McEliece-Kryptosystem Beispieldurchlauf

Dieser Artikel zeigt einen Beispieldurchlauf für dasMcEliece-Kryptosystem.

Beispieldurchlauf

Um einen Algorithmus besser verstehen zu können, hilft meist ein praktisches Beispiel. Nachfolgend soll ein Bespiel für ein sehr kleines $ (n,k,d)=(7,4,3) $ Kryptosystem durchgerechnet werden. Dieses Beispiel baut auf dem in [St95] auf.

Systemparameter

Die Systemparameter wurden mit $ n=7 $, $ k=4 $ und $ d=3 $ festgelegt. Damit werden 4 Klartext-Bit auf 7 Chiffre-Bit abgebildet. Weiter braucht der verwendete Code einen Hamming-Abstand von 3. Damit lassen sich $ t=(d-1)/2=1 $ Bitfehler korrigieren.

Schlüssel-Erzeugung

Um das nachfolgende Beispiel einfacher zu halten, erzeugt die Generator-Matrix $ G $ keinen Goppa-Code sondern einen Hamming-Code:

$ G=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} $

Hier sieht man, daß $ d=3 $ gilt, denn jede Zeile unterscheidet sich in mindesten 3 Werten voneinander.

Bob erzeugt weiter die zufälligen Matrizen $ S $ und $ P $:

$ S=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} $

$ P=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} $

Der erste Teil $ \hat{G} $ des öffentlichen Schlüssels berechnet sich wie folgt:

$ \hat{G}=SGP $

$ \hat{G}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}= $

$ =\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}= $

$ =\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\hat{G} $

Bob’s öffentlicher Schlüssel lautet nun:

$ K_{pub}=(\hat{G},t)=\left(\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix},1\right) $