Quelltext der Seite Relation

{{Qualität
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}}
==Definition ([[Wolfgang Kowarschick|Kowarschick]] (2019))==

Eine [[Relation]] ist eine „Sammlung“ ({{Menge}}, [[Multimenge]], [[Liste]]) von strukturell gleichartigen [[Tupel]]n. Jedes Tupel besteht dabei aus einer Menge von [[Attribut]]en,
{{dh}} aus einer Menge von [[Attribut]]bezeichner/-wert-Paaren. Die möglichen Attributwerte können dabei mit Hilfe von so genannten [[Domäne]]n beschränkt werden.

===Übersicht===
'''Relationen''' sind „Sammlungen“ von Tupeln.
Folgende {{Container}}arten werden {{iAllg}} zur Speicherung von deratrigen Sammlungen eingesetzt:

{| class = "wikitable" style = "table-layout: fixed; max-width: 48em; border: 0;"
|-
! style="width: 22%;" | '''Containerart'''
! style="width: 33%;" | '''Beispiel'''
! style="width: 45%;" | '''Eigenschaften'''
|-
| | {{Menge}}
| | <code>{2, 4, 6}</code> <math>=</math><br/><code>{2, 6, 4, 2}</code>
| | 
* ungeordnet
* duplikatfrei
|-
| | Multimenge
| | <code>{2, 4, 6}⁺</code> <math>\not=</math><br/><code>{2, 6, 4, 2}⁺</code> <math>=</math> <br/><code>{2, 2, 4, 6}⁺</code> <math>=</math><br/><code>{2⁽²⁾, 4⁽¹⁾, 6⁽¹⁾}
| | 
* ungeordnet
* Duplikate sind möglich
|-
| | Liste
| | <code>(2, 4, 6)</code> <math>\not=</math><br/><code>(2, 6, 4, 2)</code> <math>\not=</math><br/><code>(2, 2, 4, 6)</code>
| | 
* geordnet
* Duplikate sind möglich
|}

Da jede Tupelart mit jeder Containerart kombiniert werden kann, gibt es (mindestens) neun Arten von Relationen.
Die Tabellendarstellung ist für jede dieser Arten geeignet:
{| 
||
{| class = "wikitable" style="margin-top: -2em !important"
! style="text-align:center" | name
! style="text-align:center" | sex
|-
|| <code>'Anton'</code>
|| <code>'m'</code>
|-
|| <code>'Berta'</code>
|| <code>'w'</code>
|-
|| <code>'Anton'</code>
|| <code>'m'</code>
|}
||
* Spalten repräsentieren Attribute.
* Die Reihenfolge der Spalten legt die Position der Attribute fest;<br/>diese muss aber nicht beachtet werden.
* Die Spalten können Namen erhalten, um benannte Attribute zu realisieren.
* Zeilen repäsentieren Tupel.
* Zeilen haben ein Reihenfolge, die aber nicht beachtet werden muss.
* Zeilen können mehrfach vorkommen, {{dh}}, es ist möglich, Duplikate darzustellen.
|}

Für eine Relation wird üblicherweise ein Tupelschema festgelgt, das die Menge aller erlaubten Tupel einschränkt. 
Anstelle von Tupelschema spricht man im Zusammenhang mit Relationen von '''Relationsschema'''.

=====Relationen auf Basis von Mengen: Beispiele=====
{|  class = "wikitable" style = "table-layout: fixed; width: 48em; border: 0;"
| style = "border: 0; width: 20%;" |
!| Menge von Positionstupeln
|-
! rowspan = "2" | Relationsschema
|| <code>(String, {'w','m','x'})</code>
|-
||<code>{1: String, 2: {'w','m','x'}}</code>
|-
! rowspan = "2" | Relation
|| <code>{('Anton', 'm'), ('Berta', 'w')}</code>
|-
|| <code>{{1: 'Anton', 2: 'm'}, {2: 'w', 1: 'Berta'}}</code>
|}

{| class = "wikitable" style = "table-layout: fixed; width: 48em; border: 0;"
| style = "border: 0; width: 20%;" |
!| Menge von Attributtupeln
|-
!| Relationsschema
|| <code>{name: String, sex: {'w','m','x'}}</code>
|-
!| Relation
|| <code>{{name: 'Anton', sex: 'm'}, {sex: 'w', name: 'Berta'}}</code>
|}

{|  class = "wikitable" style = "table-layout: fixed; width: 48em; border: 0;"
| style = "border: 0; width: 20%;" |
!| Menge von Positionsattributtupeln
|-
! rowspan = "2" | Relationsschema
|| <code>{1/name: String, 2/sex: {'w','m','x'}}</code>
|-
|| <code>(name: String, sex: {'w','m','x'})</code>
|-
! rowspan = "2" | Relation
|| <code>{{1/name: 'Anton', 2/sex: 'm'}, {2/sex: 'w', 1/name: 'Berta'}}</code>
|-
|| <code>{(name: 'Anton', sex: 'm'), (sex: 'w', name: 'Berta')}</code>
|}

=====Relationen auf Basis von Multimengen: Beispiele=====
{|  class = "wikitable" style = "table-layout: fixed; width: 48em; border: 0;"
| style = "border: 0; width: 20%;" |
!| Multimenge von Positionstupeln
|-
!| Relationsschema
|| <code>(String, {'w','m','x'})</code>
|-
!| Relation
|| <code>{('Anton', 'm')⁽²⁾, ('Berta', 'w')⁽¹⁾}</code>
|}

{| class = "wikitable" style = "table-layout: fixed; width: 48em; border: 0;"
| style = "border: 0; width: 20%;" |
!| Multimenge von Attributtupeln
|-
! Relationsschema
|| <code>{name: String, sex: {'w','m','x'}}</code>
|-
! rowspan = "2" | Relation
|| <code>{{name: 'Anton', sex: 'm'},<br/>&nbsp;{sex: 'w', name: 'Berta'},<br/>&nbsp;{sex: 'm', name: 'Anton'}<br/>}⁺</code>
|-
|| <code>{{name: 'Anton', sex: 'm'}⁽²⁾, {sex: 'w', name: 'Berta'}⁽¹⁾}</code>
|}

{|  class = "wikitable" style = "table-layout: fixed; width: 48em; border: 0;"
| style = "border: 0; width: 20%;" |
!| Multimenge von Positionsattributtupeln
|-
! rowspan = "2" | Relationsschema
|| <code>{1/name: String, 2/sex: {'w','m','x'}}</code>
|-
|| <code>(name: String, sex: {'w','m','x'})</code>
|-
! rowspan = "2" | Relation
|| <code>{{1/name: 'Anton', 2/sex: 'm'},<br/>&nbsp;{2/sex: 'w', 1/name: 'Berta'},<br/>&nbsp;{2/sex: 'm', 1/name: 'Anton'}<br/>}⁺</code>
|-
|| <code>{(name: 'Anton', sex: 'm')⁽²⁾, (name: 'Berta', sex: 'w')⁽¹⁾}</code>
|}

=====Relationen auf Basis von Listen: Beispiele=====
{|  class = "wikitable" style = "table-layout: fixed; width: 48em; border: 0;"
| style = "border: 0; width: 20%;" |
!| Liste von Positionstupeln
|-
!| Relationsschema
|| <code>(String, {'w','m','x'})</code>
|-
!| Relation
|| <code>(('Anton', 'm'), ('Berta', 'w'))</code>
|}

{| class = "wikitable" style = "table-layout: fixed; width: 48em; border: 0;"
| style = "border: 0; width: 20%;" |
!| Liste von Attributtupeln
|-
! Relationsschema
|| <code>{name: String, sex: {'w','m','x'}}</code>
|-
!| Relation
|| <code>({name: 'Anton', sex: 'm'},<br/>&nbsp;{sex: 'w', name: 'Berta'},<br/>&nbsp;{sex: 'm', name: 'Anton'}<br/>)</code>
|}

{|  class = "wikitable" style = "table-layout: fixed; width: 48em; border: 0;"
| style = "border: 0; width: 20%;" |
!| Liste von Positionsattributtupeln
|-
! rowspan = "2" | Relationsschema
|| <code>{1/name: String, 2/sex: {'w','m','x'}}</code>
|-
|| <code>(name: String, sex: {'w','m','x'})</code>
|-
! rowspan = "2" | Relation
|| <code>({1/name: 'Anton', 2/sex: 'm'},<br/>&nbsp;{2/sex: 'w', 1/name: 'Berta'},<br/>&nbsp;{2/sex: 'm', 1/name: 'Anton'}<br/>)</code>
|-
|| <code>((name: 'Anton', sex: 'm'),<br/>&nbsp;(name: 'Berta', sex: 'w'),<br/>&nbsp;(name: 'Anton', sex: 'm')<br/>)</code>
|}

=== Formale Definition===
====Tupel====
Es seien <math>a_1, \ldots, a_n</math> (<math>n \ge 0</math>) ''paarweise verschiedene'' Attributnamen (<math>a_i \ne a_j</math> für <math>i \ne j</math> sowie 
<math>a_i \not\in\mathbb N</math>). <math>D_1, \ldots, D_n</math> seien zugehörige Domänen.

====Positionstupel ====
'''Relationsschema für Positionstupel'''<br/>
Ein [[Tupel]] von Domänen <math>R = (D_1, \ldots, D_n)</math> heißt '''Relationsschema für Positionstupel'''.

'''Die Menge aller Positionstupel zum Relationsschema <math>R</math>'''<br/>
Die kartesische Produkt der Domänen
<div class="formula"><math>T(R) := T(D_1, \ldots, D_n) := {\Large ⨉}_{i=1}^nD_i = D_1 \times \ldots \times D_n</math></div> 
enthält alle '''Positionstupel''' der Art <math>(v_1, \ldots, v_n)</math>, wobei <math>v_i \in D_i</math>.

'''Attributzugriff und Attributwert'''<br/>
Mittels <math>t(i) = t_i</math> greift man auf das <math>i</math>-te Element, {{dh}} den '''Attributwert''' <math>v_i</math> eines zugehörigen Tupels <math>t = (v_1, \ldots, v_n)</math> zu.

====Attributtupel====

'''Relationsschema für Attributtupel'''<br/>
Die Menge <math>R =  \{(a_1, D_1), \ldots, (a_n, D_n)\} = \{a_1: D_1, \ldots, a_n: D_n\}</math> von Attributdefinitionen heißt '''Relationsschema für Attributtupel'''.

'''Die Menge aller Attributtupel zum Relationsschema <math>R</math>'''<br/>
Die Menge <math>T(R)</math> enthält alle '''Attributtupel''' der Art <math>\{(a_1, v_1), \ldots, (a_n, v_n)\} = \{a_1: v_1, \ldots, a_n: v_n\}</math>, wobei <math>v_i \in D_i</math>.
Man beachte, dass es bei einem derartigen Tupel nicht auf die Reihenfolge der Attribute ankommt, da ein Attributtupel eine '''Menge''' von Paaren ist. 

'''Attributzugriff und Attributwert'''<br/>
Mittels <math>t(a_i) = t.a_i = \bigcap\{v | (a_i, v) \in t \}</math> greift man auf den '''Attributwert''' <math>v_i</math> des Attributs <math>a_i</math> eines zugehörigen Tupels <math>t = \{(a_1, v_1), \ldots, (a_n, v_n)\} = \{a_1: v_1, \ldots, a_n: v_n\}</math> zu.

====Positionsattributtupel====

Man kann die Begriffe '''Attributtupel''' und '''Positionstupel''' zusammenführen: In einem '''Positionsattributtupel''' hat jedes Attribut sowohl eine Position als auch einen Namen.
Voraussetzung: <math>a_i \not\in \mathbb N</math>.

'''Relationsschema für Positionsattributtupel'''<br/>
Die Menge <math>R =  \{(a_1, 1, D_1), \ldots, (a_n, n, D_n)\} = \{a_1/1 : D_1, \ldots, a_n/n : D_n\}</math> von Attributdefinitionen mit zusätzlichen Positionsangaben heißt '''Relationsschema für Positionsattributtupel'''.

'''Die Menge aller Positionsattributtupel zum Relationsschema <math>R</math>'''<br/>
Die Menge <math>T(R)</math> enthält alle '''Attributtupel''' der Art 
<math>\{(a_1, 1, v_1), \ldots, (a_n, 2, v_n)\} = \{a_1/1 : v_1, \ldots, a_n/n : v_n\}</math>, wobei <math>v_i \in D_i</math>.
Man beachte, dass es bei einem derartigen Tupel nicht auf die Reihenfolge der Attribute ankommt, da ein Attributtupel eine '''Menge''' von Paaren ist. 
Allerdings hat jedes Attribut eine Position, so dass es durchaus Sinn macht vom  <math>i</math>-ten Attribut zu sprechen.

'''Attributzugriff und Attributwert'''<br/>
Mittels <math>t(a_i) = t.a_i  = \bigcap\{v | \bigwedge j : (a_i, j, v) \in t \}</math> greift man auf den '''Attributwert''' <math>v_i</math> des Attributs <math>a_i</math> eines zugehörigen Tupels <math>t</math> zu.  Und mittels <math>t(i) = t_i  = \bigcap\{v | \bigwedge a : (a, i, v) \in t \}</math> greift man auf das <math>i</math>-te Element von <math>t = \{a_1/1 : v_1, \ldots, a_n/n : v_n\}</math> zu.

===Relationen===
====Relationen zu einem Relationsschema für Positionstupel====
Eine Teilmenge <math>r(D_1,\dots ,D_n) := r(R)</math> von <math>T(R)</math> heißt '''Relation zum Relationsschema <math>R</math>''''''.
<math>r(R)</math> enthält ausschließlich Positionstupel <math>t</math> mit genau <math>n</math> Attributen <math>t_i</math>, für die <math>t_i \in D_i</math> gilt.

'''Spezialfälle'''<br/>
Die leere Menge <math>\{\}</math>, die überhaupt keine Tupel enthält, ist eine Relation zum Relationsschema <math>R</math>'''.
Die Menge <math>\{()\}</math>, die nur das leere Positionsupel enthält, ist eine Relationzum  leeren Relationsschema <math>()</math>. Bis auf die leere Menge gibt es keine weitere Relation zu diesem Relationsschema genügt.<br/>

====Relationen zu einem Relationsschema für Attributtupel====
Eine Teilmenge <math>r(a_1: D_1, \ldots, a_n: D_n) := r(R)</math> von <math>T(R)</math> heißt '''Relation, die dem Relationsschema <math>R</math> genügt'''.
<math>r(R)</math> enthält ausschließlich Attributtupel <math>t</math> mit genau <math>n</math> Attributen <math>t.a_i</math>, für die <math>t.a_i \in D_i</math> gilt.

Spezialfälle:
* Die leere Menge <math>\{\}</math>, die überhaupt keine Tupel enthält, ist eine Relation, die jedem Relationsschema genügt.
* Die Menge <math>\{\{\}\}</math>, die nur das leere Attributtupel enthält, ist eine Relation, die dem leeren Relationsschema <math>\{\}</math> genügt. Bis auf die leere Menge gibt es keine weitere Relation, die diesem Relationsschema genügt.

Die Tupelmenge <math>T(D_1, \ldots, D_n)</math> kann mit der Tupelmenge  <math>T(1: D_1, \ldots, n: D_n)</math> identifiziert werden ({{dh}}, die zugehörigen Tupel können 
[[bijektiv]] aufeinander abgebieldet werden). Ebenso kann ein Relation <math>r(D_1, \ldots, D_n)</math> mit einer Relation 
<math>r(1: D_1, \ldots, n:D_n)</math> identifiziert werden.

====Relationen zu einem Relationsschema für Positionsattributstupel====

Eine Teilmenge <math>r(a_1/1: D_1, \ldots, a_n/n: D_n) := r(R)</math> von <math>T(R)</math> heißt '''Relation, die dem Relationsschema <math>R</math> genügt'''.
<math>r(R)</math> enthält ausschließlich Attributtupel <math>t</math> mit genau <math>n</math> Attributen <math>t.a_i</math> bzw. <math>t_i</math>, für die <math>t.a_i \in D_i</math> bzw. <math>t_i \in D_i</math> gilt.

Spezialfälle:
* Die leere Menge <math>\{\}</math>, die überhaupt keine Tupel enthält, ist eine Relation, die jedem Relationsschema genügt.
* Die Menge <math>\{\{\}\}</math>, die nur das leere Positionsattributtupel enthält, ist eine Relation, die dem leeren Relationsschema <math>\{\}</math> genügt. Bis auf die leere Menge gibt es keine weitere Relation, die diesem Relationsschema genügt.

Jede Relation mit Schema  <math>T(a_1/1: D_1, \ldots, a_n/n: D_n)</math> kann auch als Relation mit Schema
<math>T(a_1: D_1, \ldots, a_n: D_n)</math> bzw. mit Schema <math>T(D_1, \ldots, D_n)</math> aufgefasst werden.

====Klasse aller Relationen====
<math>\mathcal R</math> sei die Klasse aller Relationen, die einem Relationsschema für Positionsattributtupel genügen. Die [[Potenzmenge]] einer der zuvor definierten Attributpositionstupelmengen ist stets eine Teilmenge von <math>\mathcal R</math>:
<div class="formula"><math>\mathscr{P}(T(a_1/1: D_1, \ldots, a_n/n: D_n)) \subset \mathcal R</math></div>

<!--===Beispiele===
====Positionstupel====
''Relationsschema''<br/>
<math>R = (\mathbb N, \tt{String})</math>  

''Positionstupel zum Relationsschema <math>R</math>''<br/>
<math>T(R) =\small\begin{array}[t]{r,l,l,l,l}
\{ & (0,\tt{''}), & (1,\tt{''}), & (2,\tt{''}), & \ldots,\\
   & (0,\tt{'a'}), & (1,\tt{'a'}), & (2,\tt{'a'}), & \ldots,\\
   & (0,\tt{'b'}), & (1,\tt{'a'}), & (2,\tt{'a'}), & \ldots,\\
   & \ldots &  & &\\
   & (0,\tt{'aa'}), & (1,\tt{'aa'}), & (2,\tt{'aa'}), & \ldots,\\
   & \ldots &  & &\\
   & (0,\tt{'Baum'}), & (1,\tt{'Baum'}), & (2,\tt{'Baum'}), & \ldots,\\
   & \ldots &  & &\\
 \}
\end{array}  
</math>

''Relation zum Relationsschema <math>R</math>''<br/>
<math>r(R) = \{ (0,\tt{'Anton'}), (1,\tt{'Berta'}),(2,\tt{'Cäsar'})\}</math>
''Anmerkungen''<br/>

<math>T(R)</math> enthält abzählbar unendlich viele Positionstupel zum Schema <math>R</math>.
<math>r(R)</math> ist eine endliche Teilmenge <math>r(R)</math>.

Es gibt natürlich auch unendlich große Realtionen, wie {{zB}} <math>\le</math> zum Schema <math>(\mathbb N, \mathbb N)</math>  (abzählbar)
oder zum Schema  <math>(\mathbb R, \mathbb R)</math>  (überzählbar), aber in der „[[Datenbank]]welt“ kommen vor allem endliche Relationen vor.
-->

==Definition ([[Aristoteles]])==

TBD: [https://ia800701.us.archive.org/26/items/aristotelesmeta00lassgoog/aristotelesmeta00lassgoog.pdf Methaphysik II VI 5. Quantität, Qualität, Relation, S. 304 – 308]

==Definition (Brockhaus (1992))<ref>{{Quelle|Brockhaus (1992, RAD-RÜS)}}</ref>==
{{Quote|<i>Logik und Mathematik</i>: jede Aussageform, die eine Beziehung zw. bestimmten Dingen,
Sachverhalten, Größe, Zahlen, {{ua}}, den '''Relata''', widerspiegelt. 
Je nach Anzahl der in Beziehung zueinander stehenden Relata bzw. Variablen liegt eine
zwei-, drei- oder mehrstellige Relation vor.
}}

==Definition ([[Augustus De Morgan|De Morgan]] (1858)<ref>{{Quelle|De Morgan (1858)}}, S. 203</ref>)==
[[Datei:DeMorgan 1858 TCPS S208.png|mini|300px|[[De Morgan (1858)]], S. 203]]

{{Quote|When two objects, qualities, classes, or attributes, viewed together by the mind, are seen under some connexion, that connexion is called a relation.}}

Übersetzung (von W. Kowarschick):<br/>
{{Quote|Sobald zwei Objekte, Eigenschaften, Klassen oder Attribute, verstandesgemäß zusammengehörend, in einer Beziehung  gesehen werden, wird diese Beziehung Relation genannt.
}}
==Definition ([[Charles Sanders Peirce|Peirce]] (1870)<ref name="Peirce (1870)">{{Quelle|Peirce (1870)}}</ref>)==

[[Datei:Peirce 1870 S 359.png|mini|300px|[[Peirce (1870)]], S. 359]]
Der Mathematiker und Philosoph [[Charles Sanders Peirce]] setzt die Begriffe „[[geordnetes Paar|Paar]]“, [[Tupel|„Triplett“]] und „Quartett“ als bekannt voraus.
Er definiert darauf aufbauend den Begriff “'''elementary relative'''” („Beziehungsbeteiligter“):

{{Quote|By an elymentary relative I mean one which signifies a relation which exists only
between mutually exclusive pairs or in the case of a conjunctive term, triplets, or
quartettes, etc.) of individuals, or else between pairs of classes in such a way that every
individual of one class of pairs is in that relation to every individual of the other.
(Peirce (1870), S. 359<ref name="Peirce (1870)"/>)}}

Übersetzung (von W. Kowarschick):<br/>
{{Quote|Als elementaren Beziehungsbeteiligten sehe ich einen an, der eine Beziehung kennzeichnet, 
die [entweder] nur zwischen sich gegenseitig ausschließenden Paaren (oder – im Falle eines zusammengesetzten Terms – Tripletts, Quartetts etc.) 
von Individuen besteht oder zwischen Paaren von Klassen in einer derartigen Weise,
dass jedes Individuum einer Klasse des Paares in dieser Beziehung zu jedem Individuum des anderen steht.}}

Aufbauend auf dem Begriff “elementary relative” (elementarer Beziehungsbeteiligter)
beschreibt Peirce als einer der ersten, wenn nicht als erster
eine [[Relation]] als Klasse von Paaren:

{{Quote|That every relative may be conceived as a logical sum
of elementary relatives is plain from the fact that if a relation is 
sufficiently determined it can exist only between two individuals. ... 
The conception of a relative as resolvable into elementary relatives 
has the same sort of utility as the conception of a relative as 
resolvable into infinitesimals or of any term as resolvable into individuals.(S. 359<ref name="Peirce (1870)"/>)}}

Übersetzung (von W. Kowarschick):<br/>
{{Quote|Dass jede Relation [hier erlaube ich mir, “relative” als „Relation“ zu übersetzen; WK] als logische Summe von elementaren Beziehungsbeteiligten 
angesehen werden kann, folgt aus der Tatsache, dass, wenn eine Beziehung [“relation” übersetze ich dagegen mit „Beziehung“; WK] hinreichend betimmt ist, 
sie nur zwischen zwei Individuen existieren kann. 
... 
Die Auffassung, dass eine Relation in elementare Beziehungsbeteiligungen
aufgelöst werden kann, ist genauso nützlich, wie die Auffassung,
dass eine Relation in [[Infinitesimal]]e aufgelöst werden kann
oder jeder Term in Individuen.
}}

====Anmerkungen zur Definition von Peirce====

Interessanterweise erwähnt Peirce im Anschluss an seine Definition, dass eine Relation in Infinitesimale aufgelöst werden kann. 
Dies ist auch heute noch die übliche Vorstellung bei der [[Infinitesimalrechnung]], bei der allerdings {{iAllg}} nur Funktionen betrachtet werden.
Das heißt, er wusste vermutlich bereits, dass Funktionen (spezielle) Relationen sind.

An Perices Defintionen fällt auf, dass “elementary relative” für ihn zunächst einmal folgende Bedeutung hat:
„Individum, das eine bestimmte Beziehung zu anderen Individuen hat“. Er definiert aber gleichzeitig auch,
dass eine Beziehung (relation) das [[kartesisches Produkt|kartesische Produkt]] von zwei (oder mehr) Klassen bestimmt. 

Dies sind die beiden wesentlichen Elemente zur Definition von Relationen.

Der Begriff “relative” bedeutet eigentlich „Verwandter“, kann aber auch „ein Ding, das eine Beziehung zu oder eine Verbindung mit oder eine zwangsläufige Abhängigkeit von einem anderen Ding hat“ bedeuten ([http://www.merriam-webster.com/dictionary/relative Merriam-Webster]: „a thing having a relation to or connection with or necessary dependence on another thing“). Peirce verwendet den Begriff im zweiten Sinn. 

{{Quote|The second class embraces terms whose logical form involves the conception of relation, and which require
the addition of another term to complete the denotation. ... They regard an object as over against
another, that is as relative ; as father of, lover of, or servant of. These are ''simple relative terms''. (Peirce (1870), S. 332<ref name="Peirce (1870)"/>)}}

Übersetzung (von Wolfgang Kowarschick, wobei “relative” mit „Beziehungsbeteiligter“ übersetzt wird):

{{Quote|Die zweite Klasse umfasst Terme, deren logische Form das Konzept von ''Beziehung'' zur Folge hat und die das Hinzufügen eines anderen Terms erfordern, 
um die Bedeutung zu vervollständigen. ...
Sie fassen ein Objekt als Gegenpart eines anderen auf, dies ist ein Beziehungsbeteiligter ; als ''Vater von'', ''Liebhaber von'' oder ''Diener von''.
Dies sind ''einfache Beziehungsterme''.}}

==Frege (1903)<ref name="Frege (1903)">{{Quelle|Frege (1903)}}</ref>==
{{TBD}}
==Quellen==

<references/>
[[Kategorie:Mengenlehre]]
[[Kategorie:Datenmanagement]]
[[Kategorie:Glossar]]

<!--===Informelle Definitionen (veraltet)===

Ein '''Attribut''' kann als [[geordnetes Paar]] aufgefasst werden, bestehend aus '''Attributbezeichner''' und '''Attributwert'''.
Üblicherweise legt eine '''Attributdefinition''', bestehend aus '''Attributbezeichner''' und '''Domäne''', die möglichen Attributewerte fest.

Im Folgenden werden geordnete Paare und Tripel in Anlehnung an JavaScript-Properties mit Doppelpunkt notiert 
anstelle von Klammern, wie sie in mathematischen Publikationen üblich sind:
<div class="formula">
<code>name: String</code> steht für <code>(name, String)</code><br/>
<code>1/name: String</code> steht für <code>(1, name, String)</code>
</div>
====Benannte Attribute====
Wenn der Attributbezeichner eine Zeichenkette ist, die aus Buchstaben und evtl. ein paar Sonderzeichen und Ziffern bestehen, spricht man von einem '''benannten Attribut'''.
{| class = "wikitable" style = "table-layout: fixed; max-width: 48em; border: 0;"
| style="border: 0;" |
! colspan="3"         | benannte Attribute
|-
! style="width: 22%;" | Attributdefinitionen
| style="width: 22%;" | <code>id: Natural</code> 
| style="width: 22%;" | <code>name: String</code> 
| style="width: 34%;  | <code>sex: {'w', 'm', 'x'}</code> 
|-
! rowspan = 2 | zugehörige Attribute
| | <code>id: 0</code>
| | <code>name: 'Anton'</code>
| | <code>sex: 'm'</code>
|-
| | <code>id: 1</code>
| | <code>name: 'Berta'</code>
| | <code>sex: 'w'</code>
|}

====Positionsattribute====
'''Positionsattribute''' sind Attribute, die durch Ihre Position im Tupel identifiziert werden.
Die Position kann als Name aufgefasst werden. Das heißt, auch Positionsattribute können mittels
geordneten Paaren spezifiziert und dargestellt werden:

{| class = "wikitable" style = "table-layout: fixed; max-width: 48em; border: 0;"
| style="border: 0;" |
! colspan="3"         | Positionsattribute
|-
! style="width: 22%;" | Attributdefinitionen
| style="width: 22%;" | <code>1: Natural</code> 
| style="width: 22%;" | <code>2: String</code> 
| style="width: 34%;  | <code>3: {'w', 'm', 'x'}</code> 
|-
! rowspan = 2 | zugehörige Attribute
| | <code>1: 0</code>
| | <code>2: 'Anton'</code>
| | <code>3: 'm'</code>
|-
| | <code>1: 1</code>
| | <code>2: 'Berta'</code>
| | <code>3: 'w'</code>
|}

====Benannte Positionsattribute====

Ein Attribut kann durchaus mehrere Namen haben (allerdings müssen sich ''alle'' Namen voneinander unterscheiden). So ist es {{zB}} möglich,
'''benannte Positionsattribute''' mit Hilfe von Tripeln zu definieren: (Position, Name, Wert).

{| class = "wikitable" style = "table-layout: fixed; max-width: 48em; border: 0;"
| style="border: 0;" |
! colspan="3"         | benannte Positionsattribute
|-
! style="width: 22%;" | Attributdefinitionen
| style="width: 24%;" | <code>0/id: Natural</code> 
| style="width: 24%;" | <code>1/name: String</code> 
| style="width: 30%;  | <code>2/sex: {'w','m','x'}</code> 
|-
! rowspan = 2 | zugehörige Attribute
| | <code>1:&nbsp;&nbsp;0</code><br/><code>id: 0</code>
| | <code>2:&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;'Anton'</code><br/><code>name: 'Anton'</code>
| | <code>3:&nbsp;&nbsp;&nbsp;'m'</code><br/><code>sex: 'm'</code>
|-
| | <code>1:&nbsp;&nbsp;1</code><br/><code>id: 1</code>
| | <code>2:&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;'Berta'</code><br/><code>name: 'Berta'</code>
| | <code>3:&nbsp;&nbsp;&nbsp;'w'</code><br/><code>sex: 'w'</code>
|}

====Tupel====
Eine '''Tupeldefinition''' ist eine ({{iAllg}} endliche) Menge von Attributdefinitionen mit unterschiedlichen Attributnamen.
Bei Positionsattributen mit $n$ Elementen wählt man als „Namen“ üblicherweise natürliche Zahlen $1, \ldots, n$ (häufig in der Mathematik) 
oder $0, \ldots, n-1$ (häufig in der Informatik).

Ein zugehöriges '''Tupel''' ist eine Menge, die für jede Attributdefinition ein passendes Attribut und ansonsten keine weiteren Elemente enthält.

'''Tupel mit benannten Attributen''', kurz: '''Attributtupel'''
{| class = "wikitable" style = "table-layout: fixed; width: 48em; border: 0;"
|-
! style="width: 20%;" | Tupeldefinition 
| style="width: 80%;" | <code>{id: Natural, name: String, sex: {'w', 'm', 'x'}}</code> 
|-
! | Tupel
| | <code>{id: 0, name: 'Anton', sex: 'm'}</code>
|-
! |
| | <code>{id: 1, name: 'Berta', sex: 'w'}</code>
|}

'''Tupel mit Positionsattributen''', kurz: '''Positionstupel'''
{| class = "wikitable" style = "table-layout: fixed; width: 48em; border: 0;"
|-
! style="width: 20%;" | Tupeldefinition 
| style="width: 80%;" | <code>{1: Natural, 2: String, 3: {'w', 'm', 'x'}}</code> ≙<br/> <code>(Natural, String, {'w', 'm', 'x'})</code> 
|-
! | Tupel
| | <code>{1: 0, 2: 'Anton', 3: 'm'}</code> ≙<br/><code>(0, 'Anton', 'm')</code>
|-
! |
| | <code>{1: 1, 2: 'Berta', 3: 'w'}</code> ≙<br/><code>(1, 'Berta', 'w')</code>
|}

'''Tupel mit benannten Positionsattributen''', kurz: '''Positionsattributtupel'''
{| class = "wikitable" style = "table-layout: fixed; width: 48em; border: 0;"
|-
! style="width: 20%;" | Tupeldefinition 
| style="width: 80%;" | <code>{0/id: Natural, 1/name: String, 2/sex: {'w', 'm', 'x'}}</code> 
|-
! | Tupel
| | <code>{id: 0, name: 'Anton', sex: 'm'}</code> ≙<br/><code>{1: 0, 2: 'Anton', 3: 'm'}</code> ≙<br/><code>(0, 'Anton', 'm')</code>
|-
! |
| | <code>{id: 1, name: 'Berta', sex: 'w'}</code> ≙<br/><code>{1: 1, 2: 'Berta', 3: 'w'}</code> ≙<br/><code>(1, 'Berta', 'w')</code>
|}

====Relationen====
Eine '''Relation''' ist eine „Sammlung“ von Tupeln, {{dh}} eine beliebige Menge von Tupeln einer bestimmten Art, 
die in mittels eines {{Container}}s zu einer Einheit zusammengefasst  werden:
{| class = "wikitable" style = "table-layout: fixed; width: 48em; border: 0;"
|-
! style="width: 20%;" | Containerart 
| style="width: 80%;" | Eigenschaften
|-
| | Menge
| | duplikattfrei (lauter unterschiedliche Tupel), keine feste Reihenfolge 
|-
| | Multimenge
| | Duplikate möglich, keine feste Reihenfolge
|-
| | Liste
| | Duplikate möglich, feste Reihenfolge
|}

Das Tupelschema wird im Zusammenhang mit Relationen '''Relationsschema''' genannt.

'''Tabelle'''<br/>
Eine '''Tabelle''' kann als '''Relation''' aufgefasst werden, die aus einer (sortierten) '''Liste von Positionsattributtupel''' besteht. 
Jede Zeile enthält ein Tupel. Jede Tabellenspalte steht für ein Attribut: Sie hat eine Position und kann bei Bedarf beschriftet werden (Attributname).

Im Folgenden wird für jedes Beispiel eine zugehörige Tabelle angegeben.

'''Beispiel: Relation = Menge von Positionstupeln (Mathematik)'''<br/>
Die Sichtweise, dass eine Relation eine Menge von Positionstupel ist, stammt aus der Mathematik. Sie lag auch den ursprünglichen Papieren von Codd zugrunde.

{| class = "wikitable" style = "table-layout: fixed; width: 48em; border: 0;"
|-
! style="width: 20%;" | Relationsschema 
| style="width: 80%;" colspan="2" | <math>(\mathbb N_0, \mathbb N_0)</math>
|-
! | Relation
| colspan="2"  | <math>\{(0,0), (0,1), (0,2), (0,3), \ldots,  (1,1), (1,2), (1,3), \ldots, (2,2), (2,3), \ldots\}</math>
|-
! | Tabelle
| | 
{| style="float:left; margin-right:1.5em"
|+ style="text-align:center" | <math>\le</math>
|| 0
|| 0
|-
|| 0
|| 1
|-
|| 0
|| 2
|-
|| 0
|| 3
|-
|| ...
|| 
|-
|| 1
|| 1
|-
|| 1
|| 2
|-
|| 1
|| 3
|-
|| ...
|| 
|-
|| 2
|| 2
|-
|| 2
|| 3
|-
|| ...
|| 
|}

{| style="float: left;"
|+ style="text-align:center" | <math>\ge</math>
|| 0
|| 0
|-
|| 1
|| 0
|-
|| 2
|| 0
|-
|| 3
|| 0
|-
|| ...
|| 
|-
|| 1
|| 1
|-
|| 2
|| 1
|-
|| 3
|| 1
|-
|| ...
|| 
|-
|| 2
|| 2
|-
|| 3
|| 2
|-
|| ...
|| 
|}
| | Menge von Positionsattributen
* Spalten: Anordnung fest
* Zeilen:   Anordnung beliebig, keine Duplikatzeilen   

Das Vertauschen der Spalten ändert die Relation. Das Vertauschen von Zeilen hat dagegen keine Auswirkung.
|}

'''Beispiel: Relation = Menge von Positionstupeln (Informatik)'''<br/>
Diese Art von Tupel gibt es aber auch in der Informatik. Sie sind allerdings fast immer endlich.

{| class = "wikitable" style = "table-layout: fixed; width: 48em; border: 0;"
|-
! style="width: 20%;" | Relationsschema 
| style="width: 80%;"  colspan="2" | <code>(String, {'w', 'm', 'x'})</code> 
|-
! | Relation
|  colspan="2" | <code>{('Anton', 'm'), ('Berta', 'w')}</code>
|-
! | Tabelle
| | 
{|  style="float:left; margin-right:1.5em"
|| <code>'Anton'</code>
|| <code>'m'</code>
|-
|| <code>'Berta'</code>
|| <code>'w'</code>
|}

{|  style="float:left;"
|| <code>'Berta'</code>
|| <code>'w'</code>
|-
|| <code>'Anton'</code>
|| <code>'m'</code>
|}
| | Menge von Positionsattributen
* Spalten: Anordnung fest
* Zeilen:   Anordnung beliebig, keine Duplikatzeilen  
Das Vertauschen der Spalten ändert die Relation. Das Vertauschen von Zeilen hat dagegen keine Auswirkung.
|}

'''Beispiel: Relation = Multimenge von Attributtupeln'''<br/>
In [[SQL]] können bei berechneten Tabellen (Relationen)  Tupel mehrfach vorkommen.
Das heißt, eine Relation ist {{iAllg}} eine Multimenge von bestimmten Tupeln.

{| class = "wikitable" style = "table-layout: fixed; width: 48em; border: 0;"
|-
! style="width: 20%;" | Relationsschema 
| style="width: 80%;"  colspan="2" | <code>(name: String, sex: {'w', 'm', 'x'})</code> 
|-
! | Relation
|  colspan="2" | <code>{(name: 'Anton', sex: 'm'), (name: 'Berta', sex: 'w'),<br/>&nbsp;(sex: 'm', name: 'Anton')<br/>}*<br/>=<br/>{(name: 'Anton', sex: 'm')⁽²⁾, (name: 'Berta', sex: 'w')⁽¹⁾}</code>
|-
!| Tabelle
|| 
{| style="float:left; margin-right:1.5em"
! style="text-align:center" | <code>name</code>
! style="text-align:center" | <code>sex</code>
|-
|| <code>'Anton'</code>
|| <code>'m'</code>
|-
|| <code>'Berta'</code>
|| <code>'w'</code>
|-
|| <code>'Anton'</code>
|| <code>'m'</code>
|}

{| style="float:left;"
! style="text-align:center" | <code>sex</code>
! style="text-align:center" | <code>name</code>
|-
|| <code>'m'</code>
|| <code>'Anton'</code>
|-
|| <code>'m'</code>
|| <code>'Anton'</code>
|-
|| <code>'w'</code>
|| <code>'Berta'</code>
|}
| | Menge von Positionsattributen
* Spalten: Anordnung beliebig
* Zeilen:   Anordnung beliebig, Duplikate möglich  
Das Vertauschen von Spalten oder Zeilen hat keine Auswirkung.
|}

'''Weitere Möglichkeiten'''<br/>
Es gibt noch sechs weitere Möglichkeiten, die hier vorgestellten Container- und Tupelarten zu kombinieren.
Darüber hinaus gibt des diverse weitere Strukturen, die als „Relationen im weiteren Sinn“ aufgefasst werden können,
und für die es sinnvoll ist, eine [[Relationale Algebra]] zu definieren.
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