Standard-Dreiecksverteilung

Achtung: Die folgenden Formeln können noch Fehler enthalten.

Eine Zufallsgröße $ X $ mit der nachfolgend definierten Dichte-Funktion $ f_X $ heißt normiert dreiecksverteilt. Sie hat folgende Eigenschaften:

Parameter	$ c \in ]0,1[ $
Dichtefunktion	$ f_X(x) := \begin{cases} 2\frac{x}{c}, & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\ 2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c < x \le 1 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases} $
Stetigkeit	$ f_X(x)\mbox{ ist stetig auf }]\infty,\infty[\! $
Träger	$ f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]0,1[ \! $
Verteilungsfunktion	$ F_X(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{wenn } x < 1\\ 0+\frac{x^2}{c} & \mbox{wenn } 1 \le x \le c \\ 1-\frac{(1-x)^2}{1-c} & \mbox{wenn } c < x \le 1 \\ 1, & \mbox{wenn } 1 < x \end{cases} $
Modus	$ c,\,f_X(c)=2\! $
Erwartungswert	$ \mu(X) = \frac{1+c}{3} $
Median	$ F_X^{-1}(0,5) = \begin{cases} 0+\frac{\sqrt{2c}}{2} & \mbox{wenn } 0{,}5 \le c\\ 1-\frac{\sqrt{2(1-c)}}{2} & \mbox{wenn } c < 0{,}5 \end{cases} $
Varianz	$ \operatorname{var}(X) = \frac{c^2 - c + 1}{18} $
Standardabweichung	$ \sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(c^2 - c + 1)} $
Schiefe	$ \frac{\sqrt 2(1-2c)(-1-c)(-1+c)}{5(c^2-c+1)^\frac{3}{2}} $ (nicht überprüft)
Wölbung	$ \frac{\mu_4(X)}{\sigma^4(X)} = \frac{12}{5} \mbox{ oder } \frac{\mu_4}{\sigma^4} -3 = \frac{12}{5} $ (nicht überprüft)
Entropie	$ h[f_X] = \frac{1}{2}+\ln\left(\frac{1}{2}\right) $ (nicht überprüft)
Momenterzeugende Funktion	$ M_X(t)=E\left(e^{tX}\right) = 2\frac{(1-c)-e^{ct}+ce^{t}}{c(1-c)t^2} $ (nicht überprüft)
Charakteristische Funktion	$ \varphi_X(t) = \operatorname{E}\left(e^{itX}\right) = -2\frac{(1-c)-e^{ict}+ce^{it}}{c(1-c)t^2} $ (nicht überprüft)