Standard-Dreiecksverteilung: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 27. Januar 2011, 17:26 Uhr
Eine stetige Zufallsgröße $ X = D(c) := D(0,1,c)\, $, wobei $ D(a,b,c)\, $ die Dreiecksverteilung ist, heißt standardisiert dreiecksverteilt, wenn ihre Verteilungsfunktion durch die Dichtefunktion
$ f_X(x) = f_{D(c)} = f_{D(0,1,c)} = \begin{cases} 2\frac{x}{c} & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\ 2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c < x \le 1 \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} $
beschrieben werden kann.
$ c \in ]0,1[ $ heißt Parameter der Verteilung $ D(c)\, $.
$ D(c)\, $ wird auch Standard-Dreiecksverteilung genannt.
Eigenschaften der Standard-Dreiecksvertteilung
| Parameter (vgl. Parameter der allgemeinen Dreiecksverteilung) | $ c \in ]0,1[ $ $ a=0, b=1, d=b-a=1, m=\frac{c-a}{d} = c $ |
| Dichtefunktion | $ f_X(x) := \begin{cases} 2\frac{x}{c} & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\ 2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c < x \le 1 \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} $ |
| Stetigkeit | $ f_X(x)\mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[\! $ |
| Träger | $ f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]0,1[ \! $ |
| Verteilungsfunktion | $ F_X(x) = \begin{cases} 0 & \mbox{wenn } x < 1\\ 0+\frac{x^2}{c} & \mbox{wenn } 1 \le x \le c \\ 1-\frac{(1-x)^2}{1-c} & \mbox{wenn } c < x \le 1 \\ 1 & \mbox{wenn } 1 < x \end{cases} $ |
| Modus | $ \operatorname{md}_X =\{c\},\,f_X(c)=2\! $ |
| Erwartungswert | $ \mu(X) = \frac{1+c}{3} $ |
| p-Quantil | $ F_X^{-1}(p) = \begin{cases} 0+\sqrt{cp} & \mbox{wenn } 0 \le p \le c \\ 1-\sqrt{(1-c)(1-p)} & \mbox{wenn } c < p \le 1 \end{cases} $ |
| Median | $ F_X^{-1}(0,5) = \begin{cases} 0+\frac{\sqrt{2c}}{2} & \mbox{wenn } 0{,}5 \le c\\ 1-\frac{\sqrt{2(1-c)}}{2} & \mbox{wenn } c < 0{,}5 \end{cases} $ |
| Varianz | $ \operatorname{Var}(X) = \frac{c^2 - c + 1}{18} $ |
| Standardabweichung | $ \sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(c^2 - c + 1)} $ |
Zusammenhang zwischen allgemeiner und Standard-Dreiecksverteilung
Die Dreiecksverteilung hat eine allgemeinere Dichtefunktion $ f_{D(a,b,c)}\! $. Wie hängen die hier definierte sepzielle Form und die dort definierte allgemeine Form zusammen?
Zunächst sieht man anhand der Definitionen sofort, dass jede Dichtefunktion einer Standard-Dreiecksverteilung auch eine Dichtefunktion einer allgemeinen Dreiecksverteilungen ist:
$ f_{D(c)}(x) = f_{D(0,1,c)}(x) \! $
Umgekehrt können alle Dichtefunktionen von allgemeinen Dreiecksverteilungen durch Linear-Transformationen aus entsprechenden Dichtefunktionen der Standard-Dreiecksverteilungen erzeugt werden:
$ f_{D(a,b,c)}(x) = \frac{1}{b-a}\cdot f_{D((c-a)/(b-a))}\left(\frac{x-a}{b-a}\right) $
