||
| Zeile 37: | Zeile 45: | ||
continuity = <math>f_X(x)\mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[\!</math>| | continuity = <math>f_X(x)\mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[\!</math>| | ||
| − | support =<math>f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]0,1[ \!</math>| | + | support =<math>f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \,\in\, ]0,1[ \!</math>| |
cdf =<math> | cdf =<math> | ||
| Zeile 49: | Zeile 57: | ||
</math>| | </math>| | ||
| − | mode =<math>\operatorname{md}_X =\{ | + | mode =<math>\operatorname{md}_X =\{c\},\,f_X(c)=2\!</math>| |
| − | mean =<math>\mu(X) = \frac{1+ | + | mean =<math>\mu(X) = \frac{1+c}{3}</math>| |
quantile = <math> | quantile = <math> | ||
F_X^{-1}(p) = | F_X^{-1}(p) = | ||
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
| − | 0+\sqrt{ | + | 0+\sqrt{cp} & \mbox{wenn } 0 \le p \le c \\ |
| − | 1-\sqrt{(1- | + | 1-\sqrt{(1-c)(1-p)} & \mbox{wenn } c < p \le 1 |
| − | \end{cases} | + | \end{cases} |
</math>| | </math>| | ||
| Zeile 64: | Zeile 72: | ||
F_X^{-1}(0,5) = | F_X^{-1}(0,5) = | ||
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
| − | 0+\frac{\sqrt{ | + | 0+\frac{ {\sqrt{2c} } }{2} & \mbox{wenn } 0{,}5 \le c\\ |
| − | 1-\frac{\sqrt{2(1- | + | 1-\frac{ {\sqrt{2(1-c)} } }{2} & \mbox{wenn } c < 0{,}5 |
\end{cases} | \end{cases} | ||
</math>| | </math>| | ||
| − | variance =<math>\operatorname{Var}(X) = \frac{ | + | variance =<math>\operatorname{Var}(X) = \frac{c^2 - c + 1}{18}</math>| |
| − | sigma =<math>\sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2( | + | sigma =<math>\sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(c^2 - c + 1)}</math> |
}} | }} | ||
| − | =Quellen= | + | ==Zusammenhang zwischen allgemeiner und Standard-Dreiecksverteilung== |
| + | |||
| + | Die [[Dreiecksverteilung]] hat eine allgemeinere Dichtefunktion <math>f_{D(a,b,c)}\!</math>. | ||
| + | Wie hängen die hier definierte sepzielle Form und die dort definierte allgemeine Form zusammen? | ||
| + | |||
| + | Zunächst sieht man anhand der Definitionen sofort, dass jede Dichtefunktion einer [[Standard-Dreiecksverteilung]] | ||
| + | auch eine Dichtefunktion einer [[Dreiecksverteilung|allgemeinen Dreiecksverteilungen]] ist: | ||
| + | |||
| + | <div class="formula"><math>f_{D(c)}(x) = f_{D(0,1,c)}(x)</math></div> | ||
| + | |||
| + | Umgekehrt können alle | ||
| + | Dichtefunktionen von [[Dreiecksverteilung|allgemeinen Dreiecksverteilungen]] durch Linear-Transformationen aus entsprechenden | ||
| + | Dichtefunktionen der [[Standard-Dreiecksverteilung]]en erzeugt werden: | ||
| + | |||
| + | <div class="formula"><math>f_{D(a,b,c)}(x) | ||
| + | = \frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) | ||
| + | </math></div> | ||
| + | |||
| + | ([[Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Dreiecksverteilung (Satz)|Beweis der zweiten Aussage]]) | ||
| + | |||
| + | ==Quellen== | ||
| − | + | #{{Quelle|Kowarschick, W.: Projektmanagement}} | |
| − | + | #{{Quelle|Rinne, H. (2003): Taschenbuch der Statistik}} | |
[[Kategorie:Mathematische Definition]] | [[Kategorie:Mathematische Definition]] | ||
| Zeile 83: | Zeile 111: | ||
[[Kategorie:Projektmanagement]] | [[Kategorie:Projektmanagement]] | ||
[[en:Triangular distribution (standardized)]] | [[en:Triangular distribution (standardized)]] | ||
| − | |||
Aktuelle Version vom 23. April 2018, 15:31 Uhr
Dieser Artikel erfüllt die GlossarWiki-Qualitätsanforderungen nur teilweise:
| Korrektheit: 5 (vollständig überprüft) |
Umfang: 3 (einige wichtige Fakten fehlen) |
Quellenangaben: 4 (fast vollständig vorhanden) |
Quellenarten: 5 (ausgezeichnet) |
Konformität: 5 (ausgezeichnet) |
Inhaltsverzeichnis
1 Definition
Eine stetige Zufallsgröße [math]X = D(c) := D(0,1,c)\,[/math], wobei [math]D(a,b,c)\,[/math] die Dreiecksverteilung ist, heißt standardisiert dreiecksverteilt, wenn ihre Verteilungsfunktion durch die Dichtefunktion
[math]f_X(x) = f_{D(c)} = f_{D(0,1,c)} =
\begin{cases}
2\frac{x}{c} & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\
2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c \lt x \le 1 \\
0 & \mbox{sonst }
\end{cases}
[/math]
beschrieben werden kann.
[math]c \in ]0,1[[/math] heißt Parameter der Verteilung [math]D(c)\,[/math].
[math]D(c)\,[/math] wird auch Standard-Dreiecksverteilung genannt.
2 Eigenschaften der Standard-Dreiecksverteilung
| Parameter (vgl. Parameter der allgemeinen Dreiecksverteilung) | [math]c \,\in\, ]0,1[[/math] [math]a=0, b=1, d=b-a=1, m=\frac{c-a}{d} = c[/math] |
| Dichtefunktion | [math] f_X(x) := \begin{cases} 2\frac{x}{c} & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\ 2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c \lt x \le 1 \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} [/math] |
| Stetigkeit | [math]f_X(x)\mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[\![/math] |
| Träger | [math]f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \,\in\, ]0,1[ \![/math] |
| Verteilungsfunktion | [math] F_X(x) = \begin{cases} 0 & \mbox{wenn } x \lt 1\\ 0+\frac{x^2}{c} & \mbox{wenn } 1 \le x \le c \\ 1-\frac{(1-x)^2}{1-c} & \mbox{wenn } c \lt x \le 1 \\ 1 & \mbox{wenn } 1 \lt x \end{cases} [/math] |
| Modus | [math]\operatorname{md}_X =\{c\},\,f_X(c)=2\![/math] |
| Erwartungswert | [math]\mu(X) = \frac{1+c}{3}[/math] |
| p-Quantil | [math] F_X^{-1}(p) = \begin{cases} 0+\sqrt{cp} & \mbox{wenn } 0 \le p \le c \\ 1-\sqrt{(1-c)(1-p)} & \mbox{wenn } c \lt p \le 1 \end{cases} [/math] |
| Median | [math] F_X^{-1}(0,5) = \begin{cases} 0+\frac{ {\sqrt{2c} } }{2} & \mbox{wenn } 0{,}5 \le c\\ 1-\frac{ {\sqrt{2(1-c)} } }{2} & \mbox{wenn } c \lt 0{,}5 \end{cases} [/math] |
| Varianz | [math]\operatorname{Var}(X) = \frac{c^2 - c + 1}{18}[/math] |
| Standardabweichung | [math]\sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(c^2 - c + 1)}[/math] |
3 Zusammenhang zwischen allgemeiner und Standard-Dreiecksverteilung
Die Dreiecksverteilung hat eine allgemeinere Dichtefunktion [math]f_{D(a,b,c)}\![/math]. Wie hängen die hier definierte sepzielle Form und die dort definierte allgemeine Form zusammen?
Zunächst sieht man anhand der Definitionen sofort, dass jede Dichtefunktion einer Standard-Dreiecksverteilung auch eine Dichtefunktion einer allgemeinen Dreiecksverteilungen ist:
[math]f_{D(c)}(x) = f_{D(0,1,c)}(x)[/math]
Umgekehrt können alle Dichtefunktionen von allgemeinen Dreiecksverteilungen durch Linear-Transformationen aus entsprechenden Dichtefunktionen der Standard-Dreiecksverteilungen erzeugt werden:
[math]f_{D(a,b,c)}(x)
= \frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)
[/math]
4 Quellen
- Kowarschick (PM): Wolfgang Kowarschick; Vorlesung „Projektmanagement“; Hochschule: Hochschule Augsburg; Adresse: Augsburg; Web-Link; 2014; Quellengüte: 3 (Vorlesung)
- Rinne (2003): Horst Rinne; Taschenbuch der Statistik; Auflage: 3; Verlag: Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch; Adresse: Frankfurt am Main; ISBN: 3817116950; 2003; Quellengüte: 5 (Buch)
