Standard-Dreiecksverteilung

Achtung: Die folgenden Formeln können noch Fehler enthalten.

Eine Zufallsgröße [math]X[/math] mit der nachfolgend definierten Dichte-Funktion [math]f_X[/math] heißt normiert dreiecksverteilt. Sie hat folgende Eigenschaften:

Parameter	[math]c \in ]0,1[,\quad m := c\![/math]
Dichtefunktion	[math] f_X(x) := \begin{cases} 2\frac{x}{c}, & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\ 2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c \lt x \le 1 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases} [/math]
Stetigkeit	[math]f_X(x)\mbox{ ist stetig auf }]\infty,\infty[\![/math]
Träger	[math]f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]0,1[ \![/math]
Verteilungsfunktion	[math] F_X(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{wenn } x \lt 1\\ 0+\frac{x^2}{c} & \mbox{wenn } 1 \le x \le c \\ 1-\frac{(1-x)^2}{1-c} & \mbox{wenn } c \lt x \le 1 \\ 1, & \mbox{wenn } 1 \lt x \end{cases} [/math]
Modus	[math]\operatorname{md}_X =\{m\},\,f_X(m)=2\![/math]
Erwartungswert	[math]\mu(X) = \frac{1+m}{3}[/math]
Median	[math] F_X^{-1}(0,5) = \begin{cases} 0+\frac{\sqrt{2m}}{2} & \mbox{wenn } 0{,}5 \le m\\ 1-\frac{\sqrt{2(1-m)}}{2} & \mbox{wenn } m \lt 0{,}5 \end{cases} [/math]
Varianz	[math]\operatorname{Var}(X) = \frac{m^2 - m + 1}{18}[/math]
Standardabweichung	[math]\sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(m^2 - m + 1)}[/math]