Standard-Dreiecksverteilung: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 23. April 2018, 15:31 Uhr

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Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Eigenschaften der Standard-Dreiecksverteilung
3 Zusammenhang zwischen allgemeiner und Standard-Dreiecksverteilung
4 Quellen

1 Definition

Eine stetige Zufallsgröße [math]X = D(c) := D(0,1,c)\,[/math], wobei [math]D(a,b,c)\,[/math] die Dreiecksverteilung ist, heißt standardisiert dreiecksverteilt, wenn ihre Verteilungsfunktion durch die Dichtefunktion

[math]f_X(x) = f_{D(c)} = f_{D(0,1,c)} = \begin{cases} 2\frac{x}{c} & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\ 2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c \lt x \le 1 \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} [/math]

beschrieben werden kann.

[math]c \in ]0,1[[/math] heißt Parameter der Verteilung [math]D(c)\,[/math].

[math]D(c)\,[/math] wird auch Standard-Dreiecksverteilung genannt.

2 Eigenschaften der Standard-Dreiecksverteilung

Parameter (vgl. Parameter der allgemeinen Dreiecksverteilung)	[math]c \,\in\, ]0,1[[/math] [math]a=0, b=1, d=b-a=1, m=\frac{c-a}{d} = c[/math]
Dichtefunktion	[math] f_X(x) := \begin{cases} 2\frac{x}{c} & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\ 2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c \lt x \le 1 \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} [/math]
Stetigkeit	[math]f_X(x)\mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[\![/math]
Träger	[math]f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \,\in\, ]0,1[ \![/math]
Verteilungsfunktion	[math] F_X(x) = \begin{cases} 0 & \mbox{wenn } x \lt 1\\ 0+\frac{x^2}{c} & \mbox{wenn } 1 \le x \le c \\ 1-\frac{(1-x)^2}{1-c} & \mbox{wenn } c \lt x \le 1 \\ 1 & \mbox{wenn } 1 \lt x \end{cases} [/math]
Modus	[math]\operatorname{md}_X =\{c\},\,f_X(c)=2\![/math]
Erwartungswert	[math]\mu(X) = \frac{1+c}{3}[/math]
p-Quantil	[math] F_X^{-1}(p) = \begin{cases} 0+\sqrt{cp} & \mbox{wenn } 0 \le p \le c \\ 1-\sqrt{(1-c)(1-p)} & \mbox{wenn } c \lt p \le 1 \end{cases} [/math]
Median	[math] F_X^{-1}(0,5) = \begin{cases} 0+\frac{ {\sqrt{2c} } }{2} & \mbox{wenn } 0{,}5 \le c\\ 1-\frac{ {\sqrt{2(1-c)} } }{2} & \mbox{wenn } c \lt 0{,}5 \end{cases} [/math]
Varianz	[math]\operatorname{Var}(X) = \frac{c^2 - c + 1}{18}[/math]
Standardabweichung	[math]\sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(c^2 - c + 1)}[/math]

3 Zusammenhang zwischen allgemeiner und Standard-Dreiecksverteilung

Die Dreiecksverteilung hat eine allgemeinere Dichtefunktion [math]f_{D(a,b,c)}\![/math]. Wie hängen die hier definierte sepzielle Form und die dort definierte allgemeine Form zusammen?

Zunächst sieht man anhand der Definitionen sofort, dass jede Dichtefunktion einer Standard-Dreiecksverteilung auch eine Dichtefunktion einer allgemeinen Dreiecksverteilungen ist:

[math]f_{D(c)}(x) = f_{D(0,1,c)}(x)[/math]

Umgekehrt können alle Dichtefunktionen von allgemeinen Dreiecksverteilungen durch Linear-Transformationen aus entsprechenden Dichtefunktionen der Standard-Dreiecksverteilungen erzeugt werden:

[math]f_{D(a,b,c)}(x) = \frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) [/math]

(Beweis der zweiten Aussage)

4 Quellen

Kowarschick (PM): Wolfgang Kowarschick; Vorlesung „Projektmanagement“; Hochschule: Hochschule Augsburg; Adresse: Augsburg; Web-Link; 2014; Quellengüte: 3 (Vorlesung)
Rinne (2003): Horst Rinne; Taschenbuch der Statistik; Auflage: 3; Verlag: Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch; Adresse: Frankfurt am Main; ISBN: 3817116950; 2003; Quellengüte: 5 (Buch)

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-'''Achtung''': Die folgenden Formeln können noch Fehler enthalten.
+{{Qualität
+|correctness         = 5
+|extent              = 3
+|numberOfReferences  = 4
+|qualityOfReferences = 5
+|conformance         = 5
+}}
+==Definition==
+Eine [[Stetige Zufallsgröße|stetige Zufallsgröße]] <math>X = D(c) := D(0,1,c)\,</math>, wobei <math>D(a,b,c)\,</math> die [[Dreiecksverteilung]] ist, heißt '''standardisiert dreiecksverteilt''', wenn ihre [[Verteilungsfunktion]] durch die [[Dichtefunktion]]
+<div class="formula"><math>f_X(x) = f_{D(c)} = f_{D(0,1,c)} =
+   \begin{cases}
+\frac{x}{c}     & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\
+\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c < x \le 1 \\
+                & \mbox{sonst }
+   \end{cases}
+</math></div>
+beschrieben werden kann.
+<math>c \in ]0,1[</math> heißt Parameter der Verteilung <math>D(c)\,</math>.
-Eine Zufallsgröße <math>X</math> mit der nachfolgend definierten Dichte-Funktion
+<math>D(c)\,</math> wird auch [[Standard-Dreiecksverteilung]] genannt.
-<math>f_X</math> heißt '''normiert dreiecksverteilt'''. Sie hat folgende Eigenschaften:
+== Eigenschaften der Standard-Dreiecksverteilung==
 {{Wahrscheinlichkeitsverteilung |
-   name       =normierte Dreiecksverteilung|
+   name       =normalisierte Dreiecksverteilung|
    type       =Dichte|
    pdf_image  =|
    cdf_image  =|
-   parameters =<math>c \in ]0,1[</math>|
+   parameters =<math>c \,\in\, ]0,1[</math><br><math>a=0, b=1, d=b-a=1, m=\frac{c-a}{d} = c</math>|
+  annotations_parameters = (vgl. Parameter der <br>[[Dreiecksverteilung|allgemeinen]]<br>[[Dreiecksverteilung]])|
    pdf        =<math>
                  f_X(x) :=
                    \begin{cases}
-\frac{x}{c},    & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\
+\frac{x}{c}     & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\
 \frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c < x \le 1 \\
-,               & \mbox{sonst }
+               & \mbox{sonst }
                    \end{cases}
                </math>|
-   continuity = <math>f_X(x)\mbox{ ist stetig auf }]\infty,\infty[\!</math>|
-   support    =<math>f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]0,1[ \!</math>|
+   continuity = <math>f_X(x)\mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[\!</math>|
-   cdf        =<math>
+   support    =<math>f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \,\in\, ]0,1[ \!</math>|
+   cdf       =<math>
                 F_X(x) =
                    \begin{cases}
-,                    & \mbox{wenn } x < 1\\
+                    & \mbox{wenn } x < 1\\
 +\frac{x^2}{c}       & \mbox{wenn } 1 \le x \le c \\
 -\frac{(1-x)^2}{1-c} & \mbox{wenn } c < x \le 1 \\
-,                    & \mbox{wenn } 1 < x
+                    & \mbox{wenn } 1 < x
                    \end{cases}
                </math>|
-   mode       =<math>c,\,f_X(c)=2\!</math>|
+   mode       =<math>\operatorname{md}_X =\{c\},\,f_X(c)=2\!</math>|
    mean       =<math>\mu(X) = \frac{1+c}{3}</math>|
-   quartile   = <math>
+   quantile   = <math>
                  F_X^{-1}(p) =
                    \begin{cases}
-+\sqrt{cp},         & \mbox{wenn } 0 \le p \le c \\
++\sqrt{cp}          & \mbox{wenn } 0 \le p \le c \\
--\sqrt{(1-c)(1-p)}, & \mbox{wenn } c < p \le 1
+-\sqrt{(1-c)(1-p)}  & \mbox{wenn } c < p \le 1
                    \end{cases}
                </math>|
    median     =<math>
                  F_X^{-1}(0,5) =
                    \begin{cases}
-+\frac{\sqrt{2c}}{2}     & \mbox{wenn } 0{,}5 \le c\\
++\frac{ {\sqrt{2c} } }{2}     & \mbox{wenn } 0{,}5 \le c\\
--\frac{\sqrt{2(1-c)}}{2} & \mbox{wenn } c < 0{,}5
+-\frac{ {\sqrt{2(1-c)} } }{2} & \mbox{wenn } c < 0{,}5
                    \end{cases}
                </math>|
-   variance   =<math>\operatorname{Var}(X) = \frac{c^2 - c + 1}{18}</math>|
-   sigma      =<math>\sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(c^2 - c + 1)}</math>|
+   variance       =<math>\operatorname{Var}(X) = \frac{c^2 - c + 1}{18}</math>|
-  skewness   =<math>
-              \frac{\sqrt 2(1-2c)(-1-c)(-1+c)}{5(c^2-c+1)^\frac{3}{2}}
+   sigma       =<math>\sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(c^2 - c + 1)}</math>
-              </math> (nicht überprüft)|
-  kurtosis   =<math>\frac{\mu_4(X)}{\sigma^4(X)} = \frac{12}{5} \mbox{ oder } \frac{\mu_4}{\sigma^4} -3 = \frac{12}{5}</math> (nicht überprüft)|
-  entropy    =<math>h[f_X] = \frac{1}{2}+\ln\left(\frac{1}{2}\right)</math> (nicht überprüft)|
-  mgf        =<math>M_X(t)=E\left(e^{tX}\right) = 2\frac{(1-c)-e^{ct}+ce^{t}}{c(1-c)t^2}</math> (nicht überprüft)|
-  char       =<math>\varphi_X(t) = \operatorname{E}\left(e^{itX}\right) = -2\frac{(1-c)-e^{ict}+ce^{it}}{c(1-c)t^2}</math> (nicht überprüft)|
 }}
+==Zusammenhang zwischen allgemeiner und Standard-Dreiecksverteilung==
+Die [[Dreiecksverteilung]] hat eine allgemeinere Dichtefunktion <math>f_{D(a,b,c)}\!</math>.
+Wie hängen die hier definierte sepzielle Form und die dort definierte allgemeine Form zusammen?
+Zunächst sieht man anhand der Definitionen sofort, dass jede Dichtefunktion einer [[Standard-Dreiecksverteilung]]
+auch eine Dichtefunktion einer [[Dreiecksverteilung|allgemeinen Dreiecksverteilungen]] ist:
+<div class="formula"><math>f_{D(c)}(x) = f_{D(0,1,c)}(x)</math></div>
+Umgekehrt können alle
+Dichtefunktionen von [[Dreiecksverteilung|allgemeinen Dreiecksverteilungen]] durch Linear-Transformationen aus entsprechenden
+Dichtefunktionen der [[Standard-Dreiecksverteilung]]en erzeugt werden:
+<div class="formula"><math>f_{D(a,b,c)}(x)
+          = \frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)
+</math></div>
+([[Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Dreiecksverteilung (Satz)|Beweis der zweiten Aussage]])
+==Quellen==
+#{{Quelle|Kowarschick, W.: Projektmanagement}}
+#{{Quelle|Rinne, H. (2003): Taschenbuch der Statistik}}
+[[Kategorie:Mathematische Definition]]
 [[Kategorie:Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
 [[Kategorie:Projektmanagement]]
-[[en:Triangular Distribution]]
+[[en:Triangular distribution (standardized)]]