Standard-Dreiecksverteilung

Eine stetige Zufallsgröße $ X = X_c $ heißt standardisiert dreiecksverteilt, wenn ihre Verteilungsfunktion durch die Dichtefunktion

$ f_X(x) := \begin{cases} 2\frac{x}{c} & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\ 2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c < x \le 1 \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} $

beschrieben werden kann. $ X, $ wird auch Standard-Dreiecksverteilung genannt.

$ c \in ]0,1[ $ heißt Parameter der Verteilung.

Eigenschaften der Standard-Dreiecksvertteilung

Parameter (vgl. Parameter der allgemeinen Dreiecksverteilung)	$ c \in ]0,1[ $ $ a=0, b=1, d=b-a=1, m=\frac{c-a}{d} = c $
Dichtefunktion	$ f_X(x) := \begin{cases} 2\frac{x}{c} & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\ 2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c < x \le 1 \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} $
Stetigkeit	$ f_X(x)\mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[\! $
Träger	$ f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]0,1[ \! $
Verteilungsfunktion	$ F_X(x) = \begin{cases} 0 & \mbox{wenn } x < 1\\ 0+\frac{x^2}{c} & \mbox{wenn } 1 \le x \le c \\ 1-\frac{(1-x)^2}{1-c} & \mbox{wenn } c < x \le 1 \\ 1 & \mbox{wenn } 1 < x \end{cases} $
Modus	$ \operatorname{md}_X =\{m\},\,f_X(m)=2\! $
Erwartungswert	$ \mu(X) = \frac{1+m}{3} $
p-Quantil	$ F_X^{-1}(p) = \begin{cases} 0+\sqrt{mp} & \mbox{wenn } 0 \le p \le m \\ 1-\sqrt{(1-m)(1-p)} & \mbox{wenn } m < p \le 1 \end{cases} $
Median	$ F_X^{-1}(0,5) = \begin{cases} 0+\frac{\sqrt{2m}}{2} & \mbox{wenn } 0{,}5 \le m\\ 1-\frac{\sqrt{2(1-m)}}{2} & \mbox{wenn } m < 0{,}5 \end{cases} $
Varianz	$ \operatorname{Var}(X) = \frac{m^2 - m + 1}{18} $
Standardabweichung	$ \sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(m^2 - m + 1)} $

Quellen

• Kowarschick, W.: Projektmanagement
• Rinne, H. (2003): Taschenbuch der Statistik

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