Dreiecksverteilung

Achtung: Die folgenden Formeln können noch Fehler enthalten.

Eine Zufallsgröße $ X $ mit der nachfolgend definierten Dichte-Funktion $ f_X $ heißt dreiecksverteilt. Sie hat folgende Eigenschaften:

Parameter	$ a \in ]-\infty,\infty[ $ $ b \in ]-\infty,\infty[,\,b>a $ $ c \in ]a,b[ $ $ d := b-a\! $ $ m := \frac{c-a}{d},\,1-m=\frac{b-c}{d},\,c = a+md = b - (1-m)d $
Dichtefunktion	$ f_X(x) := \begin{cases} \frac{2(x-a)}{d(c-a)} = \frac{2(x-a)}{md^2}, & \mbox{wenn } a \le x \le c \\ \frac{2(b-x)}{d(b-c)} = \frac{2(b-x)}{(1-m)d^2}, & \mbox{wenn } c < x \le b \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases} $
Stetigkeit	$ f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]\infty,\infty[\! $
Träger	$ f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]a,b[ \! $
Verteilungsfunktion	$ F_X(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{wenn } x < a\\ 0+\frac{(x-a)^2}{d(c-a)} = 0+\frac{(x-a)^2}{md^2}, & \mbox{wenn } a \le x \le c \\ 1-\frac{(b-x)^2}{d(b-c)} = 1-\frac{(b-x)^2}{(1-m)d^2}, & \mbox{wenn } c < x \le b \\ 1, & \mbox{wenn } b < x \end{cases} $
Modus	$ x_D = c = a+md,\,f_X(c)=\frac{2}{d}\! $
Erwartungswert	$ \mu(X) = \frac{a+b+c}{3} = a+\frac{(1+m)d}{3} $
Median	$ F_X^{-1}(0,5) = \begin{cases} a+\frac{\sqrt{2d(c-a)}}{2} = a+d\frac{\sqrt{2m}}{2}, & \mbox{wenn } 0{,}5 \le m \mbox{ bzw. } \frac{b+a}{2} \le c\\ b-\frac{\sqrt{2d(b-c)}}{2} = b-d\frac{\sqrt{2(1-m)}}{2}, & \mbox{wenn } m < 0{,}5 \mbox{ bzw. } c \le \frac{b+a}{2} \end{cases} $
Varianz	$ \operatorname{Var}(X) = \frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{18} = \frac{d^2(1-m+m^2)}{18} $
Standardabweichung	$ \sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)} = \frac{1}{6} \sqrt{2d^2(1-m+m^2)} $
Schiefe	$ \frac{\mu_3(X)}{\sigma^3(X)} = \frac{\sqrt 2 (a+b-2c)(2a-b-c)(a-2b+c)}{5(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)^\frac{3}{2}} $ (nicht überprüft)
Wölbung	$ \frac{\mu_4(X)}{\sigma^4(X)} = \frac{12}{5} \mbox{ oder } \frac{\mu_4}{\sigma^4} -3 = \frac{12}{5} $ (nicht überprüft)
Entropie	$ h[f_X] = \frac{1}{2}+\ln\left(\frac{d}{2}\right) $ (nicht überprüft)
Moment(e)	$ M_r(0)=\sum_{i=0}^r {r \choose i} \frac{2}{(r-i+1)(r-i+2)}\frac{1-m^{r-i+1}}{1-m}d^{r-i} a^i $ (nicht überprüft)
zentrale(s) Moment(e)	$ m_r=d^r \sum_{i=0}^r {r \choose i} (-1)^i \left(\frac{1+m}{3}\right)^i \frac{2}{(r-i+1)(r-i+2)}\sum_{j=0}^{r-i} m^j $(nicht überprüft)
Momenterzeugende Funktion	$ M_X(t)=E\left(e^{tX}\right) = 2\frac{(b-c)e^{at}-(b-a)e^{ct}\!+(c-a)e^{bt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^2} $ (nicht überprüft)
Charakteristische Funktion	$ \varphi_X(t) = \operatorname{E}\left(e^{itX}\right) = -2\frac{(b-c)e^{iat}-(b-a)e^{ict}+(c-a)e^{ibt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^2} $ (nicht überprüft)

Quellen

• Wikipedia (en): Triangular distribution
• Statwiki HU Berlin: Dreiecksverteilung