Standard-Dreiecksverteilung
aus GlossarWiki, der Glossar-Datenbank der Fachhochschule Augsburg
Eine stetige Zufallsgröße $ X = D(c) := D(0,1,c)\, $, wobei $ D(a,b,c)\, $ die Dreiecksverteilung ist, heißt standardisiert dreiecksverteilt, wenn ihre Verteilungsfunktion durch die Dichtefunktion
$ f_X(x) = f_{D(c)} = f_{D(0,1,c)} = \begin{cases} 2\frac{x}{c} & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\ 2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c < x \le 1 \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} $
beschrieben werden kann.
$ c \in ]0,1[ $ heißt Parameter der Verteilung $ D(c)\, $.
$ D(c)\, $ wird auch Standard-Dreiecksverteilung genannt.
Eigenschaften der Standard-Dreiecksvertteilung
| Parameter (vgl. Parameter der allgemeinen Dreiecksverteilung) | $ c \in ]0,1[ $ $ a=0, b=1, d=b-a=1, m=\frac{c-a}{d} = c $ |
| Dichtefunktion | $ f_X(x) := \begin{cases} 2\frac{x}{c} & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\ 2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c < x \le 1 \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} $ |
| Stetigkeit | $ f_X(x)\mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[\! $ |
| Träger | $ f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]0,1[ \! $ |
| Verteilungsfunktion | $ F_X(x) = \begin{cases} 0 & \mbox{wenn } x < 1\\ 0+\frac{x^2}{c} & \mbox{wenn } 1 \le x \le c \\ 1-\frac{(1-x)^2}{1-c} & \mbox{wenn } c < x \le 1 \\ 1 & \mbox{wenn } 1 < x \end{cases} $ |
| Modus | $ \operatorname{md}_X =\{c\},\,f_X(c)=2\! $ |
| Erwartungswert | $ \mu(X) = \frac{1+m}{3} $ |
| p-Quantil | $ F_X^{-1}(p) = \begin{cases} 0+\sqrt{mp} & \mbox{wenn } 0 \le p \le m \\ 1-\sqrt{(1-m)(1-p)} & \mbox{wenn } m < p \le 1 \end{cases} $ |
| Median | $ F_X^{-1}(0,5) = \begin{cases} 0+\frac{\sqrt{2m}}{2} & \mbox{wenn } 0{,}5 \le m\\ 1-\frac{\sqrt{2(1-m)}}{2} & \mbox{wenn } m < 0{,}5 \end{cases} $ |
| Varianz | $ \operatorname{Var}(X) = \frac{m^2 - m + 1}{18} $ |
| Standardabweichung | $ \sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(m^2 - m + 1)} $ |
Quellen
Dieser Artikel ist GlossarWiki-konform.
