Quelltext der Seite Russellsche Antinomie

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Anfang des 20. Jahrhunderts entdeckte [[Bertrand Russell]], dass ein naiver Mengenbegriff es ermöglicht, eine widerspruchsvolle „Menge“ zu definieren, die nicht existieren kann.

Die sogenannte Russellklasse <math>\mathcal R := \{x|x \notin x\}</math>
definiert die „Menge“ aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten.
Als Menge kann sie nicht existieren, da nicht geklärt werden kann, 
ob <math>\mathcal R</math> sich selbst enthält oder nicht.
Um zu bestimmen, ob <math>\mathcal R</math> ein Element  <math>a</math> enthält, {{dh}} ob <math>a  \in \mathcal R</math> gilt, muss man <math>a</math> als Wert für <math>x</math> in die Definition einsetzen. Daraus leitet sich folgende Bedingung ab:
<div class="formula"><math>a \in \mathcal R \Leftrightarrow a \notin a\quad</math> (<math>a</math> ist genau dann in <math>\mathcal R</math> enthalten, wenn <math>a</math> nicht in <math>a</math> enthalten ist))</div>
Wenn man überprüfen will, ob sich Russelmenge selbst enthält, muss man also <math>\mathcal R</math> selbst als Wert für <math>x</math> in die Definition einsetzen. 
Damit erhält man aber eine widerspruchsvolle, {{dh}} unerfüllbare Aussage:
<div class="formula"><math>\mathcal R \in \mathcal R \Leftrightarrow \mathcal R \notin \mathcal R</math>

Die Russelklasse <math>\mathcal R</math> enthält sich selbst, genau dann, wenn sich <math>\mathcal R</math> nicht selbst enthält. 
</div>

Das Problem einer derartigen Antinomie ist, dass sich aus einem [[ex falso quodlibet|Widerspruch jede beliebige Aussage herleiten]] lässt.
Das heißt, ein widerspruchsvolles formales System ist wertlos.

'''Anschauliche Beispiele für die Russellsche Antinomie''' 

* Ein Barbier rasiert alle Männer des Ortes, die sich nicht selbst rasieren, und nur diese. Rasiert er sich selbst?<ref>{{Quelle|Russell (1918)}}, S. 228</ref>

* Ein Katalog listet alle Kataloge auf, die sich nicht selbst auflisten, und nur diese. Listet dieser Katalog sich selbst auf?

'''Beginn der Grundlagenkrise der Mathematik'''

Diese Entdeckung führte zusammen mit [[:Kategorie:Paradoxie|anderen Paradoxa]], die ebenfalls um die Jahrhundertwende herum entdeckt wurden, 
zur [[Grundlagenkrise der Mathematik]].
[[1903]] hat Russell diese Antinomie publiziert, nachdem er die Antinomie im Axiomensystem von Frege<ref name="Frege (1893)">{{Quelle|Frege (1893)}}</ref> 
entdeckt hatte.<ref name="Russell (1903)">{{Quelle|Russell (1903)}}</ref> Seitdem ist es nicht mehr möglich, ein System zur Formalisierung der Mathematik
zu definieren, ohne zu begründen, dass
die bekannten Antinomien nicht auf eine naheliegende Weise mit Hilfe der Formalismen des Systems abgeleitet werden können. Allerdings ist es aufgrund der [[Gödelsche Unvollständigkeitssätze|Gödelschen Unvollständigkeitssätze]] nicht möglich, zu beweisen, dass ein derartiges System widerspruchsfrei ist. 
Wie gesagt: Falls ein System widerspruchsvoll 
sein sollte, kann man alles beweisen, auch jede Antinomie. Das heißt, die Antinomie-Freiheit kann nicht bewiesen werden.

==Informelle Beschreibung der Russellschen Antinomie==

Der von [[Bernard Bolzano|Bolzano]], [[Gottlob Frege|Frege]], [[Richard Dedekind|Dedekind]] und anderen geprägte „naive“ {{Menge}}begriff  führt zu einer [[Antinomie]]. 
Dieses logische [[Paradoxon]] wurde Anfang des 20. Jahrhunderts von
[[Bertrand Russell]] im Axiomensystem von Frege<ref name="Frege (1893)">{{Quelle|Frege (1893)}}</ref> entdeckt.<ref name="Irvine, Deutsch (2014)">{{Quelle|Irvine, Deutsch (2014)}}</ref> Russell schrieb seine Entdeckung am 16. Juni [[1902]] an Frege.<ref name="Brief an Frege">{{Quelle|Gabriel et al. (1980)}}, S. 59f, Brief von Russell an Frege vom 16. Juni 1902</ref>

Russell definiert die '''Russellklasse''' – wie diese {{Klasse}} heute (zu Recht!) genannt wird – als die '''Klasse aller Klassen, die sich nicht selbst enthalten''':

{{Quote|Ebenso giebt es keine Klasse (als Ganzes) derjenigen 
Klassen die als Ganze sich selber nicht angehören.<ref name="Brief an Frege"/>}}

Anfang des 20. Jahrhunderts hat man noch nicht zwischen ''{{Klasse}}n'' und ''{{Menge}}n'' unterschieden.
Diese Unterscheidung wurde erst später eingeführt, um die Russellsche Antinomie  und andere Paradoxa zu vermeiden; siehe [[Russellsche_Antinomie#Klassen|unten]]

Die Russellklasse ist gemäß Freges Axiomensystem eine Menge und kann außerdem Element von anderen Mengen sein – evtl. sogar von sich selbst!
Und so stellt Russell die Frage, ob sich die Russellklasse selbst enthält. Diese Frage führt aber zu einem Widerspruch: 
'''Die Russellklasse enthält sich''' – laut Definition der Russellklasse – '''genau dann selbst, wenn sie sich nicht selbst enthält.''' Russell bemerkt dazu:

{{Quote|Daraus schliesse ich dass unter gewissen Umständen 
eine definierbare Menge kein Ganzes bildet.<ref name="Brief an Frege"/>}}

Dieses Paradoxon war der Beginn der [[Grundlagenkrise der Mathematik]]. Schon Frege war 
„auf's Höchste überrascht und [...] bestürzt“.<ref name="Brief an Frege"/> Im Nachwort zum zweiten Band seiner „Grundgesetze der Arithmetik“<ref>{{Quelle|Frege (1903)}}, S. 253</ref>, der 1903 erschienen ist, schreibt Frege:

{{Quote|Einem wissenschaftlichen Schriftsteller kann kaum etwas Unerwünschteres begegnen, als dass ihm nach Vollendung einer Arbeit eine der Grundlagen seines Baues erschüttert wird. In diese Lage wurde ich durch einen Brief des Herrn Bertrand Russell versetzt, als der Druck dieses Bandes sich seinem Ende näherte. Es handelt sich um mein Grundgesetz (V). Ich habe mir nie verhehlt, dass es nicht so einleuchtend ist, wie die andern, und wie es eigentlich von einem logischen Gesetze verlangt werden muss. Und so habe ich denn auch im Vorworte zum ersten Bande S. VII auf diese Schwäche hingewiesen. Ich hätte gerne auf diese Grundlage verzichtet, wenn ich irgendeinen Ersatz dafür gekannt hätte. Und noch jetzt sehe ich nicht ein, wie die Arithmetik wissenschaftlich begründet werden könne, wie die Zahlen als logische Gegenstände gefasst und in die Betrachtung eingeführt werden können, wenn es nicht — bedingungsweise wenigstens — erlaubt ist, von einem Begriffe zu seinem Umfange überzugehn. Darf ich immer von dem Umfange eines Begriffes, von einer Klasse sprechen? Und wenn nicht, woran erkennt man die Ausnahmefälle?}}

Auf der von ihm angesprochenen Seite VII seines ersten Bandes schreibt Frege tatsächlich, dass ein „Streit“  um sein Grundgesetz V „entbrennen“ kann:<ref>[[Frege (1893)]], S. VII</ref>

{{Quote|Ein Streit kann hierbei, soviel ich sehe, nur um mein Grundgesetz der Werthverläufe (V) entbrennen, das von den Logikern vielleicht noch nicht eigens ausgesprochen ist, obwohl man danach denkt, {{zB}} wenn man von Begriffsumfängen redet. Ich halte es für rein logisch. Jedenfalls ist hiermit die Stelle bezeichnet, wo die Entscheidung fallen muss.}}

[[David Hilbert|Hilbert]] erfuhr von dem Russellschen Paradoxon aus einer Kopie des zweiten Bandes der „Grundgesetze der Arithmetik“, den Frege ihm geschickt hatte.
Er schrieb daraufhin an Frege, dass [[Ernst Zermelo|Zermelo]] dieses Paradoxon schon drei oder vier Jahre zuvor (also 1899 oder 1900) ebenfalls entdeckt hatte und
er selbst vor vier oder fünf Jahren weitere, noch überzeugendere Widerspruche gefunden hatte.<ref  name="Ebbinghaus (2015)">{{Quelle|Ebbinghaus (2015)}}</ref>

Wirklich ernst genommen hatten die Mathematiker dieser Zeit derartige Widersprüche allerdings noch nicht. Erst die Erkenntnis, das der erste Versuch, 
ein streng formales Fundament für die Mathematik zu schaffen, wegen dieser Paradoxa gescheitert ist, veranlasste die Mathematiker, sich mit dieser Problematik
ernsthaft auseinanderzusetzen. Russell fand mit der [[Typentheorie (Mengenlehre)|Typentheorie]] eine erste Lösung, wie sich diese Probleme vermeiden lassen.<ref name="Russel (1903) §§497–500"/><ref>{{Quelle|Russell (1908)}}, S. 236ff</ref> Später folgten diverse alternative Methoden, die Mathematik
streng zu formalisieren und dabei die bekannten Paradoxien und Antinomien zu vermeiden: Axiomatisierung der Mengenlehre ([[Zermelo (1908b)]]<ref name="Zermelo (1908b)">{{Quelle|Zermelo (1908b)}}</ref>, [[Neumann (1925)]])<ref name="Neumann (1925)">{{Quelle|Neumann (1925)}}</ref>, Lambda-Kalkül ([[Church (1941)]])<ref name="Church (1941)">{{Quelle|Church (1941)}}</ref>, Klassenlogik ([[Glubrecht, Oberschelp, Todt (1983)]])<ref name="Glubrecht, Oberschelp, Todt (1983)">{{Quelle|Glubrecht, Oberschelp, Todt (1983)}}</ref> und viele weitere.

[[1908]] bestätigt [[Ernst Zermelo]] in einer Fußnote [[David Hilbert|Hilbert]]s Aussage, dass er selbst die Russellsche Antinomie auch schon vor [[1903]]
entdeckt und Hilbert mitgeteilt habe.<ref>{{Quelle|Zermelo (1908a)}}, Fußnote **, S. 118–119</ref> 
Daher spricht man manchmal auch vom ''Zermelo-Russell Paradoxon''
(siehe {{zB}} [[Ebbinghaus (2015)]], Chapter 2.4.3<ref>{{Quelle|Ebbinghaus (2015)}}</ref>). Zermelo selbst nennt das Paradoxon allerdings „Russelsche Antinomie“.<ref>[[Zermelo (1908a)]], S. 115, S. 124</ref><ref>[[Zermelo (1908b)]], S. 261, S. 265</ref>

==Formalere Beschreibung der Russellschen Antinomie==
Zuvor wurde Russellsche Antinomie informell beschrieben. Im Folgenden wird das Problem auf etwas formalerer Ebene beleuchtet.

Siehe auch: [[Klasse (Mengenlehre)#Axiomatisierung|Klasse, Abschnitt „Axiomatisierung“]]

===Definition der „Menge aller Objekte mit einer bestimmten Eigenschaft“===
Zunächst zeigt man, dass die „Menge aller Objekte mit einer bestimmten Eigenschaft“ auch ein 
Objekt unserer Anschauung ist und damit  Element einer beliebigen Menge sein kann.

Es sei <math>U</math> ein {{Universum}}, das die Gesamtheit „aller Objekte unserer Anschauung und unseres Denkens“ umfasse.

Ein [[Logik|logischer Ausdruck]] <math>A(x)</math> beschreibt bestimmte Eigenschaften von Objekten aus <math>U</math>,
indem sie für jedes Objekt <math>x</math> aus <math>U</math> den Wert <code>wahr</code> oder <code>falsch</code> als Ergebnis hat (vgl. Definition des Begriffes „[[Aussage]]“). Dabei bedeutet:

* <code>wahr</code>: <math>x</math> hat die mit <math>A(x)</math> beschriebene Eigenschaft.
* <code>falsch</code>: <math>x</math> hat die mit <math>A(x)</math> beschriebene Eigenschaft '''nicht'''.

Damit kann man die „Menge aller Objekte <math>x</math> mit der Eigenschaft <math>A(x)</math>“ definieren:
<math>\{x|A(x)\}</math> bezeichnet die Menge aller Objekte <math>x</math> aus <math>U</math>, die die 
Eigenschaft <math>A</math> haben, {{dh}}, für die <math>A(x)</math> den Wert <code>wahr</code> hat.

Nun kann man die Element-Beziehung <math>b \in \{x|A(x)\}</math> folgendermaßen definieren: 
<math>b</math> ist genau dann ein Element der Menge <math>\{x|A(x)\}</math>,
in Zeichen <math>b \in \{x|A(x)\}</math>, wenn <math>A(b)</math> wahr ist,
{{dh}}, wenn <math>A(b)</math> den Wert <code>wahr</code> hat.

'''Beispiele'''

* <math>S_{HSA} := \{x|x \mbox{ ist derzeit Student an der Hochschule Augsburg}\}</math> ist die Menge aller derzeit an der {{HSA}} immatrikulierten Studenten (diese Menge ändert sich im Laufe der Zeit).
* <math>P = \{x|x \mbox{ ist eine Primzahl}\}</math> ist die Menge aller Primzahlen; <math>7 \in P</math>, <math>8 \not\in P</math>.
* <math>\mathbb{Q} := \{x|x \mbox{ ist eine rationale Zahl}\}</math> ist die Menge der rationalen Zahlen; <math>2/3  \in \mathbb{Q}, \pi \not\in \mathbb{Q}</math>.
* <math>\mathcal{V} := \{x|x \mbox{ ist eine Menge}\}</math> sei die Menge aller Mengen; <math>S_{HSA} \in \mathcal{V}, P \in \mathcal{V}</math>, <math>\mathbb{Q} \in \mathcal{V}</math>, <math>\mathcal{V} \in \mathcal{V}</math> (sofern <math>\mathcal{V}</math> tatsächlich eine Menge wäre).

===Mengen, die sich selbst enthalten===

Jede Menge <math>\{x|A(x)\}</math> ist „ein Objekt unserer Anschauung“ und damit ein Objekt aus unserem {{Universum}} <math>U</math>. 
Dabei gibt es auch Mengen, die die etwas ungewöhnliche Eigenschaft haben, sich selbst zu enthalten.
Zum Beispiel enthielte sich die Allklasse <math>\mathcal{V}</math> selbst, wenn <math>\mathcal{V}</math> eine Menge wäre.
Allerdings hat Cantor bereits 1899 gezeigt, dass die dies nicht der Fall ist.<ref name="Brief Cantor 2">Brief von Cantor an Dedekind vom 30. August 1899, {{Quelle|Zermelo (1932)}}, S. 448</ref> Ein anderes Beispiel ist die Unterscheidung von ''Objekten'' und ''Nicht-Objekten'': Zum Beispiel enthält sich die ''Menge aller
Menschen'' nicht selbst (da eine Menge kein ''Mensch'' ist), die ''Menge aller Nicht-Menschen'' enthält sich dagegen selbst (da diese Menge ebenfalls
ein ''Nicht-Mensch'' ist). Aber auch hier besteht das Problem, das die ''Menge aller Menschen'' vereinigt mit der Menge aller ''Nicht-Menschen'' die Allklasse wäre,
die ja nicht als Menge existieren kann.

Man beachte, dass Mengen, die sich selbst enthalten, trotz der zuvor genannten Probleme nicht so selten und exotisch sind, wie
man vermuten könnte. In der Informatik kommen sie sogar recht häufig vor: Immer,
wenn man Objekte so miteinander verkettet, dass ein geschlossener Pfad entsteht, hat man im
Prinzip eine Menge definiert, die sich selbst enthält.

'''Beispiel in JavaScript'''

Source: https://glossar.hs-augsburg.de/beispiel/javascript/SetTheory/SelfContainment/

<source lang="javascript">
let tuple = {a: 123, b: "foo"}; 
tuple.c = tuple;
</source>

''Das Objekt <code>tuple</code> enthält sich selbst'', wie man ganz leicht nachprüfen kann.
Folgende Befehle geben alle den Wert <code>123</code> auf der Konsole aus:
<source lang="javascript">
console.log(tuple.a);
console.log(tuple.c.a);
console.log(tuple.c.c.a);
console.log(tuple.c.c.c.a);
console.log(tuple.c.c.c.c.a);
console.log(tuple.c.c.c.c.c.a);
console.log(tuple.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.c.a);
</source>

Es gilt also:
<source lang="javascript">
tuple == tuple.c == tuple.c.c == tuple.c.c.c == ... == 
{a: 123, b: "foo", c: {a: 123, b: "foo", c: {a: 123, b: "foo", c: ... }}}
</source> 

Man beachte, dass jedes JavaScript-Objekt als ein [[Tupel#Beispiele_in_Attributnotation|Tupel in Attributnotation]], {{dh}}, als eine spezielle {{Menge}} aufgefasst werden kann.
Das heißt, man kann die obige [[Aussage (Logik)|Aussage]] auch folgendermaßen formulieren:

<div class="formula">Die Menge <code>tuple</code> enthält sich selbst.</div>

Datenstrukturen, die die Bildung von Zyklen erlauben, kommen in der Informatik recht häufig vor:
* doppelt verkettete [[Liste]]n
* Ringlisten
* [[Netzplan|Netzpläne]]
* [[Graph]]en, wie z.B.
** [[World Wide Web]]
** Netzplan der Deutschen Bahn
* etc.

===Russellsche Antinomie===

Aus der Tatsache, dass es Mengen geben kann, die sich selbst enthalten, und andere, bei denen dies nicht der Fall ist,
ergibt sich sofort eine Frage: Kann man ''alle'' Mengen, die sich nicht selbst enthalten, in einer Menge zusammenfassen? 

<math>\mathcal R := \{x|x \mbox{ ist eine Menge} \wedge x \notin x\}</math> ist die so genannte Russellklasse. Sie enthält 
– laut Definition – alle Mengen, die sich nicht selbst enthalten. 

Es gilt z.B. <math>\{x|x \mbox{ ist eine Primzahl}\} \in \mathcal R</math> und
<math>\mathbb{Q} \in \mathcal R</math>, aber <math>{\rm Sonne} \notin \mathcal R</math> (Sonne ist keine Menge) und <math>\mathcal{V} \notin \mathcal R</math>
Die Allklasse <math>\mathcal{V}</math> ist keine Menge und damit kein Element von <math>\mathcal R</math>. Aber auch wenn sie eine Menge wäre, wäre Sie nicht
in <math>\mathcal R</math> enthalten, da sie sich dann selbst enthalten würde.

Die Frage ist, ob sich die Russellklasse selbst enthält oder nicht. Gemäß Definition enthält sich die Russellklasse genau dann selbst, 
wenn sie eine Menge ist und sich nicht selbst enthält: 

<div class="formula"><math>\mathcal R \in \mathcal R \Leftrightarrow \mathcal R \mbox{ ist ein Menge} \wedge \mathcal R \notin \mathcal R</math></div>

Wenn man die berühmte Cantorsche Definition von 1895
<div class="quote">Unter einer ‚Menge‘ verstehen wir jede Zusammenfassung <math>M</math> von ''bestimmten'' wohlunterscheidbaren Objecten <math>m</math> unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die [[Element]]e von <math>M</math> genannt werden) zu einem Ganzen.<ref>{{Quelle|Cantor (1895)}}</ref>
</div>
naiv interpretiert (was Cantor selbst allerdings nicht tat; vgl. Kapitel [[Menge#Cantors_Definitionen_und_Antinomien|Cantors Definitionen und Antinomien]] im Artikel {{Menge}}), ist die Russellklasse ein ''wohlunterscheidbares Object unseres Denkens'' und damit eine Menge. Und damit ergibt sich sofort der erwähnte Widerspruch: 
<div class="formula"><math>\mathcal{R} \in \mathcal{R} \Leftrightarrow  \mathcal{R} \notin \mathcal{R}</math></div>

In Worten: Die Russellklasse enthält sich genau dann selbst, wenn sie sich nicht selbst enthält.

[[Datei:Container paradoxa.png|mini|250px|Mengenuniversum, in der jede Menge ein Individuum ist und damit selbst Element von Mengen sein kann]]
Moderne Formalisierungen der Logik und/oder der Mengenlehre basieren auf einer Menge von Ausdrücken oder Formeln (Ausdrucks[[universum]])
und einer beliebigen Anzahl von [[Universum|Individuenbereichen]], die verwendet werden können, um die Ausdrücke zu interpretieren.
Üblicherweise definiert man mit Hilfe der Ausdrücke eine Menge von [[Axiom]]en, die als [[Aussage|wahr]] vorausgesetzt werden. Ausdrücke heißen erfüllbar oder widerspruchsfrei, 
wenn es Individuenbereiche gibt, für die gegebene Ausdrücke wahr sind. Der Ausdruck <math>\exists x: x \wedge \neg x</math> ist zum Beispiel unerfüllbar, da es keinen
Wahrheitswert gibt, der gleichzeitig wahr und falsch ist.

Natürlich ist man nur an erfüllbaren, {{dh}} widerspruchsfreien Axiomen interessiert. Das Russell-Paradoxon lehrt uns nun, dass die unbeschränkte 
Mengenbildung ([[Komprehension]]) nicht möglich ist. Ein Mengenuniversum, in dem beliebige Individuen in einer Menge zusammengefasst werden können
und überdies jede Menge selbst ein Individuum ist, kann es nicht geben.
Ein Komprehensionsaxiom, das dies ermöglicht, ist genauso wenig erfüllbar, wie der Ausdruck <math>\exists x: x \wedge \neg x</math>.
{{TBD|Quellen fehlen}}

===Vermeidung des Russell-Paradoxons===

Die möglichen Lösungen des zuvor beschriebenen Problems, dass die Cantorsche Definition des Begriffs „Menge“ zu einem Paradoxon führt,
liegen auf der Hand: Man muss dafür sorgen, dass <math>\mathcal{R}</math> entweder gar nicht definiert werden kann
oder, falls doch, zumindest keine Menge ist.

Das heißt, man muss verhindern, dass eine uneingeschränkte Komprehension unmöglich ist, indem man entweder die 
Bildung gewisser Mengenausdrücke verbietet oder die Komprehension axiomatisch einschränkt.

==== [[Typentheorie]] ====
[[Datei:Container_typhierarchie_1.png|mini|250px|Mengenuniversum, in der jede Menge der Stufe <math>i</math> ein Individuum der Stufe <math>i+1</math> ist]]
[[Datei:Container_typhierarchie_2.png|mini|250px|Mengenuniversum, in der jede Menge der Stufe <math>i</math> ein Individuum aller Stufen <math>j &gt; i</math> ist]]
Die von Russell [[1903]] in seiner [[Typentheorie]] vorgeschlagene Lösung, Mengen abhängig von den darin enthaltenen Mengen hierarchisch in „Ebenen" anzuordnen, verhindert die Definition von <math>\mathcal{R}</math>. Es gibt keine Ebene, auf der <math>\mathcal{R}</math> zu liegen käme<ref name="Russel (1903) §§497–500">{{Quelle|Russell (1903)}}, §§497–500</ref> 
Russell ging von einer Menge von Grundelementen aus, die der Stufe 0 der Typhierarchie zugeordnet sind.
Die Stufe n+1 der Typhierachie ist stets die [[Potenzmenge]] der Stufe n. 

Stufe 0: 0, 1, 2, ... (irgendwelche Grundelemente, die keine Mengen sind)<br />
Stufe 1: {}, {0}, {1}, ..., {0,1}, {0,2}, ..., <br />
Stufe 2: <nowiki>{{}}, {{0}}, {{1}}, ..., {{0,1}}, {{0,2}}, ..., ..., {{},{0}},  ..., {{},{0},{0,1}}, ...</nowiki><br />
Stufe 3: ...

Diese Struktur ist allerdings ziemlich sperrig. Man kann z.B. keine Mengen der Art {1, {1,2,3}} bilden, 
da 1 und {1,2,3} auf unterschiedlichen Stufen liegen. Dieses Problem kann man lösen, wenn man dafür sorgt, 
dass jede Stufe nicht nur die Elemente der Potenzmenge der Vorgängerstufe 
enthält, sondern auch alle Elemente der Vorgängerstufe selbst. 

Stufe 0: 0, 1, 2, ... (irgendwelche Grundelemente, die keine Mengen sind)<br />
Stufe 1: 0, 1, 2, ..., {}, {0}, {1}, ..., {0,1}, {0,2}, ...<br /> 
Stufe 2:  0, 1, 2, ..., {}, {0}, {1}, ..., {0,1}, {0,2}, ..., {{}}, {{}, 0}, {{}, 1}, ..., {{}, {0}}, {{}, 0, {0}}, ..., ...<br />
Stufe 3: ...

Diese Ebenenstruktur wird [[Kumulative Typhierarchie]] genannt.<ref name="Felscher I">{{Quelle|Felscher, W. (1978): Naive Mengen und abstrakte Zahlen I}}</ref>
In beiden Fällen kann eine Menge <math>n</math>-ter Stufe kann nur Mengen aus Stufen <math>m</math> kleiner <math>n</math> enthalten. 
Damit gibt es keine Mengen, die sich selbst enthalten (weil ja jede Menge derselben Stufe angehört wie sie selbst). 
Es gibt also keine „Menge aller Mengen“ und auch keine „Russellmenge“.

==== Axiomatische Mengenlehre (Zermelo, Fraenkel) ====

{{TBD}}

==== {{Klasse}}n ====

[[Datei:Container_mengenlehre.png|mini|250px|Mengenuniversum, in dem zwischen ''Mengen'' und ''echten Klassen'' unterschieden wird; ''Mengen'' können als ''Individuen'' 
Elemente von beliebigen Klassen sein; für echte Klassen gilt dies dagegen nicht]]
[[Datei:Container_klassenlogik_rein.png|mini|250px|Man kann auf {{iAllg}} auf echte Individuen verzichten. Die leere Menge und die Möglichkeit, damit andere Mengen zu bilden, reichen aus, beliebige Individuen zu repräsentieren]]
Die modernere {{Klasse}}nlehre verhindert die Definition von <math>\mathcal{R}</math> nicht vollständig. 
Sie verhindert allerdings, dass eine ''Menge'' <math>\mathcal{R}</math> definiert werden kann. <math>\mathcal{R}</math> wird hier als {{Unmenge}} oder ''echte Klasse'' bezeichnet. 

Man nennt eine „Zusammenfassung von bestimmten Objekten unserer Anschauung und unseres Denkens“ zunächst einmal {{Klasse}} und nicht {{Menge}}. 
(Man beachte, dass zu Zeiten von Cantor, Russell und Co, die Begriffe ''Klasse'' und ''Menge'' noch synonymisch benutzt wurden.)
Der wichtigste Unterschied zu Cantors Definition ist, dass man nicht von jeder Klasse fordert, 
ebenfalls ein solches „Objekt unserer Anschauung und unseres Denkens“ zu sein, das in irgendwelchen Zusammenfassungen enthalten sein kann. 
Das heißt, es kann Klassen geben, die kein Element irgendeiner anderen Klasse sind, zum Beispiel, weil sie einfach „zu groß“ sind.
Im Gegensatz zu Cantors Zeiten unterscheidet man daher heute strikt zwischen „Mengen“ und „echten Klassen“ :

Eine '''Klasse''' heißt '''Menge''', genau dann, wenn sie Element mindestens einer beliebigen Klasse ist.

Anderenfalls heißt sie '''echte Klasse''' oder '''Unmenge'''.

In der kumulativen Typhierarchie ist eine Menge ein Element, das auf irgendeiner Stufe (und damit ebenfalls auf allen darüber liegende Stufen) liegt.
Die erste Stufe, auf der eine Menge zu liegen kommt, heißt ''definierende Stufe''.  
Eine '''Unmenge''' ist dagegen eine '''Klasse''', die kein Element einer anderen Klasse ist und für die es daher auch keine definierende Stufe gibt. 
Für die Elemente einer Unmenge gibt es dagegen schon definierende Stufen. Es gibt allerdings keine größte dieser Stufen.
Das heißt, für jedes Element einer Unmenge gibt es beliebig viele weitere Elemente der Unmenge, deren definierenden Stufen oberhalb der definierenden Stufe dieses Elements liegt.

Beispiele für Unmengen sind die [[Allklasse]], {{dh}} die Klasse, die alle Mengen enthält (aber nicht alle Klassen!),
sowie die [[Russellklasse]], die alle Mengen enthält, die sich nicht selbst enthalten.
Die '''Russellklasse''' enthält sich nicht selbst, da sie die Bedingung 
„<math>\mathcal{R}</math> ist eine Menge“ nicht erfüllen kann (sonst ergäbe sich sofort die Russellsche Antinomie):

<div class="formula"><math>\mathcal R \in \mathcal R \Leftrightarrow \mathcal R \mbox{ ist eine Menge} \wedge \mathcal R \notin \mathcal R</math></div>

Wenn <math>R \mbox{ ist eine Menge}</math> gelten würde, ergäbe sich der Widerspruch 
<math>\mathcal R \in \mathcal R \Leftrightarrow \mathcal R \notin \mathcal R</math>.

Also gilt <math>\mathcal R</math> ist keine Menge, sondern eine Unmenge und damit gilt (beweisbar!) <math>\mathcal R \notin \mathcal R</math>, da eine Unmenge überhaupt kein Element irgendeiner Menge ist. 

Es gibt noch Unmengen von weiteren Unmengen. :-) 

Die  „Klassenlehre“ hat sich bisher als sehr stabil erwiesen. Es wurden bislang keine weiteren Antinomien entdeckt und daher geht man davon aus, dass damit eine widerspruchsfreie Mengenlehre definiert wurde. Leider beweist [[Kurt Gödel]] mit seinem zweiten [[Gödelscher Unvollständigkeitssatz|Unvollständigkeitssatz]]
unter anderem auch, dass man die Widerspruchsfreiheit der zugehörigen [[Axiome der Mengenlehre]] nicht nachweisen kann.<ref>{{Quelle|Gödel, K. (1931): Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I}}</ref><ref>{{Quelle|Schwichtenberg, H. (2009): Mathematical Logic}}</ref>
Mit ein wenig Unsicherheit
bezüglich dieser Definition müssen wir also bis in alle Zeiten leben. Vielleicht finden Sie ja eine neue Antinomie, die 
in den aktuellen Mengenlehre-Axiomensystemen enthalten ist. (Allerdings sollten Sie nicht Ihre Zeit damit verschwenden, da die Erfolgsaussichten doch sehr gering sind.)

==Quellen==
<references />

==Siehe auch==
* {{SieheAuch|Wikipedia (DE): Russellsche Antinomie}}

[[Kategorie:Mengenlehre]]
[[Kategorie:Paradoxie]]
[[Kategorie:Glossar]]