Dreiecksverteilung

$ f(n)=\begin{cases} n/2, & \mbox{wenn }n\mbox{ gerade} \\ 3n+1, & \mbox{wenn }n\mbox{ ungerade} \end{cases} $

Parameter	$ a \in ]-\infty,\infty[ $ $ b \in ]-\infty,\infty[,\,b>a $ $ c \in ]a,b[ $ $ m := \frac{c-a}{b-a},\,1-m=\frac{b-c}{b-a} $
Dichtefunktion	$ f(x) = \begin{cases} \frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)}, & \mbox{wenn } a \le x \le c \\ \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)}, & \mbox{wenn } c < x \le b \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases} $
Träger	$ ]a,b[ \! $
Verteilungsfunktion	$ F(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{wenn } x < a\\ \frac{(x-a)^2}{(b-a)(c-a)}, & \mbox{wenn } a \le x \le c \\ 1-\frac{(b-x)^2}{(b-a)(b-c)}, & \mbox{wenn } c < x \le b \\ 1, & \mbox{wenn } b < x \end{cases} $
Modus	$ c\, $
Erwartungswert	$ \mu = \frac{a+b+c}{3}, $
Median	$ F^{-1}(0,5) = \begin{cases} a+\frac{\sqrt{2(b-a)(c-a)}}{2}, & \mbox{wenn } c\!\ge\!\frac{b\!-\!a}{2} \\ b-\frac{\sqrt{2(b-a)(b-c)}}{2}, & \mbox{wenn } c\!\le\!\frac{b\!-\!a}{2} \end{cases} $
Varianz	$ \operatorname{var}(x) = \frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{18} $
Standardabweichung	$ \sigma = \frac{1}{6} \sqrt{2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)} $
Schiefe	$ \frac{\sqrt 2 (a\!+\!b\!-\!2c)(2a\!-\!b\!-\!c)(a\!-\!2b\!+\!c)}{5(a^2\!+\!b^2\!+\!c^2\!-\!ab\!-\!ac\!-\!bc)^\frac{3}{2}} $
Wölbung	$ \frac{12}{5} $
Entropie	$ \frac{1}{2}+\ln\left(\frac{b-a}{2}\right) $
Momenterzeugende Funktion	$ 2\frac{(b\!-\!c)e^{at}\!-\!(b\!-\!a)e^{ct}\!+\!(c\!-\!a)e^{bt}} {(b-a)(c-a)(b-c)t^2} $
Charakteristische Funktion	$ -2\frac{(b\!-\!c)e^{iat}\!-\!(b\!-\!a)e^{ict}\!+\!(c\!-\!a)e^{ibt}} {(b-a)(c-a)(b-c)t^2} $

Quellen

• Wikipedia (en): Triangular distribution
• Statwiki HU Berlin: Dreiecksverteilung