Standard-Dreiecksverteilung: Unterschied zwischen den Versionen
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| − | + | ==Quellen== | |
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| − | + | #{{Quelle|Kowarschick, W.: Projektmanagement}} | |
| − | + | #{{Quelle|Rinne, H. (2003): Taschenbuch der Statistik}} | |
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| + | [[Kategorie:Mathematische Definition]] | ||
[[Kategorie:Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]] | [[Kategorie:Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]] | ||
[[Kategorie:Projektmanagement]] | [[Kategorie:Projektmanagement]] | ||
| − | [[en:Triangular | + | [[en:Triangular distribution (standardized)]] |
Aktuelle Version vom 23. April 2018, 15:31 Uhr
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Inhaltsverzeichnis
1 Definition
Eine stetige Zufallsgröße [math]X = D(c) := D(0,1,c)\,[/math], wobei [math]D(a,b,c)\,[/math] die Dreiecksverteilung ist, heißt standardisiert dreiecksverteilt, wenn ihre Verteilungsfunktion durch die Dichtefunktion
[math]f_X(x) = f_{D(c)} = f_{D(0,1,c)} =
\begin{cases}
2\frac{x}{c} & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\
2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c \lt x \le 1 \\
0 & \mbox{sonst }
\end{cases}
[/math]
beschrieben werden kann.
[math]c \in ]0,1[[/math] heißt Parameter der Verteilung [math]D(c)\,[/math].
[math]D(c)\,[/math] wird auch Standard-Dreiecksverteilung genannt.
2 Eigenschaften der Standard-Dreiecksverteilung
| Parameter (vgl. Parameter der allgemeinen Dreiecksverteilung) | [math]c \,\in\, ]0,1[[/math] [math]a=0, b=1, d=b-a=1, m=\frac{c-a}{d} = c[/math] |
| Dichtefunktion | [math] f_X(x) := \begin{cases} 2\frac{x}{c} & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\ 2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c \lt x \le 1 \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} [/math] |
| Stetigkeit | [math]f_X(x)\mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[\![/math] |
| Träger | [math]f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \,\in\, ]0,1[ \![/math] |
| Verteilungsfunktion | [math] F_X(x) = \begin{cases} 0 & \mbox{wenn } x \lt 1\\ 0+\frac{x^2}{c} & \mbox{wenn } 1 \le x \le c \\ 1-\frac{(1-x)^2}{1-c} & \mbox{wenn } c \lt x \le 1 \\ 1 & \mbox{wenn } 1 \lt x \end{cases} [/math] |
| Modus | [math]\operatorname{md}_X =\{c\},\,f_X(c)=2\![/math] |
| Erwartungswert | [math]\mu(X) = \frac{1+c}{3}[/math] |
| p-Quantil | [math] F_X^{-1}(p) = \begin{cases} 0+\sqrt{cp} & \mbox{wenn } 0 \le p \le c \\ 1-\sqrt{(1-c)(1-p)} & \mbox{wenn } c \lt p \le 1 \end{cases} [/math] |
| Median | [math] F_X^{-1}(0,5) = \begin{cases} 0+\frac{ {\sqrt{2c} } }{2} & \mbox{wenn } 0{,}5 \le c\\ 1-\frac{ {\sqrt{2(1-c)} } }{2} & \mbox{wenn } c \lt 0{,}5 \end{cases} [/math] |
| Varianz | [math]\operatorname{Var}(X) = \frac{c^2 - c + 1}{18}[/math] |
| Standardabweichung | [math]\sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(c^2 - c + 1)}[/math] |
3 Zusammenhang zwischen allgemeiner und Standard-Dreiecksverteilung
Die Dreiecksverteilung hat eine allgemeinere Dichtefunktion [math]f_{D(a,b,c)}\![/math]. Wie hängen die hier definierte sepzielle Form und die dort definierte allgemeine Form zusammen?
Zunächst sieht man anhand der Definitionen sofort, dass jede Dichtefunktion einer Standard-Dreiecksverteilung auch eine Dichtefunktion einer allgemeinen Dreiecksverteilungen ist:
[math]f_{D(c)}(x) = f_{D(0,1,c)}(x)[/math]
Umgekehrt können alle Dichtefunktionen von allgemeinen Dreiecksverteilungen durch Linear-Transformationen aus entsprechenden Dichtefunktionen der Standard-Dreiecksverteilungen erzeugt werden:
[math]f_{D(a,b,c)}(x)
= \frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)
[/math]
4 Quellen
- Kowarschick (PM): Wolfgang Kowarschick; Vorlesung „Projektmanagement“; Hochschule: Hochschule Augsburg; Adresse: Augsburg; Web-Link; 2014; Quellengüte: 3 (Vorlesung)
- Rinne (2003): Horst Rinne; Taschenbuch der Statistik; Auflage: 3; Verlag: Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch; Adresse: Frankfurt am Main; ISBN: 3817116950; 2003; Quellengüte: 5 (Buch)
