Standard-Dreiecksverteilung: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Qualität
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|correctness        = 5
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}}
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==Definition==
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Eine [[Stetige Zufallsgröße|stetige Zufallsgröße]] <math>X = D(c) := D(0,1,c)\,</math>, wobei <math>D(a,b,c)\,</math> die [[Dreiecksverteilung]] ist, heißt '''standardisiert dreiecksverteilt''', wenn ihre [[Verteilungsfunktion]] durch die [[Dichtefunktion]]
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<div class="formula"><math>f_X(x) = f_{D(c)} = f_{D(0,1,c)} =
 +
  \begin{cases}
 +
    2\frac{x}{c}    & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\
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    2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c < x \le 1 \\
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    0                & \mbox{sonst }
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  \end{cases}     
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</math></div>
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beschrieben werden kann.
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<math>c \in ]0,1[</math> heißt Parameter der Verteilung <math>D(c)\,</math>.  
  
Eine Zufallsgröße <math>X</math> mit der nachfolgend definierten Dichte-Funktion
+
<math>D(c)\,</math> wird auch [[Standard-Dreiecksverteilung]] genannt.
<math>f_X</math> heißt '''normiert dreiecksverteilt'''. Sie hat folgende Eigenschaften:
+
 
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== Eigenschaften der Standard-Dreiecksverteilung==
  
 
{{Wahrscheinlichkeitsverteilung |
 
{{Wahrscheinlichkeitsverteilung |
   name      =normierte Dreiecksverteilung|
+
   name      =normalisierte Dreiecksverteilung|
 
   type      =Dichte|
 
   type      =Dichte|
 
   pdf_image  =|
 
   pdf_image  =|
 
   cdf_image  =|
 
   cdf_image  =|
  
   parameters =<math>c \in ]0,1[</math>|
+
   parameters =<math>c \,\in\, ]0,1[</math><br><math>a=0, b=1, d=b-a=1, m=\frac{c-a}{d} = c</math>|
   proof_parameters =|
+
   annotations_parameters = (vgl. Parameter der <br>[[Dreiecksverteilung|allgemeinen]]<br>[[Dreiecksverteilung]])|
  
 
   pdf        =<math>
 
   pdf        =<math>
 
                 f_X(x) :=
 
                 f_X(x) :=
 
                   \begin{cases}  
 
                   \begin{cases}  
                     2\frac{x}{c},    & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\  
+
                     2\frac{x}{c}     & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\  
 
                     2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c < x \le 1 \\
 
                     2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c < x \le 1 \\
                     0,              & \mbox{sonst }
+
                     0               & \mbox{sonst }
 
                   \end{cases}                 
 
                   \end{cases}                 
 
               </math>|
 
               </math>|
  proof_pdf =|
 
  
   continuity = <math>f_X(x)\mbox{ ist stetig auf }]\infty,\infty[\!</math>|
+
   continuity = <math>f_X(x)\mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[\!</math>|
  proof_continuity =|
 
  
   support    =<math>f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]0,1[ \!</math>|
+
   support    =<math>f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \,\in\, ]0,1[ \!</math>|
  proof_support =|
 
  
 
   cdf      =<math>
 
   cdf      =<math>
 
               F_X(x) =  
 
               F_X(x) =  
 
                   \begin{cases}  
 
                   \begin{cases}  
                     0,                    & \mbox{wenn } x < 1\\
+
                     0                     & \mbox{wenn } x < 1\\
 
                     0+\frac{x^2}{c}      & \mbox{wenn } 1 \le x \le c \\  
 
                     0+\frac{x^2}{c}      & \mbox{wenn } 1 \le x \le c \\  
 
                     1-\frac{(1-x)^2}{1-c} & \mbox{wenn } c < x \le 1 \\
 
                     1-\frac{(1-x)^2}{1-c} & \mbox{wenn } c < x \le 1 \\
                     1,                    & \mbox{wenn } 1 < x
+
                     1                     & \mbox{wenn } 1 < x
 
                   \end{cases}                 
 
                   \end{cases}                 
 
               </math>|
 
               </math>|
  proof_cdf  =|
 
 
  mode      =<math>c,\,f_X(c)=2\!</math>|
 
  proof_mode =|
 
  
 +
  mode      =<math>\operatorname{md}_X =\{c\},\,f_X(c)=2\!</math>|
 +
 
   mean      =<math>\mu(X) = \frac{1+c}{3}</math>|
 
   mean      =<math>\mu(X) = \frac{1+c}{3}</math>|
  proof_mean =|
 
  
   quartile   = <math>
+
   quantile   = <math>
 
                 F_X^{-1}(p) =
 
                 F_X^{-1}(p) =
 
                   \begin{cases}  
 
                   \begin{cases}  
                     0+\sqrt{cp},        & \mbox{wenn } 0 \le p \le c \\  
+
                     0+\sqrt{cp}         & \mbox{wenn } 0 \le p \le c \\  
                     1-\sqrt{(1-c)(1-p)}, & \mbox{wenn } c < p \le 1  
+
                     1-\sqrt{(1-c)(1-p)} & \mbox{wenn } c < p \le 1  
                   \end{cases}              
+
                   \end{cases}  
 
               </math>|
 
               </math>|
  proof_quartile =|
 
  
 
   median    =<math>
 
   median    =<math>
 
                 F_X^{-1}(0,5) =
 
                 F_X^{-1}(0,5) =
 
                   \begin{cases}  
 
                   \begin{cases}  
                     0+\frac{\sqrt{2c}}{2}    & \mbox{wenn } 0{,}5 \le c\\  
+
                     0+\frac{ {\sqrt{2c} } }{2}    & \mbox{wenn } 0{,}5 \le c\\  
                     1-\frac{\sqrt{2(1-c)}}{2} & \mbox{wenn } c < 0{,}5  
+
                     1-\frac{ {\sqrt{2(1-c)} } }{2} & \mbox{wenn } c < 0{,}5  
 
                   \end{cases}                 
 
                   \end{cases}                 
 
               </math>|
 
               </math>|
   proof_median =|
+
 +
   variance      =<math>\operatorname{Var}(X) = \frac{c^2 - c + 1}{18}</math>|
 +
 +
  sigma      =<math>\sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(c^2 - c + 1)}</math>
 +
}}
  
  variance      =<math>\operatorname{Var}(X) = \frac{c^2 - c + 1}{18}</math>|
+
==Zusammenhang zwischen allgemeiner und Standard-Dreiecksverteilung==
  proof_variance =|
 
  
  sigma      =<math>\sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(c^2 - c + 1)}</math>|
+
Die [[Dreiecksverteilung]] hat eine allgemeinere Dichtefunktion <math>f_{D(a,b,c)}\!</math>.
  proof_sigma =|
+
Wie hängen die hier definierte sepzielle Form und die dort definierte allgemeine Form zusammen?
  
  skewness      =|
+
Zunächst sieht man anhand der Definitionen sofort, dass jede Dichtefunktion einer [[Standard-Dreiecksverteilung]]
  proof_skewness =|
+
auch eine Dichtefunktion einer [[Dreiecksverteilung|allgemeinen Dreiecksverteilungen]] ist:
  
  kurtosis      =|
+
<div class="formula"><math>f_{D(c)}(x) = f_{D(0,1,c)}(x)</math></div>
  proof_kurtosis =|
 
  
  entropy      =|
+
Umgekehrt können alle
  proof_entropy =|
+
Dichtefunktionen von [[Dreiecksverteilung|allgemeinen Dreiecksverteilungen]] durch Linear-Transformationen aus entsprechenden
 +
Dichtefunktionen der [[Standard-Dreiecksverteilung]]en erzeugt werden:
  
  moment      =|
+
<div class="formula"><math>f_{D(a,b,c)}(x)
  proof_moment =|
+
          = \frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right)
 +
</math></div>
  
  centralmoment      =|
+
([[Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Dreiecksverteilung (Satz)|Beweis der zweiten Aussage]])
  proof_centralmoment =|
 
  
  mgf      =|
+
==Quellen==
  proof_mgf =|
 
  
  char      =|
+
#{{Quelle|Kowarschick, W.: Projektmanagement}}
  proof_char =|
+
#{{Quelle|Rinne, H. (2003): Taschenbuch der Statistik}}
}}
 
  
 +
[[Kategorie:Mathematische Definition]]
 
[[Kategorie:Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
 
[[Kategorie:Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
 
[[Kategorie:Projektmanagement]]
 
[[Kategorie:Projektmanagement]]
[[en:Triangular Distribution]]
+
[[en:Triangular distribution (standardized)]]

Aktuelle Version vom 23. April 2018, 14:31 Uhr

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1 Definition

Eine stetige Zufallsgröße [math]X = D(c) := D(0,1,c)\,[/math], wobei [math]D(a,b,c)\,[/math] die Dreiecksverteilung ist, heißt standardisiert dreiecksverteilt, wenn ihre Verteilungsfunktion durch die Dichtefunktion

[math]f_X(x) = f_{D(c)} = f_{D(0,1,c)} = \begin{cases} 2\frac{x}{c} & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\ 2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c \lt x \le 1 \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} [/math]

beschrieben werden kann.

[math]c \in ]0,1[[/math] heißt Parameter der Verteilung [math]D(c)\,[/math].

[math]D(c)\,[/math] wird auch Standard-Dreiecksverteilung genannt.

2 Eigenschaften der Standard-Dreiecksverteilung

Parameter
(vgl. Parameter der
allgemeinen
Dreiecksverteilung)
[math]c \,\in\, ]0,1[[/math]
[math]a=0, b=1, d=b-a=1, m=\frac{c-a}{d} = c[/math]
Dichtefunktion
[math] f_X(x) := \begin{cases} 2\frac{x}{c} & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\ 2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c \lt x \le 1 \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} [/math]
Stetigkeit
[math]f_X(x)\mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[\![/math]
Träger
[math]f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \,\in\, ]0,1[ \![/math]
Verteilungsfunktion
[math] F_X(x) = \begin{cases} 0 & \mbox{wenn } x \lt 1\\ 0+\frac{x^2}{c} & \mbox{wenn } 1 \le x \le c \\ 1-\frac{(1-x)^2}{1-c} & \mbox{wenn } c \lt x \le 1 \\ 1 & \mbox{wenn } 1 \lt x \end{cases} [/math]
Modus
[math]\operatorname{md}_X =\{c\},\,f_X(c)=2\![/math]
Erwartungswert
[math]\mu(X) = \frac{1+c}{3}[/math]
p-Quantil
[math] F_X^{-1}(p) = \begin{cases} 0+\sqrt{cp} & \mbox{wenn } 0 \le p \le c \\ 1-\sqrt{(1-c)(1-p)} & \mbox{wenn } c \lt p \le 1 \end{cases} [/math]
Median
[math] F_X^{-1}(0,5) = \begin{cases} 0+\frac{ {\sqrt{2c} } }{2} & \mbox{wenn } 0{,}5 \le c\\ 1-\frac{ {\sqrt{2(1-c)} } }{2} & \mbox{wenn } c \lt 0{,}5 \end{cases} [/math]
Varianz
[math]\operatorname{Var}(X) = \frac{c^2 - c + 1}{18}[/math]
Standardabweichung
[math]\sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(c^2 - c + 1)}[/math]

3 Zusammenhang zwischen allgemeiner und Standard-Dreiecksverteilung

Die Dreiecksverteilung hat eine allgemeinere Dichtefunktion [math]f_{D(a,b,c)}\![/math]. Wie hängen die hier definierte sepzielle Form und die dort definierte allgemeine Form zusammen?

Zunächst sieht man anhand der Definitionen sofort, dass jede Dichtefunktion einer Standard-Dreiecksverteilung auch eine Dichtefunktion einer allgemeinen Dreiecksverteilungen ist:

[math]f_{D(c)}(x) = f_{D(0,1,c)}(x)[/math]

Umgekehrt können alle Dichtefunktionen von allgemeinen Dreiecksverteilungen durch Linear-Transformationen aus entsprechenden Dichtefunktionen der Standard-Dreiecksverteilungen erzeugt werden:

[math]f_{D(a,b,c)}(x) = \frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) [/math]

(Beweis der zweiten Aussage)

4 Quellen

  1. Kowarschick (PM): Wolfgang Kowarschick; Vorlesung „Projektmanagement“; Hochschule: Hochschule Augsburg; Adresse: Augsburg; Web-Link; 2014; Quellengüte: 3 (Vorlesung)
  2. Rinne (2003): Horst Rinne; Taschenbuch der Statistik; Auflage: 3; Verlag: Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch; Adresse: Frankfurt am Main; ISBN: 3817116950; 2003; Quellengüte: 5 (Buch)