Standard-Dreiecksverteilung: Unterschied zwischen den Versionen

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==Definition==
Eine [[Stetige Zufallsgröße|stetige Zufallsgröße]] <math>X = D(c) := D(0,1,c)\,</math>, wobei <math>D(a,b,c)\,</math> die [[Dreiecksverteilung]] ist, heißt '''standardisiert dreiecksverteilt''', wenn ihre [[Verteilungsfunktion]] durch die [[Dichtefunktion]]
 
<div class="formula"><math>f_X(x) = f_{D(c)} = f_{D(0,1,c)} =
  \begin{cases}
    2\frac{x}{c}    & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\
    2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c < x \le 1 \\
    0                & \mbox{sonst }
  \end{cases}     
</math></div>
 
beschrieben werden kann.
 
<math>c \in ]0,1[</math> heißt Parameter der Verteilung <math>D(c)\,</math>.
 
<math>D(c)\,</math> wird auch [[Standard-Dreiecksverteilung]] genannt.
 
== Eigenschaften der Standard-Dreiecksverteilung==


{{Wahrscheinlichkeitsverteilung |
{{Wahrscheinlichkeitsverteilung |
   name      =normierte Dreiecksverteilung|
   name      =normalisierte Dreiecksverteilung|
   type      =Dichte|
   type      =Dichte|
   pdf_image  =|
   pdf_image  =|
   cdf_image  =|
   cdf_image  =|
   parameters =<math>c \in ]0,1[</math>|
 
   parameters =<math>c \,\in\, ]0,1[</math><br><math>a=0, b=1, d=b-a=1, m=\frac{c-a}{d} = c</math>|
  annotations_parameters = (vgl. Parameter der <br>[[Dreiecksverteilung|allgemeinen]]<br>[[Dreiecksverteilung]])|
 
   pdf        =<math>
   pdf        =<math>
                 f(x) =
                 f_X(x) :=
                   \begin{cases}  
                   \begin{cases}  
                     2\frac{x}{c},      & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\  
                     2\frac{x}{c}     & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\  
                     2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c < x \le 1 \\
                     2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c < x \le 1 \\
                     0,                & \mbox{sonst }
                     0               & \mbox{sonst }
                   \end{cases}                 
                   \end{cases}                 
               </math>|
               </math>|
   continuity = <math>\mbox{f(x) ist stetig auf }]\infty,\infty[\!</math>|
 
   support    =<math>f(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]0,1[ \!</math>|
   continuity = <math>f_X(x)\mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[\!</math>|
   cdf       =<math>
 
               F(x) =  
   support    =<math>f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \,\in\, ]0,1[ \!</math>|
 
   cdf       =<math>
               F_X(x) =  
                   \begin{cases}  
                   \begin{cases}  
                     0,                    & \mbox{wenn } x < 1\\
                     0                     & \mbox{wenn } x < 1\\
                     0+\frac{x^2}{c}      & \mbox{wenn } 1 \le x \le c \\  
                     0+\frac{x^2}{c}      & \mbox{wenn } 1 \le x \le c \\  
                     1-\frac{(1-x)^2}{1-c} & \mbox{wenn } c < x \le 1 \\
                     1-\frac{(1-x)^2}{1-c} & \mbox{wenn } c < x \le 1 \\
                     1,                    & \mbox{wenn } 1 < x
                     1                     & \mbox{wenn } 1 < x
                   \end{cases}                 
                   \end{cases}                 
               </math>|
               </math>|
   mode      =<math>c,\,f(c)=2\!</math>|
 
   mean      =<math>\mu = \frac{1+c}{3}</math>|
   mode      =<math>\operatorname{md}_X =\{c\},\,f_X(c)=2\!</math>|
   quartile   = <math>
                 F^{-1}(p) =
   mean      =<math>\mu(X) = \frac{1+c}{3}</math>|
 
   quantile   = <math>
                 F_X^{-1}(p) =
                   \begin{cases}  
                   \begin{cases}  
                     0+\sqrt{cp},        & \mbox{wenn } 0 \le p \le c \\  
                     0+\sqrt{cp}         & \mbox{wenn } 0 \le p \le c \\  
                     1-\sqrt{(1-c)(1-p)}, & \mbox{wenn } c < p \le 1  
                     1-\sqrt{(1-c)(1-p)} & \mbox{wenn } c < p \le 1  
                   \end{cases}              
                   \end{cases}  
               </math>|
               </math>|
   median    =<math>
   median    =<math>
                 F^{-1}(0,5) =
                 F_X^{-1}(0,5) =
                   \begin{cases}  
                   \begin{cases}  
                     0+\frac{\sqrt{2c}}{2}    & \mbox{wenn } 0{,}5 \le c\\  
                     0+\frac{ {\sqrt{2c} } }{2}    & \mbox{wenn } 0{,}5 \le c\\  
                     1-\frac{\sqrt{2(1-c)}}{2} & \mbox{wenn } c < 0{,}5  
                     1-\frac{ {\sqrt{2(1-c)} } }{2} & \mbox{wenn } c < 0{,}5  
                   \end{cases}                 
                   \end{cases}                 
               </math>|
               </math>|
   variance   =<math>\operatorname{var}(x) = \frac{c^2 - c + 1}{18}</math>|
   sigma     =<math>\sigma = \frac{1}{6} \sqrt{2(c^2 - c + 1)}</math>|
   variance       =<math>\operatorname{Var}(X) = \frac{c^2 - c + 1}{18}</math>|
  skewness  =<math>
              \frac{\sqrt 2(1-2c)(-1-c)(-1+c)}{5(c^2-c+1)^\frac{3}{2}}
   sigma       =<math>\sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(c^2 - c + 1)}</math>
              </math>|
  kurtosis  =<math>\frac{12}{5}</math>|
  entropy    =<math>\frac{1}{2}+\ln\left(\frac{1}{2}\right)</math>|
  mgf        =<math>2\frac{(1-c)-e^{ct}+ce^{t}}{c(1-c)t^2}</math>|
  char      =<math>-2\frac{(1-c)-e^{ict}+ce^{it}}{c(1-c)t^2}</math>|
}}
}}


==Zusammenhang zwischen allgemeiner und Standard-Dreiecksverteilung==
Die [[Dreiecksverteilung]] hat eine allgemeinere Dichtefunktion <math>f_{D(a,b,c)}\!</math>.
Wie hängen die hier definierte sepzielle Form und die dort definierte allgemeine Form zusammen?
Zunächst sieht man anhand der Definitionen sofort, dass jede Dichtefunktion einer [[Standard-Dreiecksverteilung]]
auch eine Dichtefunktion einer [[Dreiecksverteilung|allgemeinen Dreiecksverteilungen]] ist:
<div class="formula"><math>f_{D(c)}(x) = f_{D(0,1,c)}(x)</math></div>
Umgekehrt können alle
Dichtefunktionen von [[Dreiecksverteilung|allgemeinen Dreiecksverteilungen]] durch Linear-Transformationen aus entsprechenden
Dichtefunktionen der [[Standard-Dreiecksverteilung]]en erzeugt werden:
<div class="formula"><math>f_{D(a,b,c)}(x)
          = \frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)
</math></div>
([[Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Dreiecksverteilung (Satz)|Beweis der zweiten Aussage]])
==Quellen==
#{{Quelle|Kowarschick, W.: Projektmanagement}}
#{{Quelle|Rinne, H. (2003): Taschenbuch der Statistik}}
[[Kategorie:Mathematische Definition]]
[[Kategorie:Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:Projektmanagement]]
[[Kategorie:Projektmanagement]]
[[en:Triangular Distribution]]
[[en:Triangular distribution (standardized)]]

Aktuelle Version vom 23. April 2018, 15:31 Uhr

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Definition

Eine stetige Zufallsgröße $ X = D(c) := D(0,1,c)\, $, wobei $ D(a,b,c)\, $ die Dreiecksverteilung ist, heißt standardisiert dreiecksverteilt, wenn ihre Verteilungsfunktion durch die Dichtefunktion

$ f_X(x) = f_{D(c)} = f_{D(0,1,c)} = \begin{cases} 2\frac{x}{c} & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\ 2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c < x \le 1 \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} $

beschrieben werden kann.

$ c \in ]0,1[ $ heißt Parameter der Verteilung $ D(c)\, $.

$ D(c)\, $ wird auch Standard-Dreiecksverteilung genannt.

Eigenschaften der Standard-Dreiecksverteilung

Parameter
(vgl. Parameter der
allgemeinen
Dreiecksverteilung)		$ c \,\in\, ]0,1[ $
$ a=0, b=1, d=b-a=1, m=\frac{c-a}{d} = c $
Dichtefunktion
$ f_X(x) := \begin{cases} 2\frac{x}{c} & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\ 2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c < x \le 1 \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} $
Stetigkeit
$ f_X(x)\mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[\! $
Träger
$ f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \,\in\, ]0,1[ \! $
Verteilungsfunktion
$ F_X(x) = \begin{cases} 0 & \mbox{wenn } x < 1\\ 0+\frac{x^2}{c} & \mbox{wenn } 1 \le x \le c \\ 1-\frac{(1-x)^2}{1-c} & \mbox{wenn } c < x \le 1 \\ 1 & \mbox{wenn } 1 < x \end{cases} $
Modus
$ \operatorname{md}_X =\{c\},\,f_X(c)=2\! $
Erwartungswert
$ \mu(X) = \frac{1+c}{3} $
p-Quantil
$ F_X^{-1}(p) = \begin{cases} 0+\sqrt{cp} & \mbox{wenn } 0 \le p \le c \\ 1-\sqrt{(1-c)(1-p)} & \mbox{wenn } c < p \le 1 \end{cases} $
Median
$ F_X^{-1}(0,5) = \begin{cases} 0+\frac{ {\sqrt{2c} } }{2} & \mbox{wenn } 0{,}5 \le c\\ 1-\frac{ {\sqrt{2(1-c)} } }{2} & \mbox{wenn } c < 0{,}5 \end{cases} $
Varianz
$ \operatorname{Var}(X) = \frac{c^2 - c + 1}{18} $
Standardabweichung
$ \sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(c^2 - c + 1)} $

Zusammenhang zwischen allgemeiner und Standard-Dreiecksverteilung

Die Dreiecksverteilung hat eine allgemeinere Dichtefunktion $ f_{D(a,b,c)}\! $. Wie hängen die hier definierte sepzielle Form und die dort definierte allgemeine Form zusammen?

Zunächst sieht man anhand der Definitionen sofort, dass jede Dichtefunktion einer Standard-Dreiecksverteilung auch eine Dichtefunktion einer allgemeinen Dreiecksverteilungen ist:

$ f_{D(c)}(x) = f_{D(0,1,c)}(x) $

Umgekehrt können alle Dichtefunktionen von allgemeinen Dreiecksverteilungen durch Linear-Transformationen aus entsprechenden Dichtefunktionen der Standard-Dreiecksverteilungen erzeugt werden:

$ f_{D(a,b,c)}(x) = \frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) $

(Beweis der zweiten Aussage)

Quellen

  1. Kowarschick (PM): Wolfgang Kowarschick; Vorlesung „Projektmanagement“; Hochschule: Hochschule Augsburg; Adresse: Augsburg; Web-Link; 2014; Quellengüte: 3 (Vorlesung)
  2. Rinne (2003): Horst Rinne; Taschenbuch der Statistik; Auflage: 3; Verlag: Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch; Adresse: Frankfurt am Main; ISBN: 3817116950; 2003; Quellengüte: 5 (Buch)
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