Quelltext der Seite Normalverteilung

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}} 
==Definition==

Eine [[Stetige Zufallsgröße|stetige Zufallsgröße]] <math>X = NV(\mu,\sigma^2)</math> heißt '''normalverteilt''', wenn ihre [[Verteilungsfunktion]] durch
die [[Dichtefunktion]] <math>f_X = f_{NV(\mu,\sigma^2)}</math> mit

<div class="formula"><math>f_X(x) = f_{NV(\mu,\sigma^2)}(x) := \frac {1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac {1}{2} \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}</math></div>

beschrieben werden kann. 

<math>\mu</math> und  <math>\sigma^2</math> heißen Parameter der Verteilung. Sie müssen die in der Tabelle angegebenen Bedingungen erfüllen.

==Eigenschaften einer normalverteilten Zufallsgröße==

{{Wahrscheinlichkeitsverteilung
|  name      =Normalverteilung
| type       =Dichte
| pdf_image  =
| cdf_image  =
| parameters =<math>\mu \in ]-\infty,\infty[</math><br><math>\sigma \in ]0,\infty[</math>
| continuity =<math>f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]-\infty,\infty[\!</math>
| support    =<math>f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]a,b[ \!</math>
| pdf        =<math>f_X(x) =\frac {1}{{\sigma} \sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac {1}{2} \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}</math>
| cdf        =<math>F_X(x) =\int_{-\infty}^x \! f_X(t) \, \mathrm{d} t</math> ist nicht elementar darstellbar
| mode       =<math>\operatorname{md}_X = \{\mu\}</math>
| mean       =<math>\mu(X) = \mu</math>
| quartile   =
| median     =<math>F_X^{-1}(0,5) = \mu</math>
| variance   =<math>\operatorname{Var}(X) = \sigma^2</math>
| sigma      =<math>\sigma(X) = \sigma</math>
}}

==Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Normalverteilung==
In [[Normalverteilung (standardisiert)]] wird eine speziellere Dichtefunktion <math>\phi := f_{NV(0,1)}</math> definiert.
Wie hängen die hier definierte allgemeine Form und die dort definierte spezielle Form zusammen?

Zunächst sieht man anhand der Definitionen sofort, dass die Dichtefunktion der [[Normalverteilung (standardisiert)|standardisierten Normalverteilungen]]
auch eine spezielle Dichtefunktion einer [[Normalverteilung|allgemeinen Normalverteilungen]] ist.

Umgekehrt können alle
Dichtefunktionen [[Normalverteilung|allgemeinen Normalverteilungen]] durch [[Linear-Transformation]]en aus der 
Dichtefunktionen der [[Normalverteilung (standardisiert)|standardisierten Normalverteilungen]] erzeugt werden:

<div class="formula"><math>
    f_{NV(\mu,\sigma^2)} = \frac {1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac {1}{2} \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}
                         = \frac{1}{\sigma}\, \phi\!\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right).
</math></div>

([[Zusammenhang zwischen allgemeiner und standardisierter Normalverteilung (Satz)|Beweis der zweiten Aussage]])
==Tabellen==
[[File:Normal_Distribution_Sigma.svg|left|1000px|Normalverteilung mit Erwartungswert μ und verschiedenen Streuungsintervallen]]

{| class="studienplan"
|+ Erwartete Anteile der Werte einer normalverteilten Zufallsvariablen innerhalb bzw. außerhalb der Streuintervalle <math>\left[\mu-nσ, \mu+nσ\right]</math><ref>https://de.planetcalc.com/4986/</ref>
|- class="bgdgrey white" style = "text-align: center"
! style = "text-align: center" |  nσ
! style = "text-align: center" | Prozent innerhalb
! style = "text-align: center" | &nbsp;Prozent außerhalb&nbsp;
! style = "text-align: center" | Anzahl Sechser
! style = "text-align: center" | Münzwurf: n mal Kopf
! style = "text-align: center" | &nbsp;Signifikanz&nbsp;
|- class="bggrey white"
| 0,674 490 σ
| 50 %
| 50 %
|
| rowspan=1 style="vertical-align: middle" | 1 Münze: 50 %
|
|- class="bggrey white"
| 0,994 458 σ
| 68 %
| 32 %
|
|
|
|- class="bgorange white" 
| 1σ
| 68,27 %
| 31,73 %
|
| style="vertical-align: middle" | 2 Münzen: 25 %
|
|- class="bggrey white"
| 1,281 552 σ
| 80 %
| 20 %
| style="vertical-align: middle" | 1 Sechser: 16,67 %
| style="vertical-align: middle" | 3 Münzen: 12,5 %
|
|- class="bggrey white"
| 1,644 854 σ
| 90 %
| 10 %
|
| style="vertical-align: middle" | 4 Münzen: 6,25 %
|
|- class="bggrey white"
| 1,959 964 σ
| 95 %
| 5 %
|
| 
| Medizin: signifikant
|- class="bgorange white" 
| 2σ
| 95,45 %
| 4,55 %
| style="vertical-align: middle" | 2 Sechser: 2,77 %
| style="vertical-align: middle" | 5 Münzen: 3,25 %
|
|- class="bggrey white"
| 2,354 820 σ
| 98,17 %
| 1,85 %
|
| style="vertical-align: middle" | 6 Münzen: 1,56 %
|
|- class="bggrey white"
| 2,575 829 σ
| 99 %
| 1 %
| style="vertical-align: middle" | 3 Sechser: 0,46 %
| style="vertical-align: middle" | 7 Münzen: 0,78 %
| Medizin: sehr signifikant
|- class="bgorange white" 
| 3σ
| 99,73%
| 0,27 %
|
| style="vertical-align: middle" | 9 Münzen: 0,20 %
|
|- class="bggrey white"
| 3,290 527 σ
| 99,9 %
| 0,1 %
| style="vertical-align: middle" | 4 Sechser: 0,077 %
| style="vertical-align: middle" | 10 Münzen: 0,10 %
| Medizin: hoch signifikant
|- class="bggrey white"
| 3,890 592 σ
| 99,99 %
| 0,01 %
| style="vertical-align: middle" | 5 Sechser: 0,013 %
| style="vertical-align: middle" | 13 Münzen: 0,01 %
|
|- class="bgorange white" 
| 4σ
| 99,993 %
| 0,006 %
| 
| style="vertical-align: middle" | 14 Münzen: 0,006 %
|
|- class="bggrey white"
| 4,417 173 σ
| 99,999 %
| 0,001 %
| style="vertical-align: middle" | 6 Sechser: 0,001 2 %
| style="vertical-align: middle" | 17 Münzen: 0,000 76 %
|
|- class="bggrey white"
| 4,891 638 σ
| 99,999 9 %
| 0,000 1 %
| style="vertical-align: middle" | 7 Sechser: 0,000 36 %
| style="vertical-align: middle" | 20 Münzen: 0,000 095 %
|
|- class="bgorange white" 
| 5σ
| 99,999 94 %
| 0,000 06 %
| style="vertical-align: middle" | 8 Sechser: 0,000 060 %
| style="vertical-align: middle" | 21 Münzen: 0,000 047 %
|
|- class="bggrey white"
| 5,326 724 σ
| 99,999 99 %
| 0,000 01 %
| style="vertical-align: middle" | 9 Sechser: 0,000 010 %
| style="vertical-align: middle" | 23 Münzen: 0,000 012 %
| Lotto: 6 Richtige 
|- class="bggrey white"
| 5,730 729 σ
| 99,999 999 %
| 0,000 001 %
| style="vertical-align: middle" | 10 Sechser: 0,000 001 6 %
| style="vertical-align: middle" | 26 Münzen: 0,000 001 5 %
| Lotto: 6 Richtige + Superzahl
|- class="bgorange white" 
| 6σ
| 99,999 999 8 %
| 0,000 000 2 %
| style="vertical-align: middle" | 11 Sechser: 0,000 000 28 %
| style="vertical-align: middle" | 29 Münzen: 0,000 000 19 %
| Physik: Higgs-Boson (5,9σ)<ref>CMS collaboration: Observation of a new boson at a mass of 125 GeV with the CMS experiment at the LHC. In: Physics Letters B. 716, Nr. 1, 2012, S. 30–61. arxiv:1207.7235. doi:10.1016/j.physletb.2012.08.021</ref>
|- class="bggrey white"
| 6,109 410 σ
| 99,999 999 9 %
| 0,000 000 1 %
| style="vertical-align: middle" | 12 Sechser: 0,000 000 046 %
| style="vertical-align: middle" | 30 Münzen: 0,000 000 093 %
|
|- class="bggrey white"
| 6,466 951 σ
| 99,999 999 99 %
| 0,000 000 01 %
| style="vertical-align: middle" | 13 Sechser: 0,000 000 007 7 %
| style="vertical-align: middle" | 33 Münzen: 0,000 000 012 %
|
|- class="bggrey white"
| 6,806 502 σ
| 99,999 999 999 %
| 0,000 000 001 %
| style="vertical-align: middle" | 14 Sechser: 0,000 000 001 3 %
| style="vertical-align: middle" | 37 Münzen: 0,000 000 000 73 %
|
|- class="bgorange white" 
| 7σ
| 99,999 999 999 7 %
| 0,000 000 000 3 %
| style="vertical-align: middle" | 15 Sechser: 0,000 000 000 21 %
| style="vertical-align: middle" | 39 Münzen: 0,000 000 000 18 %
|
|}

{| class="studienplan"
|+ Erwartete Anteile der Werte einer normalverteilten Zufallsvariablen außerhalb der Streuintervalle <math>\left[\mu-nσ, \mu+nσ\right]</math> in Prozent, Parts per Billion (ppb, zu Deutsch „Teile pro Milliarde“<ref>[[Wikipedia:Normalverteilung]]</ref>) und als Bruchteil
|- class="bgdgrey white"
! style = "text-align: center" | nσ
! style = "text-align: center" | Prozent innerhalb
! style = "text-align: center" | Prozent außerhalb
! style = "text-align: center" | &nbsp;ppb außerhalb&nbsp;
! style = "text-align: center" | &nbsp;Bruchteil außerhalb&nbsp;
|- class="bggrey white"
| 0,674 490 σ
| 50 %
| 50 %
| 500.000.000
| 1&nbsp;/&nbsp;2
|- class="bggrey white"
| 0,994 458 σ
| 68 %
| 32 %
| 320.000.000
| 1&nbsp;/&nbsp;3,125
|- class="bgorange white" 
| 1σ
| 68,268 949 2 %
| 31,731 050 8 %
| 317.310.508
| 1&nbsp;/&nbsp;3,151 4872
|- class="bggrey white"
| 1,281 552 σ
| 80 %
| 20 %
| 200.000.000
| 1&nbsp;/&nbsp;5
|- class="bggrey white"
| 1,644 854 σ
| 90 %
| 10 %
| 100.000.000
| 1&nbsp;/&nbsp;10
|- class="bggrey white"
| 1,959 964 σ
| 95 %
| 5 %
| 50.000.000
| 1&nbsp;/&nbsp;20
|- class="bgorange white"
| 2σ
| 95,449 973 6 %
| 4,550 026 4 %
| 45.500.264
| 1&nbsp;/&nbsp;21,977 895
|- class="bggrey white" 
|2,354 820 σ
|98,146 832 2 %
|1,853 167 8 %
|18.531.678
|1 / 54
|- class="bggrey white"
| 2,575 829 σ
| 99 %
| 1 %
| 10.000.000
| 1&nbsp;/&nbsp;100
|- class="bgorange white" 
| 3σ
| 99,730 020 4 %
| 0,269 979 6 %
| 2.699.796
| 1&nbsp;/&nbsp;370,398
|- class="bggrey white"
| 3,290 527 σ
| 99,9 %
| 0,1 %
| 1.000.000
| 1&nbsp;/&nbsp;1.000
|- class="bggrey white"
| 3,890 592 σ
| 99,99 %
| 0,01 %
| 100.000
| 1&nbsp;/&nbsp;10.000
|- class="bgorange white" 
| 4σ
| 99,993 666 %
| 0,006 334 %
| 63.340
| 1&nbsp;/&nbsp;15.787
|- class="bggrey white"
| 4,417 173 σ
| 99,999 %
| 0,001 %
| 10.000
| 1&nbsp;/&nbsp;100.000
|- class="bggrey white"
| 4,891 638 σ
| 99,9999 %
| 0,0001 %
| 1.000
| 1&nbsp;/&nbsp;1.000.000
|- class="bgorange white" 
| 5σ
| 99,999 942 669 7 %
| 0,000 057 330 3 %
| 573,330 3
| 1&nbsp;/&nbsp;1.744.278
|- class="bggrey white"
| 5,326 724 σ
| 99,999 99 %
| 0,000 01 %
| 100
| 1&nbsp;/&nbsp;10.000.000
|- class="bggrey white"
| 5,730 729 σ
| 99,999 999 %
| 0,000 001 %
| 10
| 1&nbsp;/&nbsp;100.000.000
|- class="bgorange white" 
| 6σ
| 99,999 999 802 7 %
| 0,000 000 197 3 %
| 1,973
| 1&nbsp;/&nbsp;506.797.346
|- class="bggrey white"
| 6,109 410 σ
| 99,999 999 9 %
| 0,000 000 1 %
| 1
| 1&nbsp;/&nbsp;1.000.000.000
|- class="bggrey white"
| 6,466 951 σ
| 99,999 999 99 %
| 0,000 000 01 %
| 0,1
| 1&nbsp;/&nbsp;10.000.000.000
|- class="bggrey white"
| 6,806 502 σ
| 99,999 999 999 %
| 0,000 000 001 %
| 0,01
| 1&nbsp;/&nbsp;100.000.000.000
|- class="bgorange white" 
| 7σ
| 99,999 999 999 744 %
| 0,000 000 000 256 %
| 0,002 56
| 1&nbsp;/&nbsp;390.682.215.445
|}

==Quellen==
<references/>
<ol>
<li value="4">{{Quelle|Kowarschick, W.: Projektmanagement}}</li>
<li>{{Quelle|Rinne, H. (2003): Taschenbuch der Statistik}}</li>
<li>[[WikipediaEn: Normal distribution]]</li>
<li>[http://statwiki.wiwi.hu-berlin.de/index.php/Normalverteilung Statwiki HU Berlin: Normalverteilung]</li>
<li>[https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/normalverteilung1.htm Berechnung der Normalverteilung]</li>
</ol>

==Siehe auch==
# [http://www.brighton-webs.co.uk/distributions/normal.htm Brighton Webs Ltd.: Normal Distribution]
# {{Vgl|Dreiecksverteilung}}
# {{Vgl|Beta-Verteilung}}

[[Kategorie:Mathematische Definition]]
[[Kategorie:Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:Projektmanagement]]
[[en:Normal distribution]]