Standard-Dreiecksverteilung: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 30. Mai 2006, 10:06 Uhr

Achtung: Die folgenden Formeln können noch Fehler enthalten.

Eine Zufallsgröße [math]X[/math] mit der nachfolgend definierten Dichte-Funktion [math]f_X[/math] heißt normiert dreiecksverteilt. Sie hat folgende Eigenschaften:

Parameter	[math]c \in ]0,1[[/math]
Dichtefunktion	[math] f_X(x) := \begin{cases} 2\frac{x}{c}, & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\ 2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c \lt x \le 1 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases} [/math]
Stetigkeit	[math]f_X(x)\mbox{ ist stetig auf }]\infty,\infty[\![/math]
Träger	[math]f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]0,1[ \![/math]
Verteilungsfunktion	[math] F_X(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{wenn } x \lt 1\\ 0+\frac{x^2}{c} & \mbox{wenn } 1 \le x \le c \\ 1-\frac{(1-x)^2}{1-c} & \mbox{wenn } c \lt x \le 1 \\ 1, & \mbox{wenn } 1 \lt x \end{cases} [/math]
Modus	[math]c,\,f_X(c)=2\![/math]
Erwartungswert	[math]\mu(X) = \frac{1+c}{3}[/math]
Median	[math] F_X^{-1}(0,5) = \begin{cases} 0+\frac{\sqrt{2c}}{2} & \mbox{wenn } 0{,}5 \le c\\ 1-\frac{\sqrt{2(1-c)}}{2} & \mbox{wenn } c \lt 0{,}5 \end{cases} [/math]
Varianz	[math]\operatorname{Var}(X) = \frac{c^2 - c + 1}{18}[/math]
Standardabweichung	[math]\sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(c^2 - c + 1)}[/math]

@@ Zeile 29: / Zeile 29: @@
    proof_support =|
-   cdf        =<math>
+   cdf       =<math>
                 F_X(x) =
                    \begin{cases}
@@ Zeile 38: / Zeile 38: @@
                    \end{cases}
                </math>|
-   proof_cdf =|
+   proof_cdf  =|
    mode       =<math>c,\,f_X(c)=2\!</math>|
@@ Zeile 64: / Zeile 64: @@
    proof_median =|
-   variance   =<math>\operatorname{Var}(X) = \frac{c^2 - c + 1}{18}</math>|
+   variance       =<math>\operatorname{Var}(X) = \frac{c^2 - c + 1}{18}</math>|
    proof_variance =|
-   sigma      =<math>\sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(c^2 - c + 1)}</math>|
+   sigma       =<math>\sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(c^2 - c + 1)}</math>|
    proof_sigma =|
-   skewness   =<math>
+   skewness       =|
-              \frac{\sqrt 2(1-2c)(-1-c)(-1+c)}{5(c^2-c+1)^\frac{3}{2}}
-              </math> (nicht überprüft)|
    proof_skewness =|
-   kurtosis   =<math>\frac{\mu_4(X)}{\sigma^4(X)} = \frac{12}{5} \mbox{ oder } \frac{\mu_4}{\sigma^4} -3 = \frac{12}{5}</math> (nicht überprüft)|
+   kurtosis       =|
    proof_kurtosis =|
-   entropy    =<math>h[f_X] = \frac{1}{2}+\ln\left(\frac{1}{2}\right)</math> (nicht überprüft)|
+   entropy       =|
    proof_entropy =|
-   moment     = |
+   moment       =|
    proof_moment =|
-   centralmoment =|
+   centralmoment       =|
    proof_centralmoment =|
-   mgf        =<math>M_X(t)=E\left(e^{tX}\right) = 2\frac{(1-c)-e^{ct}+ce^{t}}{c(1-c)t^2}</math> (nicht überprüft)|
+   mgf       =|
    proof_mgf =|
-   char       =<math>\varphi_X(t) = \operatorname{E}\left(e^{itX}\right) = -2\frac{(1-c)-e^{ict}+ce^{it}}{c(1-c)t^2}</math> (nicht überprüft)|
+   char       =|
    proof_char =|
 }}