Dreiecksverteilung
aus GlossarWiki, der Glossar-Datenbank der Fachhochschule Augsburg
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Eine Zufallsgröße $ X $ mit der nachfolgend definierten Dichte-Funktion $ f_X $ heißt dreiecksverteilt. Sie hat folgende Eigenschaften:
| Parameter | $ a \in ]-\infty,\infty[ $ $ b \in ]-\infty,\infty[,\,b>a $ $ c \in ]a,b[ $ $ d := b-a\! $ $ m := \frac{c-a}{d} \in ]0,1[,\,1-m=\frac{b-c}{d},\,c = a+md = b - (1-m)d $ $ m $ beschreibt den prozentualen Abstand von $ c $ zu $ a $ bzgl. $ b $$ 1-m $ beschreibt den prozentualen Abstand von $ c $ zu $ b $ bzgl. $ a $ |
| Dichtefunktion | $ f_X(x) := \begin{cases} \frac{2(x-a)}{d(c-a)} = \frac{2(x-a)}{md^2}, & \mbox{wenn } a \le x \le c \\ \frac{2(b-x)}{d(b-c)} = \frac{2(b-x)}{(1-m)d^2}, & \mbox{wenn } c < x \le b \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases} $ |
| Stetigkeit | $ f_X(x) \mbox{ ist stetig auf }]\infty,\infty[\! $ |
| Träger | $ f_X(x) \ne 0 \Leftrightarrow x \in ]a,b[ \! $ |
| Verteilungsfunktion | $ F_X(x) = \begin{cases} 0, & \mbox{wenn } x < a\\ 0+\frac{(x-a)^2}{d(c-a)} = 0+\frac{(x-a)^2}{md^2}, & \mbox{wenn } a \le x \le c \\ 1-\frac{(b-x)^2}{d(b-c)} = 1-\frac{(b-x)^2}{(1-m)d^2}, & \mbox{wenn } c < x \le b \\ 1, & \mbox{wenn } b < x \end{cases} $ |
| Modus | $ \operatorname{md}_X = \{c\} = \{a+md\},\,f_X(c)=\frac{2}{d}\! $ |
| Erwartungswert | $ \mu(X) = \frac{a+b+c}{3} = a+\frac{(1+m)d}{3} $ |
| Median | $ F_X^{-1}(0,5) = \begin{cases} a+\frac{\sqrt{2d(c-a)}}{2} = a+d\frac{\sqrt{2m}}{2}, & \mbox{wenn } 0{,}5 \le m \mbox{ bzw. } \frac{b+a}{2} \le c\\ b-\frac{\sqrt{2d(b-c)}}{2} = b-d\frac{\sqrt{2(1-m)}}{2}, & \mbox{wenn } m < 0{,}5 \mbox{ bzw. } c \le \frac{b+a}{2} \end{cases} $ |
| Varianz | $ \operatorname{Var}(X) = \frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{18} = \frac{d^2(1-m+m^2)}{18} $ |
| Standardabweichung | $ \sigma(X) = \frac{1}{6} \sqrt{2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)} = \frac{d}{6} \sqrt{2(1-m+m^2)} $ |
