Dreiecksverteilung: Unterschied zwischen den Versionen
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\frac{\mu_3}{\sigma^3} = \frac{\sqrt 2 (a+b-2c)(2a-b-c)(a-2b+c)}{5(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)^\frac{3}{2}} | \frac{\mu_3}{\sigma^3} = \frac{\sqrt 2 (a+b-2c)(2a-b-c)(a-2b+c)}{5(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)^\frac{3}{2}} | ||
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kurtosis =<math>\frac{\mu_4}{\sigma^4} = \frac{12}{5}</math> (nicht überprüft)| | kurtosis =<math>\frac{\mu_4}{\sigma^4} = \frac{12}{5} \mbox{oder } \frac{\mu_4}{\sigma^4} -3 = \frac{12}{5}</math> (nicht überprüft)| | ||
entropy =<math>\frac{1}{2}+\ln\left(\frac{d}{2}\right)</math> (nicht überprüft)| | entropy =<math>h[f] = \frac{1}{2}+\ln\left(\frac{d}{2}\right)</math> (nicht überprüft)| | ||
mgf =<math>2\frac{(b-c)e^{at}-(b-a)e^{ct}\!+(c-a)e^{bt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^2}</math> (nicht überprüft)| | mgf =<math>M_X(t)=E\left(e^{tX}\right) = 2\frac{(b-c)e^{at}-(b-a)e^{ct}\!+(c-a)e^{bt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^2}</math> (nicht überprüft)| | ||
char =<math>\varphi_X(t) = \operatorname{E}\left(e^{itX}\right) = -2\frac{(b-c)e^{iat}-(b-a)e^{ict}+(c-a)e^{ibt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^2}</math> (nicht überprüft)| | char =<math>\varphi_X(t) = \operatorname{E}\left(e^{itX}\right) = -2\frac{(b-c)e^{iat}-(b-a)e^{ict}+(c-a)e^{ibt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^2}</math> (nicht überprüft)| | ||
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Version vom 29. Mai 2006, 16:42 Uhr
Achtung: Die folgenden Formeln können noch Fehler enthalten.
| Parameter | $ a \in ]-\infty,\infty[ $ $ b \in ]-\infty,\infty[,\,b>a $ $ c \in ]a,b[ $ $ d := b-a\! $ $ m := \frac{c-a}{d},\,1-m=\frac{b-c}{d},\,c = a+md = b - (1-m)d $ |
| Dichtefunktion | $ f(x) = \begin{cases} \frac{2(x-a)}{d(c-a)} = \frac{2(x-a)}{md^2}, & \mbox{wenn } a \le x \le c \\ \frac{2(b-x)}{d(b-c)} = \frac{2(b-x)}{(1-m)d^2}, & \mbox{wenn } c < x \le b \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases} $ |
| Stetigkeit | $ \mbox{f(x) ist stetig auf }]\infty,\infty[\! $ |
| Träger | $ f(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]a,b[ \! $ |
| Verteilungsfunktion | $ F(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{wenn } x < a\\ 0+\frac{(x-a)^2}{d(c-a)} = 0+\frac{(x-a)^2}{md^2}, & \mbox{wenn } a \le x \le c \\ 1-\frac{(b-x)^2}{d(b-c)} = 1-\frac{(b-x)^2}{(1-m)d^2}, & \mbox{wenn } c < x \le b \\ 1, & \mbox{wenn } b < x \end{cases} $ |
| Modus | $ c = a+md,\,f(c)=\frac{2}{d}\! $ |
| Erwartungswert | $ \mu = \frac{a+b+c}{3} = a+\frac{(1+m)d}{3} $ |
| Median | $ F^{-1}(0,5) = \begin{cases} a+\frac{\sqrt{2d(c-a)}}{2} = a+d\frac{\sqrt{2m}}{2}, & \mbox{wenn } 0{,}5 \le m \mbox{ bzw. } \frac{b+a}{2} \le c\\ b-\frac{\sqrt{2d(b-c)}}{2} = b-d\frac{\sqrt{2(1-m)}}{2}, & \mbox{wenn } m < 0{,}5 \mbox{ bzw. } c \le \frac{b+a}{2} \end{cases} $ |
| Varianz | $ \operatorname{var}(x) = \frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{18} = \frac{d^2(1+m+m^2)}{18} $ (nicht überprüft) |
| Standardabweichung | $ \sigma = \frac{1}{6} \sqrt{2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)} = \frac{1}{6} \sqrt{2d^2(1+m+m^2)}) $ (nicht überprüft) |
| Schiefe | $ \frac{\mu_3}{\sigma^3} = \frac{\sqrt 2 (a+b-2c)(2a-b-c)(a-2b+c)}{5(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)^\frac{3}{2}} $ (nicht überprüft) |
| Wölbung | $ \frac{\mu_4}{\sigma^4} = \frac{12}{5} \mbox{oder } \frac{\mu_4}{\sigma^4} -3 = \frac{12}{5} $ (nicht überprüft) |
| Entropie | $ h[f] = \frac{1}{2}+\ln\left(\frac{d}{2}\right) $ (nicht überprüft) |
| Momenterzeugende Funktion | $ M_X(t)=E\left(e^{tX}\right) = 2\frac{(b-c)e^{at}-(b-a)e^{ct}\!+(c-a)e^{bt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^2} $ (nicht überprüft) |
| Charakteristische Funktion | $ \varphi_X(t) = \operatorname{E}\left(e^{itX}\right) = -2\frac{(b-c)e^{iat}-(b-a)e^{ict}+(c-a)e^{ibt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^2} $ (nicht überprüft) |
