Normalisierung eines Intervalls (Hilfssatz)

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1 Satz

Es seien $a,b \in \mathbb R$ zwei relle Zahlen mit $a < b$ (d.h. $a$ und $b$ definieren ein endliches Intervall) sowie $c, x \in \mathbb{R}$.

Dann gilt:

(1)     [math]\displaystyle{a \le x \le b \ \leftrightarrow\ 0 \le \frac{x-a}{b-a} \le 1}[/math]
(1a) [math]\displaystyle{x \in\, [a,b] \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [0,1]}[/math]
(1b) [math]\displaystyle{x \in\,\, ]a,b] \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]0,1]}[/math]
(1c) [math]\displaystyle{x \in\, [a,b[ \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [0,1[}[/math]
(1d) [math]\displaystyle{x \in\,\, ]a,b[ \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]0,1[}[/math]
(2) [math]\displaystyle{x \lt a \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \lt 0}[/math]
(2a) [math]\displaystyle{x \in\,\, ]-\infty,a[ \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]-\infty,0[}[/math]
(2b) [math]\displaystyle{x \in\, ]-\infty,a] \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, ]-\infty,0]}[/math]
(3) [math]\displaystyle{b \lt x \ \leftrightarrow\ 1 \lt \frac{x-a}{b-a}}[/math]
(3a) [math]\displaystyle{x \in\,\, ]b, \infty[ \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\,\, ]1, \infty[}[/math]
(3b) [math]\displaystyle{x \in\, [b, \infty[ \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [1, \infty[}[/math]
(4) [math]\displaystyle{x \lt c \ \leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \lt \frac{c-a}{b-a}}[/math]
(5) [math]\displaystyle{c \lt x \ \leftrightarrow\ \frac{c-a}{b-a} \lt \frac{x-a}{b-a}}[/math]

2 Beweis der ersten Aussage

[math]\displaystyle{a \le x \le b}[/math] [math]\displaystyle{\quad\quad|\quad -a}[/math]
[math]\displaystyle{\leftrightarrow}[/math] [math]\displaystyle{0 \le x-a \le b-a}[/math] [math]\displaystyle{\quad\quad|\quad /(b-a)}[/math]
[math]\displaystyle{\leftrightarrow}[/math] [math]\displaystyle{0 \le \frac{x-a}{b-a} \le 1}[/math] [math]\quad\quad[/math](da [math]\displaystyle{b-a \gt 0}[/math])

Die restlichen Aussagen beweist man analog.

3 Quellen

  1. Autor des Beweises: Wolfgang Kowarschick
  2. Kowarschick (PM): Wolfgang Kowarschick; Vorlesung „Projektmanagement“; Hochschule: Hochschule Augsburg; Adresse: Augsburg; Web-Link; 2014; Quellengüte: 3 (Vorlesung)