|
|
| (27 dazwischenliegende Versionen desselben Benutzers werden nicht angezeigt) |
| Zeile 1: |
Zeile 1: |
| {{In Bearbeitung}}
| | [[Kategorie:Lehrveranstaltung]] |
| {{Qualität
| |
| |correctness = 3
| |
| |extent = 3
| |
| |numberOfReferences = 3
| |
| |qualityOfReferences = 5
| |
| |conformance = 5
| |
| }}
| |
| | |
| =Definition: Algebraische Struktur=
| |
| | |
| Ein [[Paar (Mathematik)|Paar]] <math>\mathcal{A} = (A, (d_i)_{i \in I})</math>
| |
| heißt [[Algebraische Struktur]] oder [[Algebraische Struktur|Universelle Algebra]], wenn:
| |
| | |
| * <math>A</math> ist eine [[Menge]] oder [[Klasse (Mengenlehre)|Klasse]], die so genannte [[Trägermenge]]
| |
| * <math>I</math> ist eine nicht-leere Indexmenge
| |
| * <math>(d_i)_{i \in I}</math> ist eine [[Familie]] von [[algebraische Operation|Deskriptoren algebraischer Operationen]]<br/>mit <math>d_i = (o_i, A, n_i, B_i)</math> für alle <math>i \in I</math>.
| |
| | |
| Die Funktionen <math>o_i</math> der algebraischen Struktur sind also <math>n_i</math>-stellige [[algebraische Operation|algebraischer Operationen]] über der Tägermenge <math>A</math> mit dem Operationsbereich <math>B_i</math>:
| |
| <div class="formula"><math>\begin{tabular}{lll}
| |
| $o_i: A^{n_i} \rightarrow A,$ & $\text{falls }B_i = \emptyset$ \\
| |
| $o_i: B_i \times A^{n_i} \rightarrow A,$ & $\text{falls }B_i \not= \emptyset$
| |
| \end{tabular}</math></div>
| |
| | |
| =Bemerkungen=
| |
| An Stelle von [[Algebraische Struktur]] sagt man häufig kurz [[Algebraische Struktur|Algebra]].
| |
| | |
| [[Quelle::Gellert, Kästner (1979)]] merken an, dass bei der Definition des Begriffs [[Algebraische Struktur]] partielle algebraische Operationen zugelassen sein
| |
| können.<ref>{{Quelle|Gellert, Walter; Kästner, Herbert (1979): Lexikon der Mathematik}}</ref>
| |
| Dies ist hier (in diesem Wiki) aufgrund der Definition des Begriffes [[Algebraische Oprenration]] automatisch gegeben.
| |
| | |
| [[Quelle::Asser (1980)]] fordert, dass eine Algebraische Struktur auch [[Konstante]]n (<math>\in A</math>) und [[Relation]]en über <math>A</math>
| |
| (d.h. Teilmengen von <math>A^n</math>, <math>n \in \mathbb{N}</math>) enthalten darf.<ref>{{Quelle|Asser, G. (1980): Grundbegriffe der Mathematik}}</ref>
| |
| Dies sind allerdings keine echten Erweiterungen der obigen Definitionen, da Funktionen <math>k: A^0 \rightarrow A</math> als Konstanten aufgefasst werden können und
| |
| auch Relationen durch Funktionen
| |
| <div class="formula"><math>r: A^n \rightarrow \{a_1, a_2\}\,\,\,(a_1, a_2 \in A, a_1 \neq a_2)</math></div>
| |
| oder partielle Funktionen
| |
| <div class="formula"><math>r: A^n \rightarrow_p \{a\}\,\,\,(a \in A)</math></div>
| |
| nachgebildet werden können.
| |
| | |
| [[Quelle::Meyberg (1980)]] dagegen definiert Algebraische Strukturen allgemeiner. Neben den von ihm so genannten „inneren Verknüpfungen“, d.h. neben denjenigen Funktionen, die Elemente der Grundmenge <math>A</math>
| |
| auf Elemente der Grundmenge <math>A</math> abbildden, lässt er auch „äußere Verknüpfungen“ zu. Darunter versteht er Funktionen der Art:<ref>{{Quelle|Meyberg, K. (1980): Algebra – Teil 1}}</ref>
| |
| <div class="formula"><math>o: B \times A \rightarrow A</math></div>
| |
| Äußere Verknüpfungen sind in diesem Wiki in der Definition des Begriffes [[Algebraische Oprenration]] ebenfalls enthalten.
| |
| | |
| =Beispiele=
| |
| | |
| * Die [[natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] bilden zusammen mit der Addition und der Multiplikation eine algebraische Struktur, bei der alle algebraischen Operationen total sind: <math>(\mathbb{N}, +, \cdot)</math>.
| |
| * Die [[natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] bilden zusammen mit der Addition, der Subtraktion und der Multiplikation eine [[algebraische Struktur]] mit einer echt-patiellen algebraischen Operation: <math>(\mathbb{N}, +, -, \cdot)</math>, die Subtraktion ist lediglich eine [[partielle algebraische Operation]].
| |
| | |
| =Verschiedene Typen von algebraischen Strukturen=
| |
| | |
| * [[Magma]]
| |
| ** [[Halbgruppe]]
| |
| *** [[Monoid]]
| |
| **** [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]]
| |
| ***** [[Abelsche Gruppe]] = [[Kommunikative Gruppe]]
| |
| ** [[Quasigruppe]]
| |
| *** [[Loop]]
| |
| **** [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]]
| |
| ***** [[Abelsche Gruppe]] = [[Kommunikative Gruppe]]
| |
| * [[Halbring]]
| |
| ** [[Ring (Mathematik)|Ring]]
| |
| *** [[Kommutativer Ring]]
| |
| **** [[Körper]]
| |
| * [[Verband]]
| |
| ** [[Modularer Verband]]
| |
| *** [[Distributiver Verband]]
| |
| **** [[Komplementärer Distributiver Verband]] = [[Boolesche Algebra]]
| |
| ***** [[Boolesche σ-Algebra]]
| |
| **** [[Ereignisalgebra]] = [[Mengenalgebra]]
| |
| ***** [[σ-Algebra]]
| |
| * [[Hyperkomplexes System]] = [[Algebra über einen Ring]] (oft auch nur: [[Algebra]])
| |
| ** [[Vektorraum]]
| |
| * [[Relationale Algebra]]
| |
| | |
| =Quellen=
| |
| <references/>
| |
| <ol>
| |
| <li value="4">{{Quelle|Brockhaus-Enzyklopädie (1986): Band 1 (A-APT)}}</li>
| |
| </ol>
| |
| | |
| [[Kategorie:Algebraische Struktur]]
| |
| [[Kategorie:Mathematische Definition]] | |
