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| =Definition: Algebraische Struktur (ohne partielle Operationen)=
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| Ein [[Tupel]] <math>\mathcal{A} = (A, o_1, ..., o_m)</math> heißt [[Algebraische Struktur]] (genauer: [[Algebraische Struktur|Algebraische Struktur ohne partielle Operationen]], kurz [[Algebra]]), wenn:
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| * <math>A\,</math> ist eine nichtleere [[Menge]]
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| * Für alle <math>i \in [1..m]</math> ist <math>o_i\,</math> eine [[Algebraische Operation]], d.h. eine [[Funktion]] <math>o_i: A^{n_i} \rightarrow A\,\,\,(n_i\in \mathbb{N}_0)</math>.
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| =Definition: Algebraische Struktur mit partiellen Operationen=
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| Ein [[Tupel]] <math>\mathcal{A} = (A, o_1, ..., o_m)</math> heißt '''Algebraische Struktur mit partiellen Operationen''', wenn:
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| * <math>A\,</math> ist eine nichtleere [[Menge]].
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| * Für alle <math>i \in [1..m]</math> ist <math>o_i\,</math> eine (evtl. [[Partielle Funktion|partielle]]) [[Algebraische Operation]], d.h. eine (evtl. partielle) [[Funktion]] <math>o_i: A^{n_i} \rightarrow A\,\,\,(n_i\in \mathbb{N}_0)</math> oder <math>o_i: A^{n_i} \rightarrow_p A\,\,\,(n_i\in \mathbb{N}_0)</math>.
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| =Definition: Algebraische Struktur mit partiellen inneren und äußeren Operationen=
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| Ein [[Tupel]] <math>\mathcal{A} = (A, B, o_1, ..., o_m)</math> heißt '''Algebraische Struktur mit partiellen inneren und äußeren Operationen''', wenn:
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| * <math>A\,</math> und <math>B\,</math> sind zwei nichtleere [[Menge]]n.
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| * Für alle <math>i \in [1..m]</math> ist <math>o_i\,</math> eine (evtl. [[Partielle Funktion|partielle]]) [[Algebraische Operation]], d.h. eine (evtl. partielle) [[Funktion]] <math>o_i: A^{n_i}, B^{k_i} \rightarrow_p A\,\,\,(n_i, k_i \in \mathbb{N}_0)</math>. Wenn <math>k_i = 0</math> ist, heißt <math>o_i</math> ''innere Operation'', anderenfalls heißt <math>o_i</math> ''äußere Operation''.
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| =Bemerkungen=
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| Die wesentliche Eigenschaft einer [[algebraische Operation|algebraischen Operation]] ist die [[Abgeschlossenheit]]:
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| Jede algebraische Operation <math>o_i\,</math> einer [[algebraische Struktur|algebraischen Struktur]] <math>\mathcal{A} = (A, o_1, ..., o_m)</math>
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| bildet null, ein, zwei oder mehr Elemente der Grundmenge <math>A\,</math> von <math>\mathcal{A}\,</math> wieder auf ein Element dieser Grundmenge ab.
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| [[Quelle::Gellert, Kästner (1979)]] merken an, dass bei der Definition des Begriffs [[Algebraische Struktur]] partielle algebraische Operationen zugelassen sein können.
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| Aus diesem Grund wurde zuvor zusätzlich der Begriff '''Algebraische Struktur mit partiellen Operationen''' definiert.<ref>{{Quelle|Gellert, Walter; Kästner, Herbert (1979): Lexikon der Mathematik}}</ref>
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| [[Quelle::Asser (1980)]] fordert, dass eine Algebraische Struktur auch [[Konstante]]n (<math>\in A</math>) und [[Relation]]en über <math>A</math>
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| (d.h. Teilmengen von <math>A^n</math>, wobei <math>n \in \mathbb{N}</math>) enthalten darf.<ref>{{Quelle|Asser, G. (1980): Grundbegriffe der Mathematik}}</ref>
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| Dies sind allerdings keine echten Erweiterungen der obigen Definitionen, da Funktionen <math>f: A^0 \rightarrow A</math> als Konstanten aufgefasst werden können und
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| auch Relationen durch Funktionen
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| <div class="formula"><math>r: A^n \rightarrow \{a_1, a_2\}\,\,\,(a_1, a_2 \in A, a_1 \neq a_2)</math></div>
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| oder partielle Funktionen
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| <div class="formula"><math>r: A^n \rightarrow_p \{a\}\,\,\,(a \in A)</math></div>
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| nachgebildet werden können.
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| [[Quelle::Meyberg (1980)]] dagegen definiert Algebraische Strukturen allgemeiner. Neben den von ihm so genannten „inneren Verknüpfungen“, d.h. neben denjenigen Funktionen, die Elemente der Grundmenge <math>A</math>
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| auf Elemente der Grundmenge <math>A</math> abbildden, lässt er auch „äußere Verknüpfungen“ zu. Darunter versteht er Funktionen der Art:
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| <div class="formula"><math>f: B^m, A^n \rightarrow A\,\,\,(m_i,n_i\in \mathbb{N}_0)</math></div>
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| Allerdings lässt Meyberg nur zweistellige Funktionen in seiner Definition zu, d.h. bei „inneren Verknüpfungen“ muss <math>n=2</math> gelten und bei äußeren <math>m=n=2</math>.<ref>{{Quelle|Meyberg, K. (1980): Algebra – Teil 1}}</ref>
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| =Beispiele=
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| * Die [[natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] bilden zusammen mit der Addition und der Multiplikation eine algebraische Struktur: <math>(\mathbb{N}, +, \cdot)</math>.
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| * Die [[natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] bilden zusammen mit der Addition, der Subtraktion und der Multiplikation keine [[algebraische Struktur]], sondern nur eine [[algebraische Struktur|algebraische Struktur mit einer partiellen Operation]]: <math>(\mathbb{N}, +, -, \cdot)</math>, da die Subtraktion ist lediglich eine [[partielle algebraische Operation]] ist.
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| =Verschiedene Typen von algebraischen Strukturen=
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| * [[Magma]]
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| ** [[Halbgruppe]]
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| *** [[Monoid]]
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| **** [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]]
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| ***** [[Abelsche Gruppe]] = [[Kommunikative Gruppe]]
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| ** [[Quasigruppe]]
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| *** [[Loop]]
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| **** [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]]
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| ***** [[Abelsche Gruppe]] = [[Kommunikative Gruppe]]
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| * [[Halbring]]
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| ** [[Ring (Mathematik)|Ring]]
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| *** [[Kommutativer Ring]]
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| **** [[Körper]]
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| * [[Verband]]
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| ** [[Modularer Verband]]
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| *** [[Distributiver Verband]]
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| **** [[Komplementärer Distributiver Verband]] = [[Boolesche Algebra]]
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| ***** [[Boolesche σ-Algebra]]
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| **** [[Ereignisalgebra]] = [[Mengenalgebra]]
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| ***** [[σ-Algebra]]
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| * [[Hyperkomplexes System]] = [[Algebra über einen Ring]] (oft auch nur: [[Algebra]])
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| ** [[Vektorraum]]
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| * [[Relationale Algebra]]
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| =Quellen=
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| <references/>
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| <ol>
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| <li value="4">{{Quelle|Brockhaus-Enzyklopädie (1986): Band 1 (A-APT)}}</li>
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| </ol>
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| [[Kategorie:Algebraische Struktur]]
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| [[Kategorie:Mathematische Definition]] | |
