Dreiecksverteilung: Unterschied zwischen den Versionen
aus GlossarWiki, der Glossar-Datenbank der Fachhochschule Augsburg
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pdf_image =| | pdf_image =| | ||
cdf_image =| | cdf_image =| | ||
parameters =<math>a \in ]-\infty,\infty[</math><br><math>b \in ]-\infty,\infty[,\,b>a</math><br><math>c \in ]a,b[</math><br><math>d := b-a\!</math><br><math>m := \frac{c-a}{d},\,1-m=\frac{b-c}{d},\,c = a+md = b - (1-m)d</math>| | parameters =<math>a \in ]-\infty,\infty[</math><br><math>b \in ]-\infty,\infty[,\,b>a</math><br><math>c \in ]a,b[</math><br><math>d := b-a\!</math><br><math>m := \frac{c-a}{d},\,1-m=\frac{b-c}{d},\,c = a+md = b - (1-m)d</math>| | ||
proof_parameters =| | |||
pdf =<math> | pdf =<math> | ||
f_X(x) := | f_X(x) := | ||
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\end{cases} | \end{cases} | ||
</math>| | </math>| | ||
proof_pdf =| | |||
continuity = <math>f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]\infty,\infty[\!</math>| | continuity = <math>f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]\infty,\infty[\!</math>| | ||
proof_continuity =| | |||
support =<math>f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]a,b[ \!</math>| | support =<math>f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]a,b[ \!</math>| | ||
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cdf =<math> | cdf =<math> | ||
F_X(x) = | F_X(x) = | ||
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\end{cases} | \end{cases} | ||
</math>| | </math>| | ||
proof_cdf =| | |||
mode =<math>x_D = c = a+md,\,f_X(c)=\frac{2}{d}\!</math>| | mode =<math>x_D = c = a+md,\,f_X(c)=\frac{2}{d}\!</math>| | ||
proof_mode =| | |||
mean =<math>\mu(X) = \frac{a+b+c}{3} = a+\frac{(1+m)d}{3}</math>| | mean =<math>\mu(X) = \frac{a+b+c}{3} = a+\frac{(1+m)d}{3}</math>| | ||
proof_mean =| | |||
quartile = <math> | quartile = <math> | ||
F_X^{-1}(p) = | F_X^{-1}(p) = | ||
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\end{cases} | \end{cases} | ||
</math>| | </math>| | ||
proof_quartile =| | |||
median =<math> | median =<math> | ||
F_X^{-1}(0,5) = | F_X^{-1}(0,5) = | ||
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\end{cases} | \end{cases} | ||
</math>| | </math>| | ||
proof_median =| | |||
variance =<math>\operatorname{Var}(X) = \frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{18} = \frac{d^2(1-m+m^2)}{18}</math>| | variance =<math>\operatorname{Var}(X) = \frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{18} = \frac{d^2(1-m+m^2)}{18}</math>| | ||
proof_variance =| | |||
sigma =<math>\sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)} = \frac{1}{6} \sqrt{2d^2(1-m+m^2)}</math>| | sigma =<math>\sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)} = \frac{1}{6} \sqrt{2d^2(1-m+m^2)}</math>| | ||
proof_sigma =| | |||
skewness =<math> | skewness =<math> | ||
\frac{\mu_3(X)}{\sigma^3(X)} = \frac{\sqrt 2 (a+b-2c)(2a-b-c)(a-2b+c)}{5(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)^\frac{3}{2}} | \frac{\mu_3(X)}{\sigma^3(X)} = \frac{\sqrt 2 (a+b-2c)(2a-b-c)(a-2b+c)}{5(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)^\frac{3}{2}} | ||
</math> (nicht überprüft)| | </math> (nicht überprüft)| | ||
proof_skewness =| | |||
kurtosis =<math>\frac{\mu_4(X)}{\sigma^4(X)} = \frac{12}{5} \mbox{ oder } \frac{\mu_4}{\sigma^4} -3 = \frac{12}{5}</math> (nicht überprüft)| | kurtosis =<math>\frac{\mu_4(X)}{\sigma^4(X)} = \frac{12}{5} \mbox{ oder } \frac{\mu_4}{\sigma^4} -3 = \frac{12}{5}</math> (nicht überprüft)| | ||
proof_kurtosis =| | |||
entropy =<math>h[f_X] = \frac{1}{2}+\ln\left(\frac{d}{2}\right)</math> (nicht überprüft)| | entropy =<math>h[f_X] = \frac{1}{2}+\ln\left(\frac{d}{2}\right)</math> (nicht überprüft)| | ||
proof_entropy =| | |||
moment =<math>M_r(0)=\sum_{i=0}^r {r \choose i} \frac{2}{(r-i+1)(r-i+2)}\frac{1-m^{r-i+1}}{1-m}d^{r-i} a^i</math> (nicht überprüft)| | moment =<math>M_r(0)=\sum_{i=0}^r {r \choose i} \frac{2}{(r-i+1)(r-i+2)}\frac{1-m^{r-i+1}}{1-m}d^{r-i} a^i</math> (nicht überprüft)| | ||
proof_moment =| | |||
centralmoment =<math>m_r=d^r \sum_{i=0}^r {r \choose i} (-1)^i \left(\frac{1+m}{3}\right)^i \frac{2}{(r-i+1)(r-i+2)}\sum_{j=0}^{r-i} m^j</math>(nicht überprüft)| | centralmoment =<math>m_r=d^r \sum_{i=0}^r {r \choose i} (-1)^i \left(\frac{1+m}{3}\right)^i \frac{2}{(r-i+1)(r-i+2)}\sum_{j=0}^{r-i} m^j</math>(nicht überprüft)| | ||
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mgf =<math>M_X(t)=E\left(e^{tX}\right) = 2\frac{(b-c)e^{at}-(b-a)e^{ct}\!+(c-a)e^{bt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^2}</math> (nicht überprüft)| | mgf =<math>M_X(t)=E\left(e^{tX}\right) = 2\frac{(b-c)e^{at}-(b-a)e^{ct}\!+(c-a)e^{bt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^2}</math> (nicht überprüft)| | ||
proof_mgf =| | |||
char =<math>\varphi_X(t) = \operatorname{E}\left(e^{itX}\right) = -2\frac{(b-c)e^{iat}-(b-a)e^{ict}+(c-a)e^{ibt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^2}</math> (nicht überprüft)| | char =<math>\varphi_X(t) = \operatorname{E}\left(e^{itX}\right) = -2\frac{(b-c)e^{iat}-(b-a)e^{ict}+(c-a)e^{ibt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^2}</math> (nicht überprüft)| | ||
proof_char =| | |||
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Version vom 30. Mai 2006, 08:16 Uhr
Achtung: Die folgenden Formeln können noch Fehler enthalten.
Eine Zufallsgröße $ X $ mit der nachfolgend definierten Dichte-Funktion $ f_X $ heißt dreiecksverteilt. Sie hat folgende Eigenschaften:
| Parameter | $ a \in ]-\infty,\infty[ $ $ b \in ]-\infty,\infty[,\,b>a $ $ c \in ]a,b[ $ $ d := b-a\! $ $ m := \frac{c-a}{d},\,1-m=\frac{b-c}{d},\,c = a+md = b - (1-m)d $ |
| Dichtefunktion | $ f_X(x) := \begin{cases} \frac{2(x-a)}{d(c-a)} = \frac{2(x-a)}{md^2}, & \mbox{wenn } a \le x \le c \\ \frac{2(b-x)}{d(b-c)} = \frac{2(b-x)}{(1-m)d^2}, & \mbox{wenn } c < x \le b \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases} $ |
| Stetigkeit | $ f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]\infty,\infty[\! $ |
| Träger | $ f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]a,b[ \! $ |
| Verteilungsfunktion | $ F_X(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{wenn } x < a\\ 0+\frac{(x-a)^2}{d(c-a)} = 0+\frac{(x-a)^2}{md^2}, & \mbox{wenn } a \le x \le c \\ 1-\frac{(b-x)^2}{d(b-c)} = 1-\frac{(b-x)^2}{(1-m)d^2}, & \mbox{wenn } c < x \le b \\ 1, & \mbox{wenn } b < x \end{cases} $ |
| Modus | $ x_D = c = a+md,\,f_X(c)=\frac{2}{d}\! $ |
| Erwartungswert | $ \mu(X) = \frac{a+b+c}{3} = a+\frac{(1+m)d}{3} $ |
| Median | $ F_X^{-1}(0,5) = \begin{cases} a+\frac{\sqrt{2d(c-a)}}{2} = a+d\frac{\sqrt{2m}}{2}, & \mbox{wenn } 0{,}5 \le m \mbox{ bzw. } \frac{b+a}{2} \le c\\ b-\frac{\sqrt{2d(b-c)}}{2} = b-d\frac{\sqrt{2(1-m)}}{2}, & \mbox{wenn } m < 0{,}5 \mbox{ bzw. } c \le \frac{b+a}{2} \end{cases} $ |
| Varianz | $ \operatorname{Var}(X) = \frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{18} = \frac{d^2(1-m+m^2)}{18} $ |
| Standardabweichung | $ \sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)} = \frac{1}{6} \sqrt{2d^2(1-m+m^2)} $ |
| Schiefe | $ \frac{\mu_3(X)}{\sigma^3(X)} = \frac{\sqrt 2 (a+b-2c)(2a-b-c)(a-2b+c)}{5(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)^\frac{3}{2}} $ (nicht überprüft) |
| Wölbung | $ \frac{\mu_4(X)}{\sigma^4(X)} = \frac{12}{5} \mbox{ oder } \frac{\mu_4}{\sigma^4} -3 = \frac{12}{5} $ (nicht überprüft) |
| Entropie | $ h[f_X] = \frac{1}{2}+\ln\left(\frac{d}{2}\right) $ (nicht überprüft) |
| Moment(e) | $ M_r(0)=\sum_{i=0}^r {r \choose i} \frac{2}{(r-i+1)(r-i+2)}\frac{1-m^{r-i+1}}{1-m}d^{r-i} a^i $ (nicht überprüft) |
| zentrale(s) Moment(e) | $ m_r=d^r \sum_{i=0}^r {r \choose i} (-1)^i \left(\frac{1+m}{3}\right)^i \frac{2}{(r-i+1)(r-i+2)}\sum_{j=0}^{r-i} m^j $(nicht überprüft) |
| Momenterzeugende Funktion | $ M_X(t)=E\left(e^{tX}\right) = 2\frac{(b-c)e^{at}-(b-a)e^{ct}\!+(c-a)e^{bt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^2} $ (nicht überprüft) |
| Charakteristische Funktion | $ \varphi_X(t) = \operatorname{E}\left(e^{itX}\right) = -2\frac{(b-c)e^{iat}-(b-a)e^{ict}+(c-a)e^{ibt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^2} $ (nicht überprüft) |
