Dreiecksverteilung
aus GlossarWiki, der Glossar-Datenbank der Fachhochschule Augsburg
| Parameter | $ a \in ]-\infty,\infty[ $ $ b \in ]-\infty,\infty[,\,b>a $ $ c \in ]a,b[ $ $ m := \frac{c-a}{b-a},\,1-m=\frac{b-c}{b-a},\,c = a+m(b-a) = b - (1-m)(b-a) $ |
| Dichtefunktion | $ f(x) = \begin{cases} \frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)} = \frac{2(x-a)}{m(b-a)^2}, & \mbox{wenn } a \le x \le c \\ \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)} = \frac{2(x-a)}{(1-m)(b-a)^2}, & \mbox{wenn } c < x \le b \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases} $ |
| Stetigkeit | $ \mbox{f(x) ist stetig auf }]\infty,\infty[\! $ |
| Träger | $ ]a,b[ \! $ |
| Verteilungsfunktion | $ F(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{wenn } x < a\\ 0+\frac{(x-a)^2}{(b-a)(c-a)} = 0+\frac{(x-a)^2}{m(b-a)^2}, & \mbox{wenn } a \le x \le c \\ 1-\frac{(b-x)^2}{(b-a)(b-c)} = 1-\frac{(b-x)^2}{(1-m)(b-a)^2}, & \mbox{wenn } c < x \le b \\ 1, & \mbox{wenn } b < x \end{cases} $ |
| Modus | $ c = a+m(b-a),\,f(c)=\frac{2}{b-a}\! $ |
| Erwartungswert | $ \mu = \frac{a+b+c}{3} = a+\frac{(1+m)(b-a)}{3} $ |
| Median | $ F^{-1}(0,5) = \begin{cases} a+\frac{\sqrt{2(b-a)(c-a)}}{2} = a+(b-a)\frac{\sqrt{2m}}{2}, & \mbox{wenn } 0{,}5 \le m \mbox{ bzw. } \frac{b+a}{2} \le c\\ b-\frac{\sqrt{2(b-a)(b-c)}}{2} = b-(b-a)\frac{\sqrt{2(1-m)}}{2}, & \mbox{wenn } m < 0{,}5 \mbox{ bzw. } c \le \frac{b+a}{2} \end{cases} $ |
| Varianz | $ \operatorname{var}(x) = \frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{18} = \frac{(b-a)^2(1+m+m^2)}{18} $ |
| Standardabweichung | $ \sigma = \frac{1}{6} \sqrt{2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)} = \frac{1}{6} \sqrt{2(b-a)^2(1+m+m^2)}) $ |
| Schiefe | $ \frac{\sqrt 2 (a\!+\!b\!-\!2c)(2a\!-\!b\!-\!c)(a\!-\!2b\!+\!c)}{5(a^2\!+\!b^2\!+\!c^2\!-\!ab\!-\!ac\!-\!bc)^\frac{3}{2}} $ |
| Wölbung | $ \frac{12}{5} $ |
| Entropie | $ \frac{1}{2}+\ln\left(\frac{b-a}{2}\right) $ |
| Momenterzeugende Funktion | $ 2\frac{(b\!-\!c)e^{at}\!-\!(b\!-\!a)e^{ct}\!+\!(c\!-\!a)e^{bt}} {(b-a)(c-a)(b-c)t^2} $ |
| Charakteristische Funktion | $ -2\frac{(b\!-\!c)e^{iat}\!-\!(b\!-\!a)e^{ict}\!+\!(c\!-\!a)e^{ibt}} {(b-a)(c-a)(b-c)t^2} $ |
