Standard-Dreiecksverteilung

Achtung: Die folgenden Formeln können noch Fehler enthalten.

Eine Zufallsgröße $ X $ mit der nachfolgend definierten Dichte-Funktion $ f_X $ heißt normiert dreiecksverteilt. Sie hat folgende Eigenschaften:

Parameter	$ c \in ]0,1[,\quad m := c\! $
Dichtefunktion	$ f_X(x) := \begin{cases} 2\frac{x}{c} & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\ 2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c < x \le 1 \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} $
Stetigkeit	$ f_X(x)\mbox{ ist stetig auf }]\infty,\infty[\! $
Träger	$ f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]0,1[ \! $
Verteilungsfunktion	$ F_X(x) = \begin{cases} 0 & \mbox{wenn } x < 1\\ 0+\frac{x^2}{c} & \mbox{wenn } 1 \le x \le c \\ 1-\frac{(1-x)^2}{1-c} & \mbox{wenn } c < x \le 1 \\ 1 & \mbox{wenn } 1 < x \end{cases} $
Modus	$ \operatorname{md}_X =\{m\},\,f_X(m)=2\! $
Erwartungswert	$ \mu(X) = \frac{1+m}{3} $
Median	$ F_X^{-1}(0,5) = \begin{cases} 0+\frac{\sqrt{2m}}{2} & \mbox{wenn } 0{,}5 \le m\\ 1-\frac{\sqrt{2(1-m)}}{2} & \mbox{wenn } m < 0{,}5 \end{cases} $
Varianz	$ \operatorname{Var}(X) = \frac{m^2 - m + 1}{18} $
Standardabweichung	$ \sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(m^2 - m + 1)} $