Normalisierung eines Intervalls (Hilfssatz): Unterschied zwischen den Versionen

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=Voraussetzung=
=Voraussetzung=
Es seien <math>a,b \in \mathbb{R}\!</math> zwei relle Zahlen mit <math>a < b\!</math>.
Es seien <math>a,b \in \mathbb{R}\!</math> zwei relle Zahlen mit <math>a < b\!</math> sowie <math>x \in \mathbb{R}\!</math>.


=Satz=
=Satz=
Die Bedingung <math>a \le x \le b</math> ist gleichwertig zu <math>0 \le \frac{x-a}{d} \le 1</math>,
# <math>a \le x \le b \ \Leftrightarrow\ 0 \le \frac{x-a}{b-a} \le 1</math> bzw. <math>x \in\, [a,b]  \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [0,1]</math><br />&nbsp;
das heißt, <math>x \in\, [a,b]  \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{d} \in\, [0,1]</math>.
# <math>x < a \ \Leftrightarrow\  \frac{x-a}{b-a} < 0</math><br />&nbsp;
# <math>b < x \ \Leftrightarrow\  1 < \frac{x-a}{b-a}</math><br />&nbsp;
# <math>x < c \ \Leftrightarrow\  \frac{x-a}{b-a} < \frac{c-a}{b-a}</math><br />&nbsp;
# <math>c < x \ \Leftrightarrow\  \frac{c-a}{b-a} < \frac{x-a}{b-a}</math>


Die Bedingung <math>x < a\!</math> ist gleichwertig zu <math>\frac{x-a}{d} < 0</math>.
=Beweis der ersten Aussage=
 
Die Bedingung <math>b < x\!</math> ist gleichwertig zu <math>1 < \frac{x-a}{d}</math>.
 
Die Bedingung <math>x < c\!</math> ist gleichwertig zu <math>\frac{x-a}{d} < \frac{c-a}{d}</math>.
 
Die Bedingung <math>c < x\!</math> ist gleichwertig zu <math>\frac{c-a}{d} < \frac{x-a}{d}</math>.
 
=Beweis=
{|cellpadding="3" cellspacing="10"  
{|cellpadding="3" cellspacing="10"  
|   
|   
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| <math>\Leftrightarrow</math>
| <math>\Leftrightarrow</math>
| <math>0 \le x-a \le b-a</math>
| <math>0 \le x-a \le b-a</math>
| <math>|\quad /d\!</math>  
| <math>|\quad /(b-a)\!</math>  
|-
|-
| <math>\Leftrightarrow</math>
| <math>\Leftrightarrow</math>
| <math>0 \le \frac{x-a}{d} \le 1</math>
| <math>0 \le \frac{x-a}{b-a} \le 1</math>
| (da <math>d > 0\!</math>)  
| (da <math>b-a > 0\!</math>)  
|}
|}


Version vom 30. Januar 2011, 12:15 Uhr

Voraussetzung

Es seien $ a,b \in \mathbb{R}\! $ zwei relle Zahlen mit $ a < b\! $ sowie $ x \in \mathbb{R}\! $.

Satz

  1. $ a \le x \le b \ \Leftrightarrow\ 0 \le \frac{x-a}{b-a} \le 1 $ bzw. $ x \in\, [a,b] \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} \in\, [0,1] $
     
  2. $ x < a \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} < 0 $
     
  3. $ b < x \ \Leftrightarrow\ 1 < \frac{x-a}{b-a} $
     
  4. $ x < c \ \Leftrightarrow\ \frac{x-a}{b-a} < \frac{c-a}{b-a} $
     
  5. $ c < x \ \Leftrightarrow\ \frac{c-a}{b-a} < \frac{x-a}{b-a} $

Beweis der ersten Aussage

$ a \le x \le b $ $ |\quad -a\! $
$ \Leftrightarrow $ $ 0 \le x-a \le b-a $ $ |\quad /(b-a)\! $
$ \Leftrightarrow $ $ 0 \le \frac{x-a}{b-a} \le 1 $ (da $ b-a > 0\! $)

Die restlichen Aussagen beweist man analog.

Quellen


Dieser Artikel ist GlossarWiki-konform.
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