Standard-Dreiecksverteilung

aus GlossarWiki, der Glossar-Datenbank der Fachhochschule Augsburg
Version vom 27. Januar 2011, 17:09 Uhr von Kowa (Diskussion | Beiträge) (Eigenschaften der Standard-Dreiecksvertteilung)
Wechseln zu:Navigation, Suche

Eine stetige Zufallsgröße [math]X = D(c) := D(0,1,c)\,[/math], wobei [math]D(a,b,c)\,[/math] die Dreiecksverteilung ist, heißt standardisiert dreiecksverteilt, wenn ihre Verteilungsfunktion durch die Dichtefunktion

[math]f_X(x) = f_{D(c)} = f_{D(0,1,c)} = \begin{cases} 2\frac{x}{c} & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\ 2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c \lt x \le 1 \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} [/math]

beschrieben werden kann.

[math]c \in ]0,1[[/math] heißt Parameter der Verteilung [math]D(c)\,[/math].

[math]D(c)\,[/math] wird auch Standard-Dreiecksverteilung genannt.

1 Eigenschaften der Standard-Dreiecksvertteilung

Parameter
(vgl. Parameter der
allgemeinen
Dreiecksverteilung)
[math]c \in ]0,1[[/math]
[math]a=0, b=1, d=b-a=1, m=\frac{c-a}{d} = c[/math]
Dichtefunktion
[math] f_X(x) := \begin{cases} 2\frac{x}{c} & \mbox{wenn } 0 \le x \le c \\ 2\frac{1-x}{1-c} & \mbox{wenn } c \lt x \le 1 \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases} [/math]
Stetigkeit
[math]f_X(x)\mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[\![/math]
Träger
[math]f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]0,1[ \![/math]
Verteilungsfunktion
[math] F_X(x) = \begin{cases} 0 & \mbox{wenn } x \lt 1\\ 0+\frac{x^2}{c} & \mbox{wenn } 1 \le x \le c \\ 1-\frac{(1-x)^2}{1-c} & \mbox{wenn } c \lt x \le 1 \\ 1 & \mbox{wenn } 1 \lt x \end{cases} [/math]
Modus
[math]\operatorname{md}_X =\{c\},\,f_X(c)=2\![/math]
Erwartungswert
[math]\mu(X) = \frac{1+c}{3}[/math]
p-Quantil
[math] F_X^{-1}(p) = \begin{cases} 0+\sqrt{cp} & \mbox{wenn } 0 \le p \le c \\ 1-\sqrt{(1-c)(1-p)} & \mbox{wenn } c \lt p \le 1 \end{cases} [/math]
Median
[math] F_X^{-1}(0,5) = \begin{cases} 0+\frac{\sqrt{2c}}{2} & \mbox{wenn } 0{,}5 \le c\\ 1-\frac{\sqrt{2(1-c)}}{2} & \mbox{wenn } c \lt 0{,}5 \end{cases} [/math]
Varianz
[math]\operatorname{Var}(X) = \frac{c^2 - c + 1}{18}[/math]
Standardabweichung
[math]\sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(c^2 - c + 1)}[/math]

2 Quellen


Dieser Artikel ist GlossarWiki-konform.