https://glossar.hs-augsburg.de/w/index.php?title=Tupel/Formale_Definition&feed=atom&action=history Tupel/Formale Definition - Versionsgeschichte 2024-03-29T12:32:51Z Versionsgeschichte dieser Seite in GlossarWiki MediaWiki 1.39.4 https://glossar.hs-augsburg.de/w/index.php?title=Tupel/Formale_Definition&diff=50012&oldid=prev Kowa: /* Ursprung und Varianten der Listennotation */ 2020-09-22T12:16:28Z <p><span dir="auto"><span class="autocomment">Ursprung und Varianten der Listennotation</span></span></p> <table style="background-color: #fff; color: #202122;" data-mw="interface"> <col class="diff-marker" /> <col class="diff-content" /> <col class="diff-marker" /> <col class="diff-content" /> <tr class="diff-title" lang="de-x-formal"> <td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">← Nächstältere Version</td> <td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">Version vom 22. September 2020, 13:16 Uhr</td> </tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l192">Zeile 192:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Zeile 192:</td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;(x_1) := x_1&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;(x_1) := x_1&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Doch auch diese zusätzliche Festlegung löst die obigen Probleme nicht wirklich.</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Doch auch diese zusätzliche Festlegung löst die obigen Probleme nicht wirklich<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">, insbesondere, da ein einelementiges Tupel und sein Element nicht unterschieden werden</ins>.</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>=====Mengen- und Klassen-Positionstupel=====</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>=====Mengen- und Klassen-Positionstupel=====</div></td></tr> </table> Kowa https://glossar.hs-augsburg.de/w/index.php?title=Tupel/Formale_Definition&diff=50011&oldid=prev Kowa: /* Listennotation */ 2020-09-22T12:14:59Z <p><span dir="auto"><span class="autocomment">Listennotation</span></span></p> <table style="background-color: #fff; color: #202122;" data-mw="interface"> <col class="diff-marker" /> <col class="diff-content" /> <col class="diff-marker" /> <col class="diff-content" /> <tr class="diff-title" lang="de-x-formal"> <td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">← Nächstältere Version</td> <td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">Version vom 22. September 2020, 13:14 Uhr</td> </tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l150">Zeile 150:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Zeile 150:</td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>====Listennotation====</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>====Listennotation====</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Für Positionstupel <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">wird </del>folgende <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">abkürzende Schreibweise </del>eingeführt:</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Für Positionstupel <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">werden </ins>folgende <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">abkürzenden Schreibweisen </ins>eingeführt:</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;() := \emptyset&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;() := \emptyset&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;</div></td></tr> </table> Kowa https://glossar.hs-augsburg.de/w/index.php?title=Tupel/Formale_Definition&diff=50010&oldid=prev Kowa: /* Positionstupel (in Anlehnung an McCarthy et al.{{Quelle|McCarthy et. al. (1965)}}) */ 2020-09-22T12:14:26Z <p><span dir="auto"><span class="autocomment">Positionstupel (in Anlehnung an McCarthy et al.{{Quelle|McCarthy et. al. (1965)}})</span></span></p> <table style="background-color: #fff; color: #202122;" data-mw="interface"> <col class="diff-marker" /> <col class="diff-content" /> <col class="diff-marker" /> <col class="diff-content" /> <tr class="diff-title" lang="de-x-formal"> <td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">← Nächstältere Version</td> <td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">Version vom 22. September 2020, 13:14 Uhr</td> </tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l91">Zeile 91:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Zeile 91:</td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;\bigwedge x, t: \rm{TupV}(t) \rightarrow \rm{lg}([x,t]) := \rm{lg}(t)+1&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;\bigwedge x, t: \rm{TupV}(t) \rightarrow \rm{lg}([x,t]) := \rm{lg}(t)+1&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Ein Tupel der Länge &lt;math&gt;<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">l</del>&lt;/math&gt; heißt &#039;&#039;&#039;&lt;math&gt;<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">l</del>&lt;/math&gt;-Positionstupel&#039;&#039;&#039;.</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Ein Tupel der Länge &lt;math&gt;<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">n</ins>&lt;/math&gt; heißt &#039;&#039;&#039;&lt;math&gt;<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">n</ins>&lt;/math&gt;-Positionstupel&#039;&#039;&#039;.</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Das 0-Tupel wird auch &#039;&#039;&#039;leeres Tupel&#039;&#039;&#039; genannt.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Das 0-Tupel wird auch &#039;&#039;&#039;leeres Tupel&#039;&#039;&#039; genannt.</div></td></tr> </table> Kowa https://glossar.hs-augsburg.de/w/index.php?title=Tupel/Formale_Definition&diff=50009&oldid=prev Kowa: /* Anmerkungen zum Attributtupel) */ 2020-09-22T12:13:24Z <p><span dir="auto"><span class="autocomment">Anmerkungen zum Attributtupel)</span></span></p> <table style="background-color: #fff; color: #202122;" data-mw="interface"> <col class="diff-marker" /> <col class="diff-content" /> <col class="diff-marker" /> <col class="diff-content" /> <tr class="diff-title" lang="de-x-formal"> <td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">← Nächstältere Version</td> <td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">Version vom 22. September 2020, 13:13 Uhr</td> </tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l54">Zeile 54:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Zeile 54:</td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Schmidt verwendet die Bezeichnung „&#039;&#039;Glied&#039;&#039;“ an Stelle von „&#039;&#039;Wert&#039;&#039;“.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Schmidt verwendet die Bezeichnung „&#039;&#039;Glied&#039;&#039;“ an Stelle von „&#039;&#039;Wert&#039;&#039;“.</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Der Begriff  <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">„I</del>-Tupel“ geht auf Ebbinghaus&lt;ref name=&quot;Ebbinghaus&quot;&gt;{{Quelle|Ebbinghaus (2003)}}, S. 59–60&lt;/ref&gt; zurück.</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Der Begriff  <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">„&lt;math&gt;I&lt;/math&gt;</ins>-Tupel“ geht auf Ebbinghaus&lt;ref name=&quot;Ebbinghaus&quot;&gt;{{Quelle|Ebbinghaus (2003)}}, S. 59–60&lt;/ref&gt; zurück.</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>===Positionstupel (in Anlehnung an McCarthy et al.&lt;ref name=&quot;McCarthy (1965)&quot;&gt;{{Quelle|McCarthy et. al. (1965)}}&lt;/ref&gt;)===</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>===Positionstupel (in Anlehnung an McCarthy et al.&lt;ref name=&quot;McCarthy (1965)&quot;&gt;{{Quelle|McCarthy et. al. (1965)}}&lt;/ref&gt;)===</div></td></tr> </table> Kowa https://glossar.hs-augsburg.de/w/index.php?title=Tupel/Formale_Definition&diff=50008&oldid=prev Kowa am 22. September 2020 um 12:11 Uhr 2020-09-22T12:11:01Z <p></p> <table style="background-color: #fff; color: #202122;" data-mw="interface"> <col class="diff-marker" /> <col class="diff-content" /> <col class="diff-marker" /> <col class="diff-content" /> <tr class="diff-title" lang="de-x-formal"> <td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">← Nächstältere Version</td> <td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">Version vom 22. September 2020, 13:11 Uhr</td> </tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l73">Zeile 73:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Zeile 73:</td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;\bigwedge t: (\rm{TupV}(t)  \;\rightarrow\; \bigwedge x_1, x_2, t_1, t_2: (\rm{TupV}(t_1) \wedge \rm{TupV}(t_2) \wedge t = [x_1,t_1] \wedge t = [x_2,t_2] \,\rightarrow\, t_1=t_2 \wedge x_1=x_2))&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;\bigwedge t: (\rm{TupV}(t)  \;\rightarrow\; \bigwedge x_1, x_2, t_1, t_2: (\rm{TupV}(t_1) \wedge \rm{TupV}(t_2) \wedge t = [x_1,t_1] \wedge t = [x_2,t_2] \,\rightarrow\, t_1=t_2 \wedge x_1=x_2))&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>In einem klassenbasierten Axiomen-System (wie es <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">z.B. </del>der [[Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre]] zu Grunde liegt)</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>In einem klassenbasierten Axiomen-System (wie es <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">{{zB}} </ins>der [[Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre]] zu Grunde liegt)</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>ist diese Formel allerdings nur im Falle von [[geordnetes Paar#Mengen-.2C_Unmengen-_und_Klassenpaare|Klassenpaaren]] gültig (vgl. [[geordnetes Paar#Reihenfolge der Elemente|Abschnitt „Reihenfolge der Elemente“]] im Artikel [[geordnetes Paar]]).</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>ist diese Formel allerdings nur im Falle von [[geordnetes Paar#Mengen-.2C_Unmengen-_und_Klassenpaare|Klassenpaaren]] gültig (vgl. [[geordnetes Paar#Reihenfolge der Elemente|Abschnitt „Reihenfolge der Elemente“]] im Artikel [[geordnetes Paar]]).</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Für [[geordnetes Paar#Mengen-.2C_Unmengen-_und_Klassenpaare|Mengenpaare]] müsste sie entsprechend auf Mengen eingeschränkt werden, da</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Für [[geordnetes Paar#Mengen-.2C_Unmengen-_und_Klassenpaare|Mengenpaare]] müsste sie entsprechend auf Mengen eingeschränkt werden, da</div></td></tr> <tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l175">Zeile 175:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Zeile 175:</td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>fest, dass &lt;math&gt;\rm{NIL}&lt;/math&gt; identisch zur leeren Liste &lt;math&gt;()&lt;/math&gt; ist.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>fest, dass &lt;math&gt;\rm{NIL}&lt;/math&gt; identisch zur leeren Liste &lt;math&gt;()&lt;/math&gt; ist.</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Die Definition von McCarthy ist den Definitionen von anderen Autoren, wie <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">z.B. </del>[[Kurt Gödel|Gödel]] oder Schmidt, vorzuziehen.  </div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Die Definition von McCarthy ist den Definitionen von anderen Autoren, wie <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">{{zB}} </ins>[[Kurt Gödel|Gödel]] oder Schmidt, vorzuziehen.  </div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#039;&#039;&#039;Definition von Schmidt&lt;ref name=&quot;Schmidt&quot;/&gt; (und diversen anderen Autoren):&#039;&#039;&#039;</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#039;&#039;&#039;Definition von Schmidt&lt;ref name=&quot;Schmidt&quot;/&gt; (und diversen anderen Autoren):&#039;&#039;&#039;</div></td></tr> <tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l293">Zeile 293:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Zeile 293:</td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Ein geordnetes Paar &lt;math&gt;[a,b]&lt;/math&gt; kann, wie bereits definiert wurde, als 2-Tupel aufgefasst werden.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Ein geordnetes Paar &lt;math&gt;[a,b]&lt;/math&gt; kann, wie bereits definiert wurde, als 2-Tupel aufgefasst werden.</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Allerdings liefert die allgemeine Tupeldefinition, die <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">i.Allg. </del>auf dem geordneten Paar basiert,</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Allerdings liefert die allgemeine Tupeldefinition, die <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">{{iAllg}} </ins>auf dem geordneten Paar basiert,</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>ihrerseits ein 2-Tupel, das heißt, ein geordnetes Paar: &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt;. Da dieses Paar ebenfalls das Paaraxiom erfüllt,</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>ihrerseits ein 2-Tupel, das heißt, ein geordnetes Paar: &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt;. Da dieses Paar ebenfalls das Paaraxiom erfüllt,</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>wird das spezielle geordnete Paar  &lt;math&gt;[a,b]&lt;/math&gt; künftig nicht mehr benötigt. Es wird durch &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt; ersetzt.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>wird das spezielle geordnete Paar  &lt;math&gt;[a,b]&lt;/math&gt; künftig nicht mehr benötigt. Es wird durch &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt; ersetzt.</div></td></tr> </table> Kowa https://glossar.hs-augsburg.de/w/index.php?title=Tupel/Formale_Definition&diff=50007&oldid=prev Kowa: /* Länge eines Attributtupel */ 2020-09-22T12:10:07Z <p><span dir="auto"><span class="autocomment">Länge eines Attributtupel</span></span></p> <table style="background-color: #fff; color: #202122;" data-mw="interface"> <col class="diff-marker" /> <col class="diff-content" /> <col class="diff-marker" /> <col class="diff-content" /> <tr class="diff-title" lang="de-x-formal"> <td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">← Nächstältere Version</td> <td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">Version vom 22. September 2020, 13:10 Uhr</td> </tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l35">Zeile 35:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Zeile 35:</td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;\rm{lg}(t) := |I(t)|&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;\rm{lg}(t) := |I(t)|&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Ein Tupel der Länge &lt;math&gt;<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">l</del>&lt;/math&gt; wird auch &lt;math&gt;<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">l</del>&lt;/math&gt;-&#039;&#039;&#039;Tupel&#039;&#039;&#039; genannt.</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Ein Tupel der Länge &lt;math&gt;<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">n</ins>&lt;/math&gt; wird auch &lt;math&gt;<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">n</ins>&lt;/math&gt;-&#039;&#039;&#039;Tupel&#039;&#039;&#039; genannt.</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>====Schlüssel und Wert eines Attributtupels====</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>====Schlüssel und Wert eines Attributtupels====</div></td></tr> </table> Kowa https://glossar.hs-augsburg.de/w/index.php?title=Tupel/Formale_Definition&diff=50006&oldid=prev Kowa am 22. September 2020 um 12:07 Uhr 2020-09-22T12:07:50Z <p></p> <table style="background-color: #fff; color: #202122;" data-mw="interface"> <col class="diff-marker" /> <col class="diff-content" /> <col class="diff-marker" /> <col class="diff-content" /> <tr class="diff-title" lang="de-x-formal"> <td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">← Nächstältere Version</td> <td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">Version vom 22. September 2020, 13:07 Uhr</td> </tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l6">Zeile 6:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Zeile 6:</td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>|conformance        = 5</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>|conformance        = 5</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>}}</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>}}</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Eine informelle Definition des Begriffs [[Tupel]] wurde im [[Tupel|zugehörigen Artikel]] angegeben. Dort findet man auch einen <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">Überblck </del>über die  </div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Eine informelle Definition des Begriffs [[Tupel]] wurde im [[Tupel|zugehörigen Artikel]] angegeben. Dort findet man auch einen <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">Überblick </ins>über die  </div></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>zugehörige Geschichte einschließlich unterschiedlicher Definitionen. Im Folgenden wird der <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">tupelbegriff </del>auf Basis dieser Definitionen formalisiert.</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>zugehörige Geschichte einschließlich unterschiedlicher Definitionen. Im Folgenden wird der <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">Tupelbegriff </ins>auf Basis dieser Definitionen formalisiert.</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Dabei wird vorausgesetzt, dass der Term „[[geordnetes Paar]]“ &lt;math&gt;[x,y]&lt;/math&gt; schon definiert oder axiomatisch eingeführt wurde.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Dabei wird vorausgesetzt, dass der Term „[[geordnetes Paar]]“ &lt;math&gt;[x,y]&lt;/math&gt; schon definiert oder axiomatisch eingeführt wurde.</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr> <tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l31">Zeile 31:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Zeile 31:</td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>in diesem Fall &#039;&#039;&#039;Indexbereich&#039;&#039;&#039;. Falls es sich bei &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; um eine echte {{Menge}} und nicht um eine {{Unmenge}} handelt, kann man auch &#039;&#039;&#039;Indexmenge&#039;&#039;&#039; sagen.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>in diesem Fall &#039;&#039;&#039;Indexbereich&#039;&#039;&#039;. Falls es sich bei &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; um eine echte {{Menge}} und nicht um eine {{Unmenge}} handelt, kann man auch &#039;&#039;&#039;Indexmenge&#039;&#039;&#039; sagen.</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>====<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">Tupellänge (</del>Attributtupel<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">)</del>====</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>====<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">Länge eines </ins>Attributtupel====</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Die [[Mächtigkeit]] des Indexbereichs heißt &#039;&#039;&#039;Länge des Tupels&#039;&#039;&#039;:</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Die [[Mächtigkeit]] des Indexbereichs heißt &#039;&#039;&#039;Länge des Tupels&#039;&#039;&#039;:</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;\rm{lg}(t) := |I(t)|&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;\rm{lg}(t) := |I(t)|&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;</div></td></tr> <tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l37">Zeile 37:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Zeile 37:</td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Ein Tupel der Länge &lt;math&gt;l&lt;/math&gt; wird auch &lt;math&gt;l&lt;/math&gt;-&#039;&#039;&#039;Tupel&#039;&#039;&#039; genannt.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Ein Tupel der Länge &lt;math&gt;l&lt;/math&gt; wird auch &lt;math&gt;l&lt;/math&gt;-&#039;&#039;&#039;Tupel&#039;&#039;&#039; genannt.</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>====Schlüssel und Wert <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">(Attributtupel)</del>====</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>====Schlüssel und Wert <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">eines Attributtupels</ins>====</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Jedes Element &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; des Indexbereichs heißt &#039;&#039;&#039;Schlüssel&#039;&#039;&#039; oder &#039;&#039;&#039;Index&#039;&#039;&#039;.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Jedes Element &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; des Indexbereichs heißt &#039;&#039;&#039;Schlüssel&#039;&#039;&#039; oder &#039;&#039;&#039;Index&#039;&#039;&#039;.</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Das zum Index &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; gehörende Element &lt;math&gt;t_i := t(i)&lt;/math&gt; wird als &#039;&#039;&#039;Wert&#039;&#039;&#039; bezeichnet.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Das zum Index &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; gehörende Element &lt;math&gt;t_i := t(i)&lt;/math&gt; wird als &#039;&#039;&#039;Wert&#039;&#039;&#039; bezeichnet.</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>====Anmerkungen <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">(</del>Attributtupel)====</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>====Anmerkungen <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">zum </ins>Attributtupel)====</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Mit &lt;math&gt;\rm{Fkt}(f)&lt;/math&gt; wird ausgedrückt, dass es sich bei einer Menge oder Klasse &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; um eine Funktion handelt, dass &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; also eine Menge oder Klasse von  </div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Mit &lt;math&gt;\rm{Fkt}(f)&lt;/math&gt; wird ausgedrückt, dass es sich bei einer Menge oder Klasse &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; um eine Funktion handelt, dass &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; also eine Menge oder Klasse von  </div></td></tr> <tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l83">Zeile 83:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Zeile 83:</td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;\bigwedge t: (\rm{Mg}(t) \wedge \rm{TupV}(t)  \;\rightarrow\; \bigwedge x_1, x_2, t_1, t_2: (\rm{TupV}(t_1) \wedge \rm{TupV}(t_2) \wedge t = [x_1,t_1] \wedge t = [x_2,t_2] \,\rightarrow\, t_1=t_2 \wedge x_1=x_2 \wedge \rm{Mg}(x_1) \wedge \rm{Mg}(x_2) \wedge \rm{Mg}(t_1) \wedge \rm{Mg}(t_2) ))&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;\bigwedge t: (\rm{Mg}(t) \wedge \rm{TupV}(t)  \;\rightarrow\; \bigwedge x_1, x_2, t_1, t_2: (\rm{TupV}(t_1) \wedge \rm{TupV}(t_2) \wedge t = [x_1,t_1] \wedge t = [x_2,t_2] \,\rightarrow\, t_1=t_2 \wedge x_1=x_2 \wedge \rm{Mg}(x_1) \wedge \rm{Mg}(x_2) \wedge \rm{Mg}(t_1) \wedge \rm{Mg}(t_2) ))&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>====<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">Tupellänge (Positionstupel)</del>====</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>====<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">Länge eines Positionstupels</ins>====</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Es sei &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; ein Positionstupel: &lt;math&gt;TupV(t)&lt;/math&gt;.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Es sei &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; ein Positionstupel: &lt;math&gt;TupV(t)&lt;/math&gt;.</div></td></tr> <tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l106">Zeile 106:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Zeile 106:</td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>ebenfalls eindeutig bestimmt.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>ebenfalls eindeutig bestimmt.</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>====Indexbereich <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">(Positionstupel)</del>====</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>====Indexbereich <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">eines Positionstupels</ins>====</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Für ein Positionstupels &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; wird die &#039;&#039;&#039;Indexbereich&#039;&#039;&#039; &lt;math&gt;I(t)&lt;/math&gt; folgendermaßen definiert :</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Für ein Positionstupels &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; wird die &#039;&#039;&#039;Indexbereich&#039;&#039;&#039; &lt;math&gt;I(t)&lt;/math&gt; folgendermaßen definiert :</div></td></tr> <tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l116">Zeile 116:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Zeile 116:</td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>verwenden, müsste dann aber ein paar Anpassungen vornehmen ({{zB}} beim nachfolgenden Lemma).</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>verwenden, müsste dann aber ein paar Anpassungen vornehmen ({{zB}} beim nachfolgenden Lemma).</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>=====Lemma: Länge <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">des Tupels</del>=====</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>=====Lemma: Länge <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">eines Positionsupels</ins>=====</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Die Länge eines Positionstupels &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; ist gleich der Mächtigkeit des Indexbereichs: &lt;math&gt;\rm{lg}(t) = |I(t)|&lt;/math&gt;</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Die Länge eines Positionstupels &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; ist gleich der Mächtigkeit des Indexbereichs: &lt;math&gt;\rm{lg}(t) = |I(t)|&lt;/math&gt;</div></td></tr> <tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l123">Zeile 123:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Zeile 123:</td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;|I(t)| = |\{i \in \mathbb{N}: 0 &lt; i \le \rm{lg}(t)\}| = \rm{lg}(t)&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;|I(t)| = |\{i \in \mathbb{N}: 0 &lt; i \le \rm{lg}(t)\}| = \rm{lg}(t)&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>====Schlüssel und Wert <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">(Positionstupel)</del>====</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>====Schlüssel und Wert <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">eines Positionstupels</ins>====</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Es seien &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; ein nicht-leeres Positionstupel und &lt;math&gt;I := I(t)&lt;/math&gt; der zugehörige Indexbereich.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Es seien &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; ein nicht-leeres Positionstupel und &lt;math&gt;I := I(t)&lt;/math&gt; der zugehörige Indexbereich.</div></td></tr> <tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l160">Zeile 160:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Zeile 160:</td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;(x_1,\ldots,x_n) :=  [(x_1,\ldots,x_{n-1}), x_n] = [[[\ldots[\emptyset,x_1]\ldots], x_{n-1}], x_n]&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;(x_1,\ldots,x_n) :=  [(x_1,\ldots,x_{n-1}), x_n] = [[[\ldots[\emptyset,x_1]\ldots], x_{n-1}], x_n]&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>====Anmerkungen <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">(</del>Positionstupel<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">)</del>====</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>====Anmerkungen <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">zum </ins>Positionstupel====</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>=====Ursprung und Varianten der Listennotation=====</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>=====Ursprung und Varianten der Listennotation=====</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Die obige Definition der Listennotation geht auf McCarthy zurück (wobei er die Liste allerdings vom letzten Element ausgehend aufbaut):</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Die obige Definition der Listennotation geht auf McCarthy zurück (wobei er die Liste allerdings vom letzten Element ausgehend aufbaut):</div></td></tr> <tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l171">Zeile 171:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Zeile 171:</td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>In seinen ursprünglichen Publikationen wie auch im Benutzerhandbuch von LISP I&lt;ref&gt;{{Quelle|McCarthy et. al. (1960)}}, S. 11&lt;/ref&gt;</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>In seinen ursprünglichen Publikationen wie auch im Benutzerhandbuch von LISP I&lt;ref&gt;{{Quelle|McCarthy et. al. (1960)}}, S. 11&lt;/ref&gt;</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>bezeichnet McCarthy &lt;math&gt;\rm{NIL}&lt;/math&gt; lediglich als „atomares Symbol“, welches benutzt wird, um Listen zu terminieren. Erst im <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">Beutzerhandbuch </del>von  </div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>bezeichnet McCarthy &lt;math&gt;\rm{NIL}&lt;/math&gt; lediglich als „atomares Symbol“, welches benutzt wird, um Listen zu terminieren. Erst im <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">Benutzerhandbuch </ins>von  </div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>LISP 1.5&lt;ref name=&quot;McCarthy (1965)&quot; /&gt; legt er zusätzlich</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>LISP 1.5&lt;ref name=&quot;McCarthy (1965)&quot; /&gt; legt er zusätzlich</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>fest, dass &lt;math&gt;\rm{NIL}&lt;/math&gt; identisch zur leeren Liste &lt;math&gt;()&lt;/math&gt; ist.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>fest, dass &lt;math&gt;\rm{NIL}&lt;/math&gt; identisch zur leeren Liste &lt;math&gt;()&lt;/math&gt; ist.</div></td></tr> <tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l194">Zeile 194:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Zeile 194:</td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Doch auch diese zusätzliche Festlegung löst die obigen Probleme nicht wirklich.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Doch auch diese zusätzliche Festlegung löst die obigen Probleme nicht wirklich.</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>=====<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">Mengentupel </del>und <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">Klassentupel (</del>Positionstupel<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">)</del>=====</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>=====<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">Mengen- </ins>und <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">Klassen-</ins>Positionstupel=====</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>In einer klassenbasierten Mengenlehre erhält man mit Hilfe der obigen Definition so  genannte &#039;&#039;&#039;Klassentupel&#039;&#039;&#039;,  </div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>In einer klassenbasierten Mengenlehre erhält man mit Hilfe der obigen Definition so  genannte &#039;&#039;&#039;Klassentupel&#039;&#039;&#039;,  </div></td></tr> <tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l228">Zeile 228:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Zeile 228:</td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Die zugehörigen Induktionsbeweise müssen in diesem Fall außerhalb des Axiomensystems der Mengenlehre auf geführt werden,</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Die zugehörigen Induktionsbeweise müssen in diesem Fall außerhalb des Axiomensystems der Mengenlehre auf geführt werden,</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>also beispielsweise mit Hilfe der [[Metasprache]], die zur Definition des formalen System verwendet wurde.  </div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>also beispielsweise mit Hilfe der [[Metasprache]], die zur Definition des formalen System verwendet wurde.  </div></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Man beachte, dass die obigen Beweise <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">genaugenommen </del>sogar innerhalb der [[Metasprache#Metametasprache|Metametasprache]] „Deutsch“ geführt wurden.</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Man beachte, dass die obigen Beweise <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">genau genommen </ins>sogar innerhalb der [[Metasprache#Metametasprache|Metametasprache]] „Deutsch“ geführt wurden.</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Das Problem ist, dass man, obwohl man eine Arithmetik der natürlichen Zahlen formal mit Hilfe der Mengenlehre-Axiome  </div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Das Problem ist, dass man, obwohl man eine Arithmetik der natürlichen Zahlen formal mit Hilfe der Mengenlehre-Axiome  </div></td></tr> </table> Kowa https://glossar.hs-augsburg.de/w/index.php?title=Tupel/Formale_Definition&diff=48652&oldid=prev Kowa am 17. August 2019 um 17:10 Uhr 2019-08-17T17:10:10Z <p></p> <table style="background-color: #fff; color: #202122;" data-mw="interface"> <col class="diff-marker" /> <col class="diff-content" /> <col class="diff-marker" /> <col class="diff-content" /> <tr class="diff-title" lang="de-x-formal"> <td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">← Nächstältere Version</td> <td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">Version vom 17. August 2019, 18:10 Uhr</td> </tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l56">Zeile 56:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Zeile 56:</td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Der Begriff  „I-Tupel“ geht auf Ebbinghaus&lt;ref name=&quot;Ebbinghaus&quot;&gt;{{Quelle|Ebbinghaus (2003)}}, S. 59–60&lt;/ref&gt; zurück.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Der Begriff  „I-Tupel“ geht auf Ebbinghaus&lt;ref name=&quot;Ebbinghaus&quot;&gt;{{Quelle|Ebbinghaus (2003)}}, S. 59–60&lt;/ref&gt; zurück.</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>===Positionstupel (in Anlehnung an McCarthy et al.&lt;ref name=&quot;McCarthy (1965)&quot;&gt;{{Quelle|McCarthy<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">, J. </del>et. al. (1965)<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">: LISP 1.5 Programmer&#039;s Manual</del>}}&lt;/ref&gt;)===</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>===Positionstupel (in Anlehnung an McCarthy et al.&lt;ref name=&quot;McCarthy (1965)&quot;&gt;{{Quelle|McCarthy et. al. (1965)}}&lt;/ref&gt;)===</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Der Begriff des [[geordnetes Paar|geordneten Paars]] kann induktiv für eine beliebige endliche Anzahl von Elementen verallgemeinert werden:</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Der Begriff des [[geordnetes Paar|geordneten Paars]] kann induktiv für eine beliebige endliche Anzahl von Elementen verallgemeinert werden:</div></td></tr> <tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l164">Zeile 164:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Zeile 164:</td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Die obige Definition der Listennotation geht auf McCarthy zurück (wobei er die Liste allerdings vom letzten Element ausgehend aufbaut):</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Die obige Definition der Listennotation geht auf McCarthy zurück (wobei er die Liste allerdings vom letzten Element ausgehend aufbaut):</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>{{Quote|The list &lt;math&gt;(m_1,m_2,···,m_n)&lt;/math&gt; is represented by the S-expression &lt;math&gt;(m_1·(m_2·(···(m_n·\rm{NIL})···)))&lt;/math&gt;.&lt;br/&gt;</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>{{Quote|The list &lt;math&gt;(m_1,m_2,···,m_n)&lt;/math&gt; is represented by the S-expression &lt;math&gt;(m_1·(m_2·(···(m_n·\rm{NIL})···)))&lt;/math&gt;.&lt;br/&gt;</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Here &lt;math&gt;\rm{NIL}&lt;/math&gt; is an atomic symbol used to terminate lists.&lt;ref&gt;{{Quelle|McCarthy<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">, J. </del>(1960)<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">: Recursive Functions of Symbolic Expressions and Their Computation by Machine</del>}}&lt;/ref&gt;}}</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Here &lt;math&gt;\rm{NIL}&lt;/math&gt; is an atomic symbol used to terminate lists.&lt;ref&gt;{{Quelle|McCarthy (1960)}}&lt;/ref&gt;}}</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>McCarthy definiert eine [[LISP]]-Liste als abkürzende Schreibweise für eine Folge von &lt;math&gt;cons&lt;/math&gt;-Zellen, d.h. als Folge von LISP-Paaren &lt;math&gt;(a \cdot b)&lt;/math&gt;.  </div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>McCarthy definiert eine [[LISP]]-Liste als abkürzende Schreibweise für eine Folge von &lt;math&gt;cons&lt;/math&gt;-Zellen, d.h. als Folge von LISP-Paaren &lt;math&gt;(a \cdot b)&lt;/math&gt;.  </div></td></tr> <tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l170">Zeile 170:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Zeile 170:</td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Die letzte &lt;math&gt;cons&lt;/math&gt;-Zelle enthält keinen Verweis, sondern die LISP-Konstante &lt;math&gt;\rm{NIL}&lt;/math&gt;.  </div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Die letzte &lt;math&gt;cons&lt;/math&gt;-Zelle enthält keinen Verweis, sondern die LISP-Konstante &lt;math&gt;\rm{NIL}&lt;/math&gt;.  </div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>In seinen ursprünglichen Publikationen wie auch im Benutzerhandbuch von LISP I&lt;ref&gt;{{Quelle|McCarthy<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">, J. </del>et. al. (1960)<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">: LISP I Programmer&#039;s Manual</del>}}, S. 11&lt;/ref&gt;</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>In seinen ursprünglichen Publikationen wie auch im Benutzerhandbuch von LISP I&lt;ref&gt;{{Quelle|McCarthy et. al. (1960)}}, S. 11&lt;/ref&gt;</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>bezeichnet McCarthy &lt;math&gt;\rm{NIL}&lt;/math&gt; lediglich als „atomares Symbol“, welches benutzt wird, um Listen zu terminieren. Erst im Beutzerhandbuch von  </div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>bezeichnet McCarthy &lt;math&gt;\rm{NIL}&lt;/math&gt; lediglich als „atomares Symbol“, welches benutzt wird, um Listen zu terminieren. Erst im Beutzerhandbuch von  </div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>LISP 1.5&lt;ref name=&quot;McCarthy (1965)&quot; /&gt; legt er zusätzlich</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>LISP 1.5&lt;ref name=&quot;McCarthy (1965)&quot; /&gt; legt er zusätzlich</div></td></tr> </table> Kowa https://glossar.hs-augsburg.de/w/index.php?title=Tupel/Formale_Definition&diff=48644&oldid=prev Kowa am 17. August 2019 um 11:44 Uhr 2019-08-17T11:44:41Z <p></p> <table style="background-color: #fff; color: #202122;" data-mw="interface"> <col class="diff-marker" /> <col class="diff-content" /> <col class="diff-marker" /> <col class="diff-content" /> <tr class="diff-title" lang="de-x-formal"> <td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">← Nächstältere Version</td> <td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">Version vom 17. August 2019, 12:44 Uhr</td> </tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l27">Zeile 27:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Zeile 27:</td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;\rm{TupA}(t) :\leftrightarrow \rm{Fkt}(t)&lt;/math&gt; (siehe [[Funktion (Mathematik)|Funktion]])&lt;/div&gt;</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;\rm{TupA}(t) :\leftrightarrow \rm{Fkt}(t)&lt;/math&gt; (siehe [[Funktion (Mathematik)|Funktion]])&lt;/div&gt;</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>====Indexbereich und Indexmenge <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">(Attributtupel)</del>====</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>====Indexbereich und Indexmenge====</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Die Definitionsmenge &lt;math&gt;I := I(t) = \rm{Def}(f) := \{x| \bigvee y: [x,y] \in t\}&lt;/math&gt; der Funktion &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; heißt</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Die Definitionsmenge &lt;math&gt;I := I(t) = \rm{Def}(f) := \{x| \bigvee y: [x,y] \in t\}&lt;/math&gt; der Funktion &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; heißt</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>in diesem Fall &#039;&#039;&#039;Indexbereich&#039;&#039;&#039; <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">oder, falls </del>es sich bei &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; um eine echte {{Menge}} und nicht um eine {{Unmenge}} handelt, &#039;&#039;&#039;Indexmenge&#039;&#039;&#039;.</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>in diesem Fall &#039;&#039;&#039;Indexbereich&#039;&#039;&#039;<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">. Falls </ins>es sich bei &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; um eine echte {{Menge}} und nicht um eine {{Unmenge}} handelt, <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">kann man auch </ins>&#039;&#039;&#039;Indexmenge&#039;&#039;&#039; <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">sagen</ins>.</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>====Tupellänge (Attributtupel)====</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>====Tupellänge (Attributtupel)====</div></td></tr> <tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l106">Zeile 106:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Zeile 106:</td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>ebenfalls eindeutig bestimmt.</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>ebenfalls eindeutig bestimmt.</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>====<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">Indexmenge </del>(Positionstupel)====</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>====<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">Indexbereich </ins>(Positionstupel)====</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Für ein Positionstupels &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; wird die &#039;&#039;&#039;<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">Indexmenge</del>&#039;&#039;&#039; &lt;math&gt;I(t)&lt;/math&gt; folgendermaßen definiert :</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Für ein Positionstupels &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; wird die &#039;&#039;&#039;<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">Indexbereich</ins>&#039;&#039;&#039; &lt;math&gt;I(t)&lt;/math&gt; folgendermaßen definiert :</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;I(t) := \{i \in \mathbb{N}: 0 &lt; i \le \rm{lg}(t)\}&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;I(t) := \{i \in \mathbb{N}: 0 &lt; i \le \rm{lg}(t)\}&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr> <tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l118">Zeile 118:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Zeile 118:</td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>=====Lemma: Länge des Tupels=====</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>=====Lemma: Länge des Tupels=====</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Die Länge eines Positionstupels &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; ist gleich der Mächtigkeit <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">der Indexmenge</del>: &lt;math&gt;\rm{lg}(t) = |I(t)|&lt;/math&gt;</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Die Länge eines Positionstupels &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; ist gleich der Mächtigkeit <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">des Indexbereichs</ins>: &lt;math&gt;\rm{lg}(t) = |I(t)|&lt;/math&gt;</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#039;&#039;&#039;Beweis&#039;&#039;&#039;</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&#039;&#039;&#039;Beweis&#039;&#039;&#039;</div></td></tr> <tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l125">Zeile 125:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Zeile 125:</td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>====Schlüssel und Wert (Positionstupel)====</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>====Schlüssel und Wert (Positionstupel)====</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Es seien &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; ein nicht-leeres Positionstupel und &lt;math&gt;I := I(t)&lt;/math&gt; <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">die </del>zugehörige <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">Indexmenge</del>.</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Es seien &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; ein nicht-leeres Positionstupel und &lt;math&gt;I := I(t)&lt;/math&gt; <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">der </ins>zugehörige <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">Indexbereich</ins>.</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Die Elemente &lt;math&gt;i\in I&lt;/math&gt; <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">der Indexmenge </del>heißen &#039;&#039;&#039;Schlüssel&#039;&#039;&#039;.  </div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Die Elemente &lt;math&gt;i\in I&lt;/math&gt; <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">des Indexbereichs </ins>heißen &#039;&#039;&#039;Schlüssel&#039;&#039;&#039;.  </div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Jedem Schlüssel &lt;math&gt;i\in I&lt;/math&gt; wird durch das</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Jedem Schlüssel &lt;math&gt;i\in I&lt;/math&gt; wird durch das</div></td></tr> <tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l318">Zeile 318:</td> <td colspan="2" class="diff-lineno">Zeile 318:</td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Es seien &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; zwei Tupel (in Attribut- oder Listennotation).</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Es seien &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; zwei Tupel (in Attribut- oder Listennotation).</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; sind genau dann gleich, wenn die zugehörigen <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">Indexmengen </del>&lt;math&gt;I(t_1)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;I(t_2)&lt;/math&gt; übereinstimmen und wenn die Funktionswerte</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; sind genau dann gleich, wenn die zugehörigen <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">Indexbereiche </ins>&lt;math&gt;I(t_1)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;I(t_2)&lt;/math&gt; übereinstimmen und wenn die Funktionswerte</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>für jedes Element <del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">der Indexmenge </del>ebenfalls übereinstimmen:  </div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>für jedes Element <ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">des Indexbereichs </ins>ebenfalls übereinstimmen:  </div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;t_1 = t_2 \Leftrightarrow I(t_1) = I(t_2) \wedge \bigwedge i \in I(t_1): t_1(i) = t_2(i)&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>&lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;t_1 = t_2 \Leftrightarrow I(t_1) = I(t_2) \wedge \bigwedge i \in I(t_1): t_1(i) = t_2(i)&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;</div></td></tr> <tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr> </table> Kowa https://glossar.hs-augsburg.de/w/index.php?title=Tupel/Formale_Definition&diff=48634&oldid=prev Kowa: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Qualität |correctness = 3 |extent = 4 |numberOfReferences = 5 |qualityOfReferences = 5 |conformance = 5 }} Eine informelle Def…“ 2019-08-17T11:17:12Z <p>Die Seite wurde neu angelegt: „{{Qualität |correctness = 3 |extent = 4 |numberOfReferences = 5 |qualityOfReferences = 5 |conformance = 5 }} Eine informelle Def…“</p> <p><b>Neue Seite</b></p><div>{{Qualität<br /> |correctness = 3<br /> |extent = 4<br /> |numberOfReferences = 5<br /> |qualityOfReferences = 5<br /> |conformance = 5<br /> }}<br /> Eine informelle Definition des Begriffs [[Tupel]] wurde im [[Tupel|zugehörigen Artikel]] angegeben. Dort findet man auch einen Überblck über die <br /> zugehörige Geschichte einschließlich unterschiedlicher Definitionen. Im Folgenden wird der tupelbegriff auf Basis dieser Definitionen formalisiert.<br /> Dabei wird vorausgesetzt, dass der Term „[[geordnetes Paar]]“ &lt;math&gt;[x,y]&lt;/math&gt; schon definiert oder axiomatisch eingeführt wurde.<br /> <br /> Man beachte, dass sich das geordnete Paar &lt;math&gt;[x,y]&lt;/math&gt; vom Tupel &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; (in Listennotation) unterscheidet, sofern <br /> Letzteres mit Hilfe von &lt;math&gt;[x,y]&lt;/math&gt; definiert wird.<br /> Allerdings erfüllt &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; (nachdem es definiert wurde) ebenfalls das [[Paaraxiom]] und kann überall, wo ein geordnetes Paar benötigt wird, genauso gut wie &lt;math&gt;[x,y]&lt;/math&gt;<br /> verwendet werden. In [[LISP]] sieht man den Unterschied sehr schön: Die „Cons-Zelle“ &lt;code&gt;(x . y)&lt;/code&gt; unterscheidet sich von der Liste<br /> &lt;code&gt;(x y)&lt;/code&gt;, die als Abkürzung für &lt;code&gt;(x . (y . NIL))&lt;/code&gt; steht. Beide Definitionen erfüllen jedoch das Paaraxiom.<br /> <br /> ==Definition ([[Wolfgang Kowarschick|Kowarschick]])==<br /> ===Attributtupel, Familie (in Anlehnung an Bourbaki&lt;ref&gt;{{Quelle|Bourbaki (1939)}}, S. E III.45&lt;/ref&gt; und Schmidt&lt;ref name=&quot;Schmidt&quot;&gt;{{Quelle|Schmidt (1966)}}, S. 122&lt;/ref&gt;)===<br /> <br /> Es sei &lt;math&gt;t: I \rightarrow \mathcal{V}&lt;/math&gt; eine beliebige [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] von einer {{Menge}} oder {{Klasse}} &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; in die [[Allklasse]] &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;: <br /> {{Formel|t \subseteq I \times \mathcal{V} \,\wedge\, \bigwedge x, y_1, y_2: [x,y_1] \in f \wedge [x,y_2] \in f \rightarrow y_1{{=}}y_2}}<br /> <br /> &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; wird nicht nur &#039;&#039;&#039;Funktion&#039;&#039;&#039; genannt, sondern, insbesondere wenn man sich mehr für den Definitionsbereich als für die Funktion selbst interessiert, <br /> auch &#039;&#039;&#039;(Attribut-)Tupel&#039;&#039;&#039; oder &#039;&#039;&#039;Familie über &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;&#039;&#039;&#039;. Alternativ kann man auch &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;&#039;&#039;&#039;-Tupel&#039;&#039;&#039; oder &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;&#039;&#039;&#039;-Familie&#039;&#039;&#039; sagen.<br /> <br /> &lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;\rm{TupA}(t) :\leftrightarrow \rm{Fkt}(t)&lt;/math&gt; (siehe [[Funktion (Mathematik)|Funktion]])&lt;/div&gt;<br /> <br /> ====Indexbereich und Indexmenge (Attributtupel)====<br /> Die Definitionsmenge &lt;math&gt;I := I(t) = \rm{Def}(f) := \{x| \bigvee y: [x,y] \in t\}&lt;/math&gt; der Funktion &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; heißt<br /> in diesem Fall &#039;&#039;&#039;Indexbereich&#039;&#039;&#039; oder, falls es sich bei &lt;math&gt;I&lt;/math&gt; um eine echte {{Menge}} und nicht um eine {{Unmenge}} handelt, &#039;&#039;&#039;Indexmenge&#039;&#039;&#039;.<br /> <br /> ====Tupellänge (Attributtupel)====<br /> Die [[Mächtigkeit]] des Indexbereichs heißt &#039;&#039;&#039;Länge des Tupels&#039;&#039;&#039;:<br /> &lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;\rm{lg}(t) := |I(t)|&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;<br /> <br /> Ein Tupel der Länge &lt;math&gt;l&lt;/math&gt; wird auch &lt;math&gt;l&lt;/math&gt;-&#039;&#039;&#039;Tupel&#039;&#039;&#039; genannt.<br /> <br /> ====Schlüssel und Wert (Attributtupel)====<br /> Jedes Element &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; des Indexbereichs heißt &#039;&#039;&#039;Schlüssel&#039;&#039;&#039; oder &#039;&#039;&#039;Index&#039;&#039;&#039;.<br /> <br /> Das zum Index &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; gehörende Element &lt;math&gt;t_i := t(i)&lt;/math&gt; wird als &#039;&#039;&#039;Wert&#039;&#039;&#039; bezeichnet.<br /> <br /> ====Anmerkungen (Attributtupel)====<br /> <br /> Mit &lt;math&gt;\rm{Fkt}(f)&lt;/math&gt; wird ausgedrückt, dass es sich bei einer Menge oder Klasse &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; um eine Funktion handelt, dass &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; also eine Menge oder Klasse von <br /> [[geordnetes Paar|geordneten Paaren]] ist, die die Eindeutigkeitsbedingung <br /> <br /> {{Formel|\bigwedge x, y_1, y_2: [x,y_1] \in f \wedge [x,y_2] \in f \rightarrow y_1{{=}}y_2}}<br /> erfüllt.<br /> <br /> Mit &lt;math&gt;\rm{TupA}(t)&lt;/math&gt; wird ausgedrückt, dass es sich bei &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; um ein Attributtupel handelt.<br /> <br /> Schmidt verwendet die Bezeichnung „&#039;&#039;Glied&#039;&#039;“ an Stelle von „&#039;&#039;Wert&#039;&#039;“.<br /> <br /> Der Begriff „I-Tupel“ geht auf Ebbinghaus&lt;ref name=&quot;Ebbinghaus&quot;&gt;{{Quelle|Ebbinghaus (2003)}}, S. 59–60&lt;/ref&gt; zurück.<br /> <br /> ===Positionstupel (in Anlehnung an McCarthy et al.&lt;ref name=&quot;McCarthy (1965)&quot;&gt;{{Quelle|McCarthy, J. et. al. (1965): LISP 1.5 Programmer&#039;s Manual}}&lt;/ref&gt;)===<br /> <br /> Der Begriff des [[geordnetes Paar|geordneten Paars]] kann induktiv für eine beliebige endliche Anzahl von Elementen verallgemeinert werden:<br /> <br /> Eine Menge oder Klasse &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; heißt &#039;&#039;&#039;(Positions-)Tupel&#039;&#039;&#039; – in Zeichen &lt;math&gt;\rm{TupV}(t)&lt;/math&gt; – wenn entweder &lt;math&gt;t=\emptyset&lt;/math&gt; gilt<br /> oder wenn &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; ein [[geordnetes Paar]] &lt;math&gt;[x,t]&lt;/math&gt; ist, dessen erstes Element beliebig und dessen zweites Element ein Tupel ist:<br /> <br /> &lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;\rm{TupV}(\emptyset)&lt;/math&gt; &lt;/div&gt;<br /> &lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;\bigwedge x, t: \rm{TupV}(t) \rightarrow \rm{TupV}([x,t])&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;<br /> <br /> Andere Positionstupel gibt es nicht.<br /> Das heißt, für jedes Tupel &lt;math&gt;t \not= \emptyset&lt;/math&gt; gibt es ein Element &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; &lt;br /&gt;und ein Tupel &lt;math&gt;t&#039;&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;t = [x,t&#039;]&lt;/math&gt;:<br /> &lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;\bigwedge t: (\rm{TupV}(t) \wedge t \not= \emptyset \rightarrow \bigvee x, t&#039;: (\rm{TupV}(t&#039;) \wedge t = [x,t&#039;]))&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;<br /> <br /> Das Tupel &lt;math&gt;t&#039;&lt;/math&gt; ist wegen des [[geordnetes Paar#Definition_.28Kowarschick.29|Paaraxioms]] sogar eindeutig bestimmt:<br /> &lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;\bigwedge t: (\rm{TupV}(t) \;\rightarrow\; \bigwedge x_1, x_2, t_1, t_2: (\rm{TupV}(t_1) \wedge \rm{TupV}(t_2) \wedge t = [x_1,t_1] \wedge t = [x_2,t_2] \,\rightarrow\, t_1=t_2 \wedge x_1=x_2))&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;<br /> <br /> In einem klassenbasierten Axiomen-System (wie es z.B. der [[Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre]] zu Grunde liegt)<br /> ist diese Formel allerdings nur im Falle von [[geordnetes Paar#Mengen-.2C_Unmengen-_und_Klassenpaare|Klassenpaaren]] gültig (vgl. [[geordnetes Paar#Reihenfolge der Elemente|Abschnitt „Reihenfolge der Elemente“]] im Artikel [[geordnetes Paar]]).<br /> Für [[geordnetes Paar#Mengen-.2C_Unmengen-_und_Klassenpaare|Mengenpaare]] müsste sie entsprechend auf Mengen eingeschränkt werden, da<br /> Mengenpaare keine Klassen enthalten können: <br /> <br /> &lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;\bigwedge a,b: (\rm{UMg}(a) \vee \rm{UMg}(b)) \leftrightarrow (a,b) = \mathcal{V}&lt;/math&gt; &lt;/div&gt;<br /> <br /> In diesem Fall gilt nur:<br /> &lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;\bigwedge t: (\rm{Mg}(t) \wedge \rm{TupV}(t) \;\rightarrow\; \bigwedge x_1, x_2, t_1, t_2: (\rm{TupV}(t_1) \wedge \rm{TupV}(t_2) \wedge t = [x_1,t_1] \wedge t = [x_2,t_2] \,\rightarrow\, t_1=t_2 \wedge x_1=x_2 \wedge \rm{Mg}(x_1) \wedge \rm{Mg}(x_2) \wedge \rm{Mg}(t_1) \wedge \rm{Mg}(t_2) ))&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;<br /> <br /> ====Tupellänge (Positionstupel)====<br /> <br /> Es sei &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; ein Positionstupel: &lt;math&gt;TupV(t)&lt;/math&gt;.<br /> Die Länge &lt;math&gt;\rm{lg}(t)&lt;/math&gt; von &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; wird ebenfalls induktiv definiert:<br /> <br /> &lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;\rm{lg}(\emptyset) := 0&lt;/math&gt; &lt;/div&gt;<br /> &lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;\bigwedge x, t: \rm{TupV}(t) \rightarrow \rm{lg}([x,t]) := \rm{lg}(t)+1&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;<br /> <br /> Ein Tupel der Länge &lt;math&gt;l&lt;/math&gt; heißt &#039;&#039;&#039;&lt;math&gt;l&lt;/math&gt;-Positionstupel&#039;&#039;&#039;.<br /> <br /> Das 0-Tupel wird auch &#039;&#039;&#039;leeres Tupel&#039;&#039;&#039; genannt.<br /> <br /> =====Lemma: Eindeutigkeit der Länge eines Positionstupels=====<br /> <br /> Die Länge eines Positionstupels ist eindeutig bestimmt.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Beweis&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> Das leere Tupel ist das einzige Tupel der Länge &lt;math&gt;0&lt;/math&gt;.<br /> Für jedes andere Tupel &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; existiert genau ein Element &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; und ein Tupel &lt;math&gt;t&#039;&lt;/math&gt;, für die &lt;math&gt;t=[x,t&#039;]&lt;/math&gt; gilt.<br /> Für &lt;math&gt;t&#039;&lt;/math&gt; ist die Länge laut Induktionsvoraussetzung eindeutig bestimmt und damit ist die Länge &lt;math&gt;\rm{lg}(t) = \rm{lg}(t&#039;)+1&lt;/math&gt;<br /> ebenfalls eindeutig bestimmt.<br /> <br /> ====Indexmenge (Positionstupel)====<br /> <br /> Für ein Positionstupels &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; wird die &#039;&#039;&#039;Indexmenge&#039;&#039;&#039; &lt;math&gt;I(t)&lt;/math&gt; folgendermaßen definiert :<br /> &lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;I(t) := \{i \in \mathbb{N}: 0 &lt; i \le \rm{lg}(t)\}&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Anmerkung&#039;&#039;&#039;&lt;br/&gt;<br /> Die Zählung der Attribute beginnt laut dieser Definition bei &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; und endet bei &lt;math&gt;\rm{lg}(t)&lt;/math&gt;. <br /> Man könnte ohne Probleme auch die in der Informatik übliche Zählung von &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; bis&lt;math&gt;\rm{lg}(t)-1&lt;/math&gt; <br /> verwenden, müsste dann aber ein paar Anpassungen vornehmen ({{zB}} beim nachfolgenden Lemma).<br /> <br /> =====Lemma: Länge des Tupels=====<br /> <br /> Die Länge eines Positionstupels &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; ist gleich der Mächtigkeit der Indexmenge: &lt;math&gt;\rm{lg}(t) = |I(t)|&lt;/math&gt;<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Beweis&#039;&#039;&#039;<br /> &lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;|I(t)| = |\{i \in \mathbb{N}: 0 &lt; i \le \rm{lg}(t)\}| = \rm{lg}(t)&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;<br /> <br /> ====Schlüssel und Wert (Positionstupel)====<br /> <br /> Es seien &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; ein nicht-leeres Positionstupel und &lt;math&gt;I := I(t)&lt;/math&gt; die zugehörige Indexmenge.<br /> Die Elemente &lt;math&gt;i\in I&lt;/math&gt; der Indexmenge heißen &#039;&#039;&#039;Schlüssel&#039;&#039;&#039;. <br /> <br /> Jedem Schlüssel &lt;math&gt;i\in I&lt;/math&gt; wird durch das<br /> Tupel &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; ein eindeutiger &#039;&#039;&#039;Wert&#039;&#039;&#039; &lt;math&gt;t_i&lt;/math&gt; zugeordnet. &lt;math&gt;t_i&lt;/math&gt; wird wieder induktiv definiert:<br /> <br /> Da laut Voraussetzung &lt;math&gt;t \not= \emptyset&lt;/math&gt; gilt, gibt es zwei (eindeutige) Elemente<br /> &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t&#039;&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;\rm{TupV}(t&#039;)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t=[x,t&#039;]&lt;/math&gt;. <br /> &lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;t_i := <br /> \begin{cases} <br /> x &amp; \mbox{wenn } i = 1\\ <br /> t&#039;_{i-1} &amp; \mbox{wenn } i &gt; 1<br /> \end{cases}<br /> &lt;/math&gt;&lt;/div&gt;<br /> <br /> Man beachte, dass aus &lt;math&gt;i\in I&lt;/math&gt; stets &lt;math&gt;0 &lt; i &lt; \rm{lg}(t)&lt;/math&gt; folgt.<br /> Diese [[Invariante]] bleibt im rekursiven Zweig der Definition<br /> erhalten: &lt;math&gt;i&gt;1 \rightarrow 0 &lt; i-1 &lt; \rm{lg}(t)-1 = \rm{lg}(t&#039;)&lt;/math&gt;.<br /> Das heißt, es gilt auch hier &lt;math&gt;i-1 \in I(t&#039;)&lt;/math&gt;.<br /> <br /> Für &lt;math&gt;i\notin I&lt;/math&gt; ist &lt;math&gt;t_i&lt;/math&gt; nicht definiert. Man kann in diesem Fall allerdings<br /> &lt;math&gt;t_i := \mathcal{V}&lt;/math&gt; setzen, um &lt;math&gt;t_i&lt;/math&gt; für jede beliebige Klasse &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; zu definieren.<br /> <br /> ====Listennotation====<br /> <br /> Für Positionstupel wird folgende abkürzende Schreibweise eingeführt:<br /> <br /> &lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;() := \emptyset&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;<br /> &lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;(x_1) := [\emptyset, x_1]&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;<br /> &lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;(x_1,x_2) := [[\emptyset, x_1], x_2]&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;<br /> &lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;(x_1,x_2,x_3) := [[[\emptyset, x_1], x_2], x_3]&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;<br /> <br /> Allgemein für &lt;math&gt;n \ge 2&lt;/math&gt;:<br /> &lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;(x_1,\ldots,x_n) := [(x_1,\ldots,x_{n-1}), x_n] = [[[\ldots[\emptyset,x_1]\ldots], x_{n-1}], x_n]&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;<br /> <br /> ====Anmerkungen (Positionstupel)====<br /> =====Ursprung und Varianten der Listennotation=====<br /> Die obige Definition der Listennotation geht auf McCarthy zurück (wobei er die Liste allerdings vom letzten Element ausgehend aufbaut):<br /> {{Quote|The list &lt;math&gt;(m_1,m_2,···,m_n)&lt;/math&gt; is represented by the S-expression &lt;math&gt;(m_1·(m_2·(···(m_n·\rm{NIL})···)))&lt;/math&gt;.&lt;br/&gt;<br /> Here &lt;math&gt;\rm{NIL}&lt;/math&gt; is an atomic symbol used to terminate lists.&lt;ref&gt;{{Quelle|McCarthy, J. (1960): Recursive Functions of Symbolic Expressions and Their Computation by Machine}}&lt;/ref&gt;}}<br /> <br /> McCarthy definiert eine [[LISP]]-Liste als abkürzende Schreibweise für eine Folge von &lt;math&gt;cons&lt;/math&gt;-Zellen, d.h. als Folge von LISP-Paaren &lt;math&gt;(a \cdot b)&lt;/math&gt;. <br /> In LISP wird eine Liste also als [[verkette Liste]] implementiert: Jede &lt;math&gt;cons&lt;/math&gt;-Zelle enthält das eigentlich Listenelement sowie einen Verweis auf die Nachfolgerliste.<br /> Die letzte &lt;math&gt;cons&lt;/math&gt;-Zelle enthält keinen Verweis, sondern die LISP-Konstante &lt;math&gt;\rm{NIL}&lt;/math&gt;. <br /> <br /> In seinen ursprünglichen Publikationen wie auch im Benutzerhandbuch von LISP I&lt;ref&gt;{{Quelle|McCarthy, J. et. al. (1960): LISP I Programmer&#039;s Manual}}, S. 11&lt;/ref&gt;<br /> bezeichnet McCarthy &lt;math&gt;\rm{NIL}&lt;/math&gt; lediglich als „atomares Symbol“, welches benutzt wird, um Listen zu terminieren. Erst im Beutzerhandbuch von <br /> LISP 1.5&lt;ref name=&quot;McCarthy (1965)&quot; /&gt; legt er zusätzlich<br /> fest, dass &lt;math&gt;\rm{NIL}&lt;/math&gt; identisch zur leeren Liste &lt;math&gt;()&lt;/math&gt; ist.<br /> <br /> Die Definition von McCarthy ist den Definitionen von anderen Autoren, wie z.B. [[Kurt Gödel|Gödel]] oder Schmidt, vorzuziehen. <br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Definition von Schmidt&lt;ref name=&quot;Schmidt&quot;/&gt; (und diversen anderen Autoren):&#039;&#039;&#039;<br /> &lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;(x_1, x_2)&lt;/math&gt; ist ein (Klassen-)Paar.&lt;/div&gt;<br /> &lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;(x1, x2, x3) := ((x1, x2), x3)&lt;/math&gt; ist ein (Klassen-)Tripel.&lt;/div&gt;<br /> &lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;(x1, x2, x3, x4) := ((x1, x2, x3), x4) = (((x1, x2), x3), x4)&lt;/math&gt; ist ein (Klassen-)Quadrupel.&lt;/div&gt;<br /> <br /> Diese Definition hat zwei Nachteile: <br /> * Es gibt kein 0- und keine 1-Tupel.<br /> * Tupel unterschiedlicher Länge können gleich sein (jedes n-Tupel für n&gt;2 ist gleichzeitig auch ein 2-Tupel; ein Beweis einer Aussage analog zu Lemma 4.2.1.1 scheitert daher beim Induktionsanfang).<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Definition von Gödel&lt;ref&gt;{{Quelle|Gödel (1940)}}&lt;/ref&gt; (und diversen anderen Autoren):&#039;&#039;&#039;<br /> <br /> Gödel hat Tupel im Prinzip genauso wie Schmidt definiert.<br /> Zusätzlich hat er allerdings noch 1-Tupel eingeführt:<br /> &lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;(x_1) := x_1&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;<br /> <br /> Doch auch diese zusätzliche Festlegung löst die obigen Probleme nicht wirklich.<br /> <br /> =====Mengentupel und Klassentupel (Positionstupel)=====<br /> <br /> In einer klassenbasierten Mengenlehre erhält man mit Hilfe der obigen Definition so genannte &#039;&#039;&#039;Klassentupel&#039;&#039;&#039;, <br /> sofern man der Definition der Tupel Klassenpaare zugrunde legt.<br /> Bei Benutzung einer mengenbasierten Mengenlehre oder wenn man Tupel mit Hilfe von Mengenpaaren definiert, <br /> erhält man dagegen lediglich so genannte &#039;&#039;&#039;Mengentupel&#039;&#039;&#039;.<br /> <br /> Ein Klassentupel kann nicht nur Mengen, sondern auch Unmengen als Elemente beinhalten.<br /> <br /> Beispielsweise kann man das [[Monoid]] der [[Ordinalzahlen]] &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; mit Addition &lt;math&gt;+&lt;/math&gt; und neutralem Element &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; als Klassentupel &lt;math&gt;(\Omega,+,0)&lt;/math&gt; definieren, obwohl es sich bei &lt;math&gt;\Omega&lt;/math&gt; um eine Unmenge handelt.<br /> Für Mengentupel gilt dagegen, dass &lt;math&gt;(\Omega,+,0)&lt;/math&gt; entweder nicht definiert ist oder gleich der Allklasse &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt; ist. Im letzteren Fall sind alle Mengentupel, die ein oder mehrere Unmengen enthalten, ebenfalls<br /> gleich &lt;math&gt;\mathcal{V}&lt;/math&gt;.<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Objektsprache und Metasprache&#039;&#039;&#039;&lt;br/&gt;<br /> Man beachte auch, dass hinsichtlich der Definitionen und Beweise ein wesentlicher Unterschied zwischen<br /> Mengen- und Klassentupeln besteht.<br /> <br /> Für Mengen kann &lt;math&gt;TupV&lt;/math&gt; als echte [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] definiert werden. Die zugehörigen, auf [[vollständige Induktion|vollständiger Induktion]] basierenden Beweise<br /> können daher innerhalb der formalen Sprache ([[Metasprache|Objektsprache]]) des jeweiligen Axiomensystems der Mengenlehre (unter Zuhilfenahme des [[Unendlichkeitaxiom]]s) durchgeführt werden. In einem ersten<br /> Schritt formalisiert man innerhalb der Mengenlehre die natürlich Zahlen (samt vollständiger Induktion) und in einem zweiten Schritt wendet man diesen Formalismus bei<br /> den Beweisen der obigen Aussagen an. <br /> <br /> Für Klassen kann &lt;math&gt;TupV&lt;/math&gt; dagegen nicht als echte Funktion, sondern nur als Abkürzung, definiert werden,<br /> da eine Unmenge niemals in einer Funktion als Urbild oder Bildelement auftauchen kann.<br /> Es gilt nämlich <br /> {{Formel|\rm{UMg}(a) \rightarrow \{a\}{{=}} \mathcal{V}|([[Schmidt (1966)]], S. 73)}}<br /> und damit auch<br /> {{Formel|\rm{UMg}(a) \vee \rm{UMg}(b) \rightarrow \rm{UMg}((a,b))|([[Schmidt (1966)]], S. 97)}}<br /> {{Formel|\rightarrow \{\ldots,(a,b),\ldots\}{{=}} \mathcal{V} }}<br /> Das heißt, sobald man versucht, eine Unmenge in die Definition einer Funktion &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; als Urbild oder Bildelement einzuschleusen, degeneriert &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; zur Allklasse.<br /> <br /> &lt;math&gt;TupV(t)&lt;/math&gt; ist also im Falle von Klassentupeln eine Abkürzung für eine mengentheoretische Formel, genauso wie &lt;math&gt;Mg(m)&lt;/math&gt;, als Abkürzung für die Formel &lt;math&gt;\bigvee a: m \in a&lt;/math&gt; steht (siehe {{Klasse}}). <br /> Die zugehörigen Induktionsbeweise müssen in diesem Fall außerhalb des Axiomensystems der Mengenlehre auf geführt werden,<br /> also beispielsweise mit Hilfe der [[Metasprache]], die zur Definition des formalen System verwendet wurde. <br /> Man beachte, dass die obigen Beweise genaugenommen sogar innerhalb der [[Metasprache#Metametasprache|Metametasprache]] „Deutsch“ geführt wurden.<br /> <br /> Das Problem ist, dass man, obwohl man eine Arithmetik der natürlichen Zahlen formal mit Hilfe der Mengenlehre-Axiome <br /> – d.h. innerhalb der Objektsprache – definieren kann, dennoch eine Arithmetik außerhalb – d.h. innerhalb der Metasprache –<br /> des Systems braucht, um das formale System überhaupt definieren zu können. <br /> Metamathematische Induktionsbeweise beruhen auf „gesundem Menschenverstand“. Im Prinzip definiert man ein Beweisschema,<br /> aus dem man für jeden konkreten Einzelfall einen formalen Beweis ableiten kann. Dies war schon Gödel bekannt: <br /> {{Quote|... einziger Zweck dieser allgemeinen metamathematischen Überlegungen ist es zu zeigen, <br /> wie die Beweise für Sätze von einem gewissen Typus nach einer allgemeinen Methode ausgeführt werden können; <br /> ... diese allgemeinen metamathematischen Überlegungen könnten ganz wegbleiben, wenn man sich die Mühe nähme, <br /> die Beweise in jedem Fall einzeln durchzuführen ...&lt;ref&gt;zitiert nach [[Schmidt (1966)]], S. 174&lt;/ref&gt;<br /> }}<br /> <br /> ===Abbildung der Listen- auf die Attributnotation===<br /> <br /> Für jedes &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-Tupel &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;n \in \mathbb N&lt;/math&gt;) in Listennotation <br /> kann ein zugehöriges Tupel &lt;math&gt;t&#039;&lt;/math&gt; in Attributnotation definiert werden,<br /> sofern es sich bei &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; um ein „Mengentupel“ handelt, {{dh}}, sofern das Tupel nur {{Menge}}n aber keine {{Unmenge}}n enthält, d.h., sofern &lt;math&gt;\rm{Mg}(t_i)&lt;/math&gt; für alle &lt;math&gt;i \in I(t)&lt;/math&gt;:<br /> <br /> &lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;t&#039; := \{[i,t_i]: i \in I(t)\}&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Anmerkung:&#039;&#039;&#039;&lt;br/&gt;<br /> Diese Aussage kann mit ziemlicher Sicherheit für beliebige [[Ordinalzahl]]en verallgemeinert werden.<br /> Dazu müssen die Positionstupel mittels [[transfinite Induktion|transfiniter Induktion]] an Stelle der [[natürliche Induktion|natürlichen Induktion]] definiert werden, <br /> und für alle Aussagen, die zuvor induktiv bewiesen wurden oder die im Folgenden noch induktiv beweisen werden,<br /> muss ebenfalls die transfinite Induktion verwendet werden.<br /> <br /> ====Lemma: Korrektheit der Abbildung der Listen- auf die Attributnotation====<br /> <br /> &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t&#039;&lt;/math&gt; beschreiben dasselbe Tupel:<br /> <br /> #&lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;I(t) = I(t&#039;) = \{i \in \mathbb{N}: 0 &lt; i \le \rm{lg}(t)\}&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;<br /> #&lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;\rm{lg}(t) = \rm{lg}(t&#039;)&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;<br /> #&lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;\bigwedge i \in I: t_i = t&#039;_i&lt;/math&gt;, wobei &lt;math&gt;I := I(t) = I(t&#039;)&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Beweis&#039;&#039;&#039;<br /> {{Formel|I(t&#039;) {{=}} \{x: \bigvee y: [x,y] \in t&#039;\}|(Definition von &lt;math&gt;I(t&#039;)&lt;/math&gt;)}}<br /> {{Formel|I(t&#039;) {{=}} \{x: \bigvee y: [x,y] \in \{[i,t_i]: i \in I(t)\} \}|(Definition von &lt;math&gt;t&#039;&lt;/math&gt;)}}<br /> <br /> Man kann die erste Aussage<br /> {{Formel|I(t&#039;) {{=}} I(t)}}<br /> beweisen, indem man <br /> {{Formel|I(t&#039;) \subseteq I(t)|(*1)}}<br /> {{Formel|I(t&#039;) \supseteq I(t)|(*2)}}<br /> nachweist. (&lt;math&gt;I(t) = \{i \in \mathbb{N}: 0 &lt; i \le \rm{lg}(t)\}&lt;/math&gt; ist bereits laut Definition von &lt;math&gt;I(t)&lt;/math&gt; richtig.)<br /> <br /> &#039;&#039;Begründung für *1&#039;&#039;&lt;br/&gt;<br /> Es sei &lt;math&gt;x \in I(t&#039;)&lt;/math&gt;, d.h., es gibt ein &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;[x,y] \in \{[i,t_i]: i \in I(t)\}&lt;/math&gt;,<br /> d.h., es gibt ein &lt;math&gt;i \in I(t)&lt;/math&gt; mit &lt;math&gt;[x,y] = [i,t_i]&lt;/math&gt; und damit gilt &lt;math&gt;x = i \in I(t)&lt;/math&gt;,<br /> wegen des [[Geordnetes Paar|Paaraxioms]].<br /> <br /> &#039;&#039;Begründung für *2&#039;&#039;&lt;br/&gt;<br /> Es sei &lt;math&gt;i \in I(t)&lt;/math&gt;. Wenn man &lt;math&gt;[x,y] := [i, t_i]&lt;/math&gt; setzt, ist &lt;math&gt;[x,y] \in \{[i,t_i]: i \in I(t)\}&lt;/math&gt;.<br /> Und damit ist &lt;math&gt;i \in I(t&#039;)&lt;/math&gt;.<br /> <br /> Die zweite Aussage folgt direkt aus der ersten Aussage, der Definition von &lt;math&gt;\rm{lg}(t&#039;)&lt;/math&gt; und Lemma 4.2.2.1:<br /> &lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;\rm{lg}(t) = |I(t)| = |I(t&#039;)| =: \rm{lg}(t&#039;)&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;<br /> <br /> Die dritte Behauptung folgt direkt aus der ersten Aussage und der Definition von &lt;math&gt;t&#039;_i&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t&#039;&lt;/math&gt;:<br /> &lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;Es sei &lt;math&gt;i \in I&lt;/math&gt;, dann ist &lt;math&gt;t&#039;_i = t&#039;(i) = t_i&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;<br /> <br /> ====Anmerkungen====<br /> <br /> Ein geordnetes Paar &lt;math&gt;[a,b]&lt;/math&gt; kann, wie bereits definiert wurde, als 2-Tupel aufgefasst werden.<br /> <br /> Allerdings liefert die allgemeine Tupeldefinition, die i.Allg. auf dem geordneten Paar basiert,<br /> ihrerseits ein 2-Tupel, das heißt, ein geordnetes Paar: &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt;. Da dieses Paar ebenfalls das Paaraxiom erfüllt,<br /> wird das spezielle geordnete Paar &lt;math&gt;[a,b]&lt;/math&gt; künftig nicht mehr benötigt. Es wird durch &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt; ersetzt.<br /> <br /> ==Gleichheit zweier Tupel ==<br /> Die Gleichheit von Tupel wird – unabhängig von der Art der Definition – auf die Gleichheit von Klassen zurückgeführt:<br /> <br /> Zwei Tupel &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; sind genau dann gleich, wenn &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; als {{Klasse}}n gleich sind, <br /> d.h., wenn:<br /> &lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;t_1 \subseteq t_2 \wedge t_2 \subseteq t_1&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;<br /> oder, anders formuliert:<br /> &lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;\bigwedge x \in \mathcal{V}: x \in t_1 \Leftrightarrow x \in t_2&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;<br /> <br /> ====Lemma====<br /> Zwei gleiche Tupel (in Attribut- oder Listennotation) sind trivialerweise gleich lang :<br /> <br /> &lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;t_1 = t_2 \Rightarrow \text{lg}(t_1) = \text{lg}(t_2)&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Beweis&#039;&#039;&#039;&lt;br/&gt;<br /> Die Behauptung folgt direkt aus der [[Reflexivität]] der Gleichheit (&lt;math&gt;\text{lg}(t_1) = \text{lg}(t_1)&lt;/math&gt;)<br /> und der [[Leibnizsche Ersetzbarkeit|Leibnizschen Ersetzbarkeit]].<br /> <br /> ====Satz====<br /> Es seien &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; zwei Tupel (in Attribut- oder Listennotation).<br /> <br /> &lt;math&gt;t_1&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t_2&lt;/math&gt; sind genau dann gleich, wenn die zugehörigen Indexmengen &lt;math&gt;I(t_1)&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;I(t_2)&lt;/math&gt; übereinstimmen und wenn die Funktionswerte<br /> für jedes Element der Indexmenge ebenfalls übereinstimmen: <br /> &lt;div class=&quot;formula&quot;&gt;&lt;math&gt;t_1 = t_2 \Leftrightarrow I(t_1) = I(t_2) \wedge \bigwedge i \in I(t_1): t_1(i) = t_2(i)&lt;/math&gt;&lt;/div&gt;<br /> <br /> Die Behauptung &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; folgt wieder direkt aus der [[Reflexivität]] der Gleichheit<br /> und der [[Leibnizsche Ersetzbarkeit|Leibnizschen Ersetzbarkeit]]. <br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Beweis für Attributnotation&#039;&#039;&#039;: siehe [[Schmidt (1966)]], S. 123, Aussagen 14.10 und 14.11<br /> <br /> &#039;&#039;&#039;Beweis für Listennotation&#039;&#039;&#039;: mittels vollständiger Induktion.&lt;br/&gt;<br /> Es sei &lt;math&gt;I := I(t_1) = I(t_2)&lt;/math&gt;.<br /> <br /> Induktionsanfang: &lt;math&gt;I = \emptyset&lt;/math&gt;&lt;br/&gt;<br /> Dann ist &lt;math&gt;\rm{lg}(t_1) = \rm{lg}(t_2) = 0&lt;/math&gt; und damit &lt;math&gt;t_1 = t_2 = \emptyset&lt;/math&gt;.<br /> <br /> Induktionsvoraussetzung: &lt;br/&gt;<br /> Es seien &lt;math&gt;t_1 = t_2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;I(t_1) = I(t_2)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;n := \rm{lg}(I(t_1)) = \rm{lg}(I(t_2))&lt;/math&gt; <br /> und &lt;math&gt;I&#039; := I \cup \{n+1\} = \{\mathbb{N}: 0 &lt; i \le n+1\}&lt;/math&gt;. <br /> Dann ist &lt;math&gt;|I&#039;| = n+1&lt;/math&gt;. <br /> <br /> Induktionsschritt: &lt;br/&gt;<br /> Es seien überdies &lt;math&gt;t&#039;_1 = [x_1, t_1]&lt;/math&gt; und &lt;math&gt;t&#039;_2 = [x_2, t_2]&lt;/math&gt; (&lt;code&gt;n+1 &gt; 0&lt;/code&gt;!). Da laut Voraussetzung (rechte Seite von &lt;math&gt;\Leftrightarrow&lt;/math&gt;) &lt;math&gt;x_1 = t&#039;_1(n+1) = t&#039;_2(n+1) = x_2&lt;/math&gt; und laut Induktionsvoraussetzung &lt;math&gt;t_1 = t_2&lt;/math&gt;,<br /> gilt wegen des [[Paaraxiom]]s auch &lt;math&gt;t&#039;_1 = t&#039;_2&lt;/math&gt;, was zu beweisen war.<br /> <br /> ==Quellen==<br /> <br /> &lt;references /&gt;<br /> <br /> [[Kategorie:Mengenlehre]]<br /> [[Kategorie:Datenmanagement]]<br /> [[Kategorie:Glossar]]</div> Kowa